Producto directo de grupos

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el producto directo es una operación que toma dos grupos $G$ y $H$ y construye un nuevo grupo, generalmente denotado $G \times H.$ Esta operación es el análogo teórico de grupos del producto cartesiano de conjuntos y es una de varias nociones importantes de producto directo en matemáticas.

En el contexto de los grupos abelianos , el producto directo a veces se denomina suma directa y se denota . Las sumas directas juegan un papel importante en la clasificación de los grupos abelianos: según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos , cada grupo abeliano finito puede expresarse como la suma directa de los grupos cíclicos . $G\oplus H$

Definición

Dados los grupos $G$ (con operación $*$ ) y $H$ (con operación $∆$ ), el producto directo $G \times H$ se define como sigue:

El conjunto subyacente es el producto cartesiano, $G \times H$ . Es decir, los pares ordenados $(g, h)$ , donde $g \in G$ y $h \in H$ .
La operación binaria en $G \times H$ se define componente por componente:
$(g 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 * g 2, h 1 ∆ h 2)$

El objeto algebraico resultante satisface los axiomas de un grupo. En concreto:

Asociatividad: La operación binaria sobre $G \times H$ es asociativa .
Identidad: El producto directo tiene un elemento identidad , es decir $(1 G$ , $1$ $H$ $)$ , donde $1 G$ es el elemento identidad de $G$ y $1 H$ es el elemento identidad de $H.$
Inversas: La inversa de un elemento $(g, h)$ de $G \times H$ es el par $(g -1, h -1)$ , donde $g -1$ es la inversa de $g$ en $G$ , y $h -1$ es la inversa de $h$ en $H$ .

Ejemplos

Sea $R$ el grupo de los números reales bajo la operación de adición . Entonces el producto directo $R \times R$ es el grupo de todos los vectores de dos componentes $(x, y)$ bajo la operación de adición vectorial :

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

Sea $R +$ el grupo de números reales positivos bajo la multiplicación. Entonces el producto directo $R + \times R +$ es el grupo de todos los vectores en el primer cuadrante bajo la operación de multiplicación por componentes.

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

Sean $G$ y $H$ grupos cíclicos con dos elementos cada uno:

Entonces el producto directo $G \times H$ es isomorfo al cuatro-grupo de Klein :

Propiedades elementales

El producto directo es conmutativo y asociativo hasta el isomorfismo, es decir, $G \times H ≅ H \times G$ y $(G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ para cualesquiera grupos $G$ , $H$ y $K$ .
El grupo trivial es el elemento identidad del producto directo, salvo isomorfismo. Si $E$ denota el grupo trivial, $G ≅ G \times E ≅ E \times G$ para cualquier grupo $G$ .
El orden de un producto directo $G \times H$ es el producto de los órdenes de $G$ y $H$ :
$| G \times H | = | G | | H |$ .
Esto se desprende de la fórmula para la cardinalidad del producto cartesiano de conjuntos.
El orden de cada elemento $(g, h)$ es el mínimo común múltiplo de los órdenes de $g$ y $h$ : ^[1]
$| (g, h) | = mcm (| g |, | h |)$ .
En particular, si $| g |$ y $| h |$ son primos entre sí , entonces el orden de $(g, h)$ es el producto de los órdenes de $g$ y $h$ .
En consecuencia, si $G$ y $H$ son grupos cíclicos cuyos órdenes son primos entre sí, entonces $G \times H$ también es cíclico. Es decir, si $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces
$(Z / m Z) \times (Z / n Z) ≅ Z / mn Z$ .
Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema del resto chino .

Estructura algebraica

Sean $G$ y $H$ grupos, sea $P = G \times H$ , y consideremos los siguientes dos subconjuntos de $P$ :

G' = { (g, 1) : g \in G}

H' = { (1, h) : h \in H}

Ambos son, de hecho, subgrupos de $P$ , siendo el primero isomorfo a $G$ y el segundo isomorfo a $H$ . Si los identificamos con $G$ y $H$ , respectivamente, entonces podemos pensar en el producto directo $P$ como si contuviera a los grupos originales $G$ y $H$ como subgrupos.

Estos subgrupos de $P$ tienen las siguientes tres propiedades importantes: (Diciendo nuevamente que identificamos $G'$ y $H'$ con $G$ y $H$ , respectivamente.)

La intersección $G \cap H$ es trivial .
Cada elemento de $P$ puede expresarse únicamente como el producto de un elemento de $G$ y un elemento de $H.$
Cada elemento de $G$ conmuta con cada elemento de $H.$

Juntas, estas tres propiedades determinan completamente la estructura algebraica del producto directo $P$ . Es decir, si $P$ es cualquier grupo que tenga subgrupos $G$ y $H$ que satisfacen las propiedades anteriores, entonces $P$ es necesariamente isomorfo al producto directo de $G$ y $H$ . En esta situación, a veces se hace referencia a $P$ como el producto directo interno de sus subgrupos $G$ y $H$ .

En algunos contextos, la tercera propiedad anterior se reemplaza por la siguiente:

3′. Tanto

G

como

H

son normales en

P

Esta propiedad es equivalente a la propiedad 3, ya que los elementos de dos subgrupos normales con intersección trivial necesariamente conmutan, hecho que se puede deducir considerando el conmutador $[g, h]$ de cualquier $g$ en $G$ , $h$ en $H$ .

