Producto vectorial de siete dimensiones

Concepto matemático

En matemáticas , el producto vectorial heptadimensional es una operación bilineal sobre vectores en el espacio euclidiano heptadimensional . Asigna a dos vectores cualesquiera a , b en un vector ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ a × b también en . [ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$^1] Al igual que el producto vectorial en tres dimensiones, el producto vectorial heptadimensional es anticonmutativo y a × b es ortogonal tanto a a como a b . A diferencia de lo que ocurre en tres dimensiones, no satisface la identidad de Jacobi y, si bien el producto vectorial tridimensional es único hasta un signo, existen muchos productos vectoriales heptadimensionales. El producto vectorial heptadimensional tiene la misma relación con los octoniones que el producto tridimensional con los cuaterniones .

El producto vectorial de siete dimensiones es una forma de generalizar el producto vectorial a otras dimensiones que no sean tres, y es el único otro producto bilineal de dos vectores que tiene valores vectoriales, es ortogonal y tiene la misma magnitud que en el caso tridimensional. ^[2] En otras dimensiones hay productos con valores vectoriales de tres o más vectores que satisfacen estas condiciones y productos binarios con resultados bivectoriales .

Tabla de multiplicación

El producto se puede dar mediante una tabla de multiplicación, como la que se muestra aquí. Esta tabla, debida a Cayley, ^{[3] [4]} da el producto de los vectores base ortonormales e _i y e _j para cada i , j de 1 a 7. Por ejemplo, de la tabla

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}}$

La tabla se puede utilizar para calcular el producto de dos vectores cualesquiera. Por ejemplo, para calcular el componente e _{1 de} x × y, se pueden seleccionar los vectores base que se multiplican para producir e _{1 para obtener}

${\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}.}$

Esto se puede repetir para los otros seis componentes.

Hay 480 tablas de este tipo para cualquier conjunto dado de vectores de base ortogonales, una para cada uno de los productos que satisfacen la definición de modo que cada entrada en la tabla se pueda expresar en términos de un solo elemento de la base. ^[5] Esta tabla se puede resumir mediante la relación ^[4]

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k},}$

donde es el símbolo de Levi-Civita , un tensor completamente antisimétrico con un valor positivo +1 cuando ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

La esquina superior izquierda 3 × 3 de esta tabla da el producto vectorial en tres dimensiones.

Definición

Un producto vectorial en un espacio euclidiano V es una función bilineal de V × V a V , que asigna los vectores x e y en V a otro vector x × y también en V , donde x × y tiene las propiedades ^{[1] [6]}

• ortogonalidad :

  ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0,}$

• magnitud :

  ${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}$

donde ( x · y ) es el producto escalar euclidiano y | x | es la norma euclidiana . La primera propiedad establece que el producto es perpendicular a sus argumentos, mientras que la segunda propiedad da la magnitud del producto. Una expresión equivalente en términos del ángulo θ entre los vectores ^[7] es ^[8]

${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,}$

que es el área del paralelogramo en el plano de x e y con los dos vectores como lados. ^[9] Una tercera declaración de la condición de magnitud es

${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{if}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0,}$

Si x × x = 0 se supone como un axioma separado. ^[10]

Consecuencias de las propiedades definitorias

Dadas las propiedades de bilinealidad, ortogonalidad y magnitud, un producto vectorial distinto de cero solo existe en tres y siete dimensiones. ^{[2] [8] [10]} Esto se puede demostrar postulando las propiedades requeridas para el producto vectorial, y luego deduciendo una ecuación que solo se satisface cuando la dimensión es 0, 1, 3 o 7. En cero dimensiones solo existe el vector cero, mientras que en una dimensión todos los vectores son paralelos, por lo que en ambos casos el producto debe ser idénticamente cero.

