Progresión aritmética

secuencia de numeros

Prueba sin palabras de las fórmulas de progresión aritmética utilizando una copia rotada de los bloques.

Una progresión aritmética o secuencia aritmética ( AP ) es una secuencia de números tal que la diferencia entre cualquier término posterior y su término anterior permanece constante a lo largo de la secuencia. La diferencia constante se llama diferencia común de esa progresión aritmética. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común de los miembros sucesivos es , entonces el -ésimo término de la secuencia ( ) viene dado por: ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Una porción finita de una progresión aritmética se llama progresión aritmética finita y, a veces, simplemente se llama progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética .

Historia

Según una anécdota de dudosa fiabilidad, ^[1] el joven Carl Friedrich Gauss , que estaba en la escuela primaria, reinventó este método para calcular la suma de los números enteros del 1 al 100, multiplicandonorte/2pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1 . ^{[ se necesita aclaración ]} Sin embargo, independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonta a los pitagóricos en el siglo V a.C. ^[2] Arquímedes , Hipsicles y Diofanto conocían reglas similares en la antigüedad ; ^[3] en China a Zhang Qiujian ; en la India a Aryabhata , Brahmagupta y Bhaskara II ; ^[4] y en la Europa medieval a Alcuino , ^[5] Dicuil , ^[6] Fibonacci , ^[7] Sacrobosco ^[8] y a comentaristas anónimos del Talmud conocidos como tosafistas . ^[9]

Suma

Cálculo de la suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cuando la secuencia se invierte y se suma término por término, la secuencia resultante tiene un único valor repetido, igual a la suma del primer y último número (2 + 14 = 16). Por tanto, 16 × 5 = 80 es el doble de la suma.

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética . Por ejemplo, considere la suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se agregan (aquí 5), multiplicando por la suma del primer y último número de la progresión (aquí 2 + 14 = 16) y dividiendo por 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

En el caso anterior, esto da la ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para cualquier número real y . Por ejemplo: este ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Derivación

Prueba animada de la fórmula que da la suma de los primeros números enteros 1+2+...+n.

Para derivar la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos maneras diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Reescribiendo los términos en orden inverso:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

Sumando los términos correspondientes de ambos lados de las dos ecuaciones y reduciendo a la mitad ambos lados:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Esta fórmula se puede simplificar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

Además, el valor medio de la serie se puede calcular mediante : ${\displaystyle S_{n}/n}$

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

La fórmula es muy similar a la media de una distribución uniforme discreta .

Producto

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d y n elementos en total se determina en una expresión cerrada

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

donde denota la función Gamma . La fórmula no es válida cuando es negativa o cero. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle a_{1}/d}$

Esta es una generalización del hecho de que el producto de la progresión está dado por el factorial y que el producto ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

para números enteros positivos y está dada por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Derivación

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

donde denota el factorial creciente . ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

Por la fórmula de recurrencia , válida para un número complejo , ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ ${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

de modo que

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

para un número entero positivo y un número complejo positivo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

Así, si , ${\displaystyle a_{1}/d>0}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

y finalmente,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando el ejemplo , el producto de los términos de la progresión aritmética dado por hasta el término 50 es ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$ ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Ejemplo 2

El producto de los primeros 10 números impares está dado por ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$

${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$= 654.729.075

Desviación Estándar

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética se puede calcular como

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

donde es el número de términos en la progresión y es la diferencia común entre términos. La fórmula es muy similar a la desviación estándar de una distribución uniforme discreta . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

Intersecciones

The intersection of any two doubly infinite arithmetic progressions is either empty or another arithmetic progression, which can be found using the Chinese remainder theorem. If each pair of progressions in a family of doubly infinite arithmetic progressions have a non-empty intersection, then there exists a number common to all of them; that is, infinite arithmetic progressions form a Helly family.^[10] However, the intersection of infinitely many infinite arithmetic progressions might be a single number rather than itself being an infinite progression.

See also

• Geometric progression
• Harmonic progression
• Triangular number
• Arithmetico-geometric sequence
• Inequality of arithmetic and geometric means
• Primes in arithmetic progression
• Linear difference equation
• Generalized arithmetic progression, a set of integers constructed as an arithmetic progression is, but allowing several possible differences
• Heronian triangles with sides in arithmetic progression
• Problems involving arithmetic progressions
• Utonality
• Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions

References

1. Hayes, Brian (2006). "Gauss's Day of Reckoning". American Scientist. 94 (3): 200. doi:10.1511/2006.59.200. Archived from the original on 12 January 2012. Retrieved 16 October 2020.
2. Høyrup, J. The "Unknown Heritage": trace of a forgotten locus of mathematical sophistication. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
3. Tropfke, Johannes (1924). Analysis, analytische Geometrie. Walter de Gruyter. pp. 3–15. ISBN 978-3-11-108062-8.
4. Tropfke, Johannes (1979). Arithmetik und Algebra. Walter de Gruyter. pp. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
5. Problems to Sharpen the Young, John Hadley and David Singmaster, The Mathematical Gazette, 76, #475 (March 1992), pp. 102–126.
6. Ross, H.E. & Knott, B.I. (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers, British Journal for the History of Mathematics, 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
7. Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.
8. Katz, Victor J. (edit.) (2016). Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa. Princeton University Press. pp. 91, 257. ISBN 9780691156859.
9. Popa, M. (1990). 74.23 Derivación medieval de la suma de una progresión aritmética. La Gaceta Matemática, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
10. Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", en Graham, RL; Grötschel, M .; Lovász, L. (eds.), Manual de combinatoria, vol. 1, 2 , Ámsterdam: Elsevier, págs. 381–432, SEÑOR  1373663. Véase en particular la Sección 2.5, "Propiedad de Helly", págs. 393–394.

enlaces externos

• "Series aritméticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Series aritméticas". MundoMatemático .