La restricción a 0, 1, 3 y 7 dimensiones está relacionada con el teorema de Hurwitz , que sostiene que las álgebras de división normadas solo son posibles en 1, 2, 4 y 8 dimensiones. El producto vectorial se forma a partir del producto del álgebra de división normada al restringirlo a las dimensiones imaginarias 0, 1, 3 o 7 del álgebra, lo que da como resultado productos distintos de cero en solo tres y siete dimensiones. ^[11]

A diferencia del producto vectorial tridimensional, que es único (aparte del signo), existen muchos productos vectoriales binarios posibles en siete dimensiones. Una forma de ver esto es notar que dado cualquier par de vectores x e y y cualquier vector v de magnitud | v | = | x || y | sen θ en el espacio de cinco dimensiones perpendicular al plano generado por x e y , es posible encontrar un producto vectorial con una tabla de multiplicar (y un conjunto asociado de vectores base) tal que x × y = v . A diferencia de lo que ocurre en tres dimensiones, x × y = a × b no implica que a y b se encuentren en el mismo plano que x e y . ^[8] ${\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}$

De la definición se desprenden otras propiedades, incluidas las siguientes identidades:

1. Anticonmutatividad :

   ${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} }$

2. Producto triple escalar :

   ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}$

3. Identidad de Malcev : ^[8]

   ${\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} }$

   ${\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} .}$

Otras propiedades se siguen sólo en el caso tridimensional y no se satisfacen con el producto vectorial heptadimensional, en particular,

1. Producto triple vectorial :

   ${\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} }$

2. Identidad de Jacobi : ^[8]

   ${\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0}$

Gracias a la identidad de Jacobi, el producto vectorial tridimensional da la estructura de un álgebra de Lie , que es isomorfa a , el álgebra de Lie del grupo de rotación 3D . Como la identidad de Jacobi falla en siete dimensiones, el producto vectorial heptadimensional no da la estructura de un álgebra de Lie. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

Expresiones de coordenadas

Para definir un producto vectorial particular, se puede seleccionar una base ortonormal { e _j } y proporcionar una tabla de multiplicación que determine todos los productos { e _i × e _j } . En la sección Tabla de multiplicación se describe una posible tabla de multiplicación, pero no es única. ^[5] A diferencia de las tres dimensiones, hay muchas tablas porque cada par de vectores unitarios es perpendicular a otros cinco vectores unitarios, lo que permite muchas opciones para cada producto vectorial.

Una vez que hemos establecido una tabla de multiplicar, se aplica a los vectores generales x e y expresando x e y en términos de la base y expandiendo x × y a través de la bilinealidad.

Usando e ₁ a e ₇ como vectores base, se obtiene una tabla de multiplicación diferente a la de la Introducción, lo que lleva a un producto vectorial diferente, con anticonmutatividad mediante ^[8].

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}.}$

De manera más compacta, esta regla se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}}$

con i = 1, ..., 7 módulo 7 y los índices i , i + 1 e i + 3 se pueden permutar de manera uniforme. Junto con la anticonmutatividad, esto genera el producto. Esta regla produce directamente las dos diagonales inmediatamente adyacentes a la diagonal de ceros en la tabla. Además, a partir de una identidad en la subsección sobre consecuencias,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}\ ,}$

lo que produce diagonales más alejadas, y así sucesivamente.

El componente e _j del producto vectorial x × y se obtiene seleccionando todas las apariciones de e _j en la tabla y recopilando los componentes correspondientes de x de la columna izquierda y de y de la fila superior. El resultado es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}.\end{aligned}}}$

Como el producto vectorial es bilineal, el operador x × – puede escribirse como una matriz, que toma la forma ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle T_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&-x_{4}&-x_{7}&x_{2}&-x_{6}&x_{5}&x_{3}\\x_{4}&0&-x_{5}&-x_{1}&x_{3}&-x_{7}&x_{6}\\x_{7}&x_{5}&0&-x_{6}&-x_{2}&x_{4}&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&x_{6}&0&-x_{7}&-x_{3}&x_{5}\\x_{6}&-x_{3}&x_{2}&x_{7}&0&-x_{1}&-x_{4}\\-x_{5}&x_{7}&-x_{4}&x_{3}&x_{1}&0&-x_{2}\\-x_{3}&-x_{6}&x_{1}&-x_{5}&x_{4}&x_{2}&0\end{bmatrix}}.}$

El producto vectorial se expresa entonces así:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =T_{\mathbf {x} }\mathbf {y} .}$

Diferentes tablas de multiplicar

Planos de Fano para las dos tablas de multiplicar utilizadas aquí

En este artículo se han utilizado dos tablas de multiplicar diferentes, y hay más. ^{[5] [12]} Estas tablas de multiplicar se caracterizan por el plano de Fano , ^{[13] [14]} y se muestran en la figura para las dos tablas utilizadas aquí: en la parte superior, la descrita por Sabinin, Sbitneva y Shestakov, y en la parte inferior la descrita por Lounesto. Los números bajo los diagramas de Fano (el conjunto de líneas en el diagrama) indican un conjunto de índices para siete productos independientes en cada caso, interpretados como ijk → e _i × e _j = e _k . La tabla de multiplicar se recupera del diagrama de Fano siguiendo la línea recta que conecta tres puntos cualesquiera, o el círculo en el centro, con un signo como el dado por las flechas. Por ejemplo, la primera fila de multiplicaciones que resultan en e ₁ en la lista anterior se obtiene siguiendo los tres caminos conectados a e ₁ en el diagrama de Fano inferior: el camino circular e ₂ × e ₄ , el camino diagonal e ₃ × e ₇ y el camino del borde e ₆ × e ₁ = e ₅ reorganizado usando una de las identidades anteriores como:

${\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5},}$

o

${\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},}$

también se obtiene directamente del diagrama con la regla de que cualesquiera dos vectores unitarios sobre una línea recta están conectados por multiplicación con el tercer vector unitario sobre esa línea recta con signos según las flechas (signo de la permutación que ordena los vectores unitarios).

Se puede ver que ambas reglas de multiplicación se derivan del mismo diagrama de Fano simplemente renombrando los vectores unitarios y cambiando el sentido del vector unitario central. Considerando todas las permutaciones posibles de la base hay 480 tablas de multiplicación y por lo tanto 480 productos cruzados como éste. ^[14]

Usando álgebra geométrica

El producto también se puede calcular mediante álgebra geométrica de un espacio vectorial de siete dimensiones con una forma cuadrática definida positiva . El producto comienza con el producto exterior , un producto bivectorial de dos vectores :

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).}$

Este es bilineal, alterno, tiene la magnitud deseada, pero no es vectorial. El vector, y por lo tanto el producto vectorial, proviene de la contracción de este bivector con un trivector . En tres dimensiones, hasta un factor de escala, solo hay un trivector, el pseudoescalar del espacio, y un producto del bivector anterior y uno de los dos trivectores unitarios da el resultado vectorial, el dual del bivector.

Se realiza un cálculo similar en siete dimensiones, excepto que, dado que los trivectores forman un espacio de 35 dimensiones, hay muchos trivectores que se podrían utilizar, aunque no cualquier trivector servirá. El trivector que da el mismo producto que la transformación de coordenadas anterior es

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}.}$

Esto se combina con el producto exterior para dar el producto vectorial.

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} }$

¿Dónde está el operador de contracción izquierdo del álgebra geométrica? ^{[8] [15]} ${\displaystyle \lrcorner }$

Relación con los octoniones

Así como el producto vectorial tridimensional se puede expresar en términos de los cuaterniones , el producto vectorial heptadimensional se puede expresar en términos de los octoniones . Después de identificar R ⁷ con los octoniones imaginarios (el complemento ortogonal de la parte real de O ), el producto vectorial se da en términos de la multiplicación de octoniones por

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).}$

Por el contrario, supongamos que V es un espacio euclidiano de siete dimensiones con un producto vectorial dado. Entonces, se puede definir una multiplicación bilineal en R ⊕ V de la siguiente manera:

${\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} ).}$

El espacio R ⊕ V con esta multiplicación es entonces isomorfo a los octoniones. ^[16]

El producto vectorial sólo existe en tres y siete dimensiones, ya que siempre se puede definir una multiplicación en un espacio de una dimensión superior como el anterior, y se puede demostrar que este espacio es un álgebra de división normada . Por el teorema de Hurwitz, tales álgebras sólo existen en una, dos, cuatro y ocho dimensiones, por lo que el producto vectorial debe ser en cero, una, tres o siete dimensiones. Los productos en cero y una dimensión son triviales, por lo que los productos vectoriales no triviales sólo existen en tres y siete dimensiones. ^{[17] [18]}

El hecho de que el producto vectorial de siete dimensiones no satisfaga la identidad de Jacobi está relacionado con la no asociatividad de los octoniones. De hecho,

${\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}$

donde [ x , y , z ] es el asociador .

Rotaciones

En tres dimensiones, el producto vectorial es invariante bajo la acción del grupo de rotación, SO(3) , por lo que el producto vectorial de x e y después de rotarlos es la imagen de x × y bajo la rotación. Pero esta invariancia no es cierta en siete dimensiones; es decir, el producto vectorial no es invariante bajo el grupo de rotaciones en siete dimensiones, SO(7) , sino que es invariante bajo el excepcional grupo de Lie G 2 , un subgrupo de SO(7). ^{[8] [16]}

Generalizaciones

Los productos cruzados binarios distintos de cero solo existen en tres y siete dimensiones. Son posibles otros productos cuando se elimina la restricción de que debe ser un producto binario. ^{[19] [20]} Requerimos que el producto sea multilineal , alterno , con valores vectoriales y ortogonal a cada uno de los vectores de entrada a _i . El requisito de ortogonalidad implica que en n dimensiones, no se pueden usar más de n − 1 vectores. La magnitud del producto debe ser igual al volumen del paraleletopo con los vectores como aristas, que se puede calcular utilizando el determinante de Gram . Las condiciones son

• ortogonalidad: para i = 1, ..., k . $${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0}$$
• El determinante de Gram: $${\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}}$$

El determinante de Gram es el volumen al cuadrado del paralelotopo con _{aristas 1} , ... , a _{k .}

Con estas condiciones sólo existe un producto vectorial no trivial:

• como un producto binario en tres y siete dimensiones
• como producto de n − 1 vectores en n ≥ 3 dimensiones, siendo el dual de Hodge del producto exterior de los vectores
• como producto de tres vectores en ocho dimensiones

Una versión del producto de tres vectores en ocho dimensiones está dada por donde v es el mismo trivector que se utiliza en siete dimensiones, es nuevamente la contracción izquierda y w = − ve _12...7 es un 4-vector. $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})}$$ ${\displaystyle \lrcorner }$

También existen productos triviales. Como ya se ha señalado, un producto binario sólo existe en las dimensiones 7, 3, 1 y 0, siendo las dos últimas idénticas cero. Otro "producto" trivial surge en dimensiones pares, que toma un único vector y produce un vector de la misma magnitud ortogonal a él mediante la contracción por la izquierda con un bivector adecuado. En dos dimensiones, esto es una rotación en un ángulo recto.

Como generalización adicional, podemos relajar los requisitos de multilinealidad y magnitud, y considerar una función continua general V ^d → V (donde V es R ⁿ dotado del producto interno euclidiano y d ≥ 2 ), que solo se requiere para satisfacer las siguientes dos propiedades:

1. El producto vectorial es siempre ortogonal a todos los vectores de entrada.
2. Si los vectores de entrada son linealmente independientes, entonces el producto vectorial es distinto de cero.

Bajo estos requisitos, el producto vectorial sólo existe (I) para n = 3, d = 2 , (II) para n = 7, d = 2 , (III) para n = 8, d = 3 , y (IV) para cualquier d = n − 1. [ ^{1] [19]}

En otra dirección, se han definido álgebras de productos vectoriales sobre un cuerpo arbitrario , y para cualquier cuerpo que no sea de característica 2 deben tener dimensión 0, 1, 3 o 7. De hecho, este resultado se ha generalizado aún más, por ejemplo trabajando sobre cualquier anillo conmutativo en el que 2 sea cancelable , lo que significa que 2x = 2y implica x = y. ^[21]

Véase también

• Álgebra de composición

Notas

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2. WS Massey (1983). "Productos vectoriales de vectores en espacios euclidianos de dimensiones superiores". The American Mathematical Monthly . 90 (10): 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537. Si se requieren solo tres propiedades básicas del producto vectorial... resulta que un producto vectorial de vectores existe solo en espacios euclidianos tridimensionales y heptadimensionales.
3. G Gentili, C Stoppato, DC Struppa y F Vlacci (2009). "Desarrollos recientes para funciones regulares de una variable hipercompleja". En Irene Sabadini ; M Shapiro; F Sommen (eds.). Análisis hipercomplejo (Conferencia sobre análisis cuaterniónico y de Clifford; actas ed.). Birkhäuser. p. 168. ISBN 978-3-7643-9892-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Lev Vasilʹevitch Sabinin; Larissa Sbitneva; IP Shestakov (2006). "§17.2 Álgebra de octoniones y su representación bimódulo regular". Álgebra no asociativa y sus aplicaciones . CRC Press. pág. 235. ISBN 0-8247-2669-3.
5. Rafał Abłamowicz; Pertti Lounesto; Josep M. Parra (1996). "§ Cuatro numeraciones de base octoniónica". Álgebras de Clifford con cálculos numéricos y simbólicos . Birkhäuser. pág. 202. ISBN 0-8176-3907-1.
6. Las aplicaciones están restringidas a ser bilineales por (Massey 1993) y Robert B Brown y Alfred Gray (1967). "Productos cruzados vectoriales". Commentarii Mathematici Helvetici . 42 (1/diciembre). Birkhäuser Basel: 222–236. doi :10.1007/BF02564418. S2CID  121135913. harv error: no target: CITEREFMassey1993 (help).
7. Francis Begnaud Hildebrand (1992). Métodos de matemáticas aplicadas (Reimpresión de Prentice-Hall 1965 2.ª ed.). Courier Dover Publications. pág. 24. ISBN 0-486-67002-3.
8. Lounesto 2001, pág. 96-97
9. Kendall, MG (2004). Un curso de geometría de N dimensiones. Courier Dover Publications. pág. 19. ISBN 0-486-43927-5.
10. ZK Silagadze (2002). "Producto vectorial multidimensional". Journal of Physics A: Mathematical and General . 35 (23): 4949–4953. arXiv : math.RA/0204357 . Código Bibliográfico :2002JPhA...35.4949S. doi :10.1088/0305-4470/35/23/310. S2CID  119165783.
11. Nathan Jacobson (2009). Álgebra básica I (reimpresión de Freeman 1974 2.ª ed.). Dover Publications. págs. 417–427. ISBN 978-0-486-47189-1.
12. Se puede encontrar una discusión más amplia de las tablas y la conexión del plano de Fano con estas tablas aquí: Tony Smith. "Productos y redes de octoniones" . Consultado el 12 de mayo de 2018 .
13. Rafał Abłamowicz; Bertfried Fauser (2000). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática: Álgebra y física. Springer. pág. 26. ISBN 0-8176-4182-3.
14. Jörg Schray; Corinne A. Manogue (1996). "Representaciones octoniónicas de álgebras de Clifford y trialidad". Fundamentos de la Física . 26 (1/enero): 17–70. arXiv : hep-th/9407179 . Código Bibliográfico :1996FoPh...26...17S. doi :10.1007/BF02058887. S2CID  119604596.Disponible como preimpresión de ArXive. La Figura 1 se encuentra aquí.
15. Bertfried Fauser (2004). "§18.4.2 Contracciones". En Pertti Lounesto; Rafał Abłamowicz (eds.). Álgebras de Clifford: aplicaciones a las matemáticas, la física y la ingeniería . Birkhäuser. pp. 292 y siguientes . ISBN 0-8176-3525-4.
16. John C. Baez (2002). "Los octoniones" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/s0273-0979-01-00934-x. S2CID  586512. Archivado desde el original (PDF) el 2010-07-07.
17. Elduque, Alberto (2004), Productos vectoriales (PDF)
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19. Lounesto 2001, p. 98, §7.5: Productos cruzados de k vectores en R ⁿ
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Referencias

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