Ejemplos

Sea $V$ el cuatrigrupo de Klein : Entonces $V$ es el producto directo interno de los subgrupos de dos elementos {1, a } y {1, b }.
Sea un grupo cíclico de orden mn , donde m y n son primos entre sí. Entonces y son subgrupos cíclicos de órdenes m y n , respectivamente, y es el producto directo interno de estos subgrupos. $\langle a\rangle$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $\langle a\rangle$
Sea $C \times$ el grupo de números complejos distintos de cero bajo la multiplicación . Entonces $C \times$ es el producto directo interno del grupo circular $T$ de números complejos unitarios y el grupo $R +$ de números reales positivos bajo la multiplicación.
Si n es impar, entonces el grupo lineal general $GL(n, R)$ es el producto directo interno del grupo lineal especial $SL(n, R)$ y el subgrupo que consiste en todas las matrices escalares .
De manera similar, cuando n es impar, el grupo ortogonal $O(n, R)$ es el producto directo interno del grupo ortogonal especial $SO(n, R)$ y el subgrupo de dos elementos ${- I, I},$ donde $I$ denota la matriz identidad .
El grupo de simetría de un cubo es el producto directo interno del subgrupo de rotaciones y el grupo de dos elementos ${- I, I},$ donde $I$ es el elemento identidad y $- I$ es la reflexión puntual a través del centro del cubo. Un hecho similar es válido para el grupo de simetría de un icosaedro .
Sea n impar y sea D _{4 n} el grupo diedro de orden 4 n :
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
Entonces D _{4 n} es el producto directo interno del subgrupo (que es isomorfo a D ₂_n ) y el subgrupo de dos elementos {1, r ⁿ }. $\langle r^{2},s\rangle$

Presentaciones

La estructura algebraica de $G \times H$ se puede utilizar para dar una representación del producto directo en términos de las representaciones de $G$ y $H$ . Específicamente, supongamos que

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

donde y son conjuntos generadores (disjuntos) y y son relaciones definitorias. Entonces $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

donde es un conjunto de relaciones que especifican que cada elemento de conmuta con cada elemento de . $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

Por ejemplo si

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

entonces

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Estructura normal

Como se mencionó anteriormente, los subgrupos $G$ y $H$ son normales en $G \times H$ . Específicamente, defina las funciones $π G : G \times H \to G$ y $π H : G \times H \to H$ por

π G (g, h) = g

π H (g, h) = h

Entonces $π G$ y $π H$ son homomorfismos , conocidos como homomorfismos de proyección , cuyos núcleos son $H$ y $G$ , respectivamente.

De ello se deduce que $G \times H$ es una extensión de $G$ por $H$ (o viceversa). En el caso en que $G \times H$ sea un grupo finito , se deduce que los factores de composición de $G \times H$ son precisamente la unión de los factores de composición de $G$ y los factores de composición de $H$ .

Otras propiedades

Propiedad universal

El producto directo $G \times H$ se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal . Sean $π G : G \times H \to G$ y $π H : G \times H \to H$ los homomorfismos de proyección. Entonces, para cualquier grupo $P$ y cualesquiera homomorfismos $ƒ G : P \to G$ y $ƒ H : P \to H$ , existe un único homomorfismo $ƒ: P \to G \times H$ haciendo que el siguiente diagrama conmute :

En concreto, el homomorfismo $ƒ$ viene dado por la fórmula

ƒ(p) = (ƒG (p), ƒH (p))

Éste es un caso especial de la propiedad universal para productos en la teoría de categorías .

Subgrupos

Si $A$ es un subgrupo de $G$ y $B$ es un subgrupo de $H$ , entonces el producto directo $A \times B$ es un subgrupo de $G \times H$ . Por ejemplo, la copia isomorfa de $G$ en $G \times H$ es el producto $G \times {1}$ , donde ${1}$ es el subgrupo trivial de $H$ .

Si $A$ y $B$ son normales, entonces $A \times B$ es un subgrupo normal de $G \times H$ . Además, el cociente de los productos directos es isomorfo al producto directo de los cocientes:

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

Nótese que no es cierto en general que cada subgrupo de $G \times H$ sea el producto de un subgrupo de $G$ con un subgrupo de $H$ . Por ejemplo, si $G$ es cualquier grupo no trivial, entonces el producto $G \times G$ tiene un subgrupo diagonal

Δ = { (g, g) : g \in G}

que no es el producto directo de dos subgrupos de $G$ .

Los subgrupos de productos directos se describen mediante el lema de Goursat . Otros subgrupos incluyen productos de fibra de $G$ y $H.$

Conjugación y centralizadores

Dos elementos $(g 1, h 1)$ y $(g 2, h 2)$ son conjugados en $G \times H$ si y solo si $g 1$ y $g 2$ son conjugados en $G$ y $h 1$ y $h 2$ son conjugados en $H$ . De ello se deduce que cada clase de conjugación en $G \times H$ es simplemente el producto cartesiano de una clase de conjugación en $G$ y una clase de conjugación en $H$ .

En la misma línea, si $(g, h) \in G \times H$ , el centralizador de $(g, h)$ es simplemente el producto de los centralizadores de $g$ y $h$ :

CG \times H (g, h)

CG (g)

CH

(

h

)

.

​

​

De manera similar, el centro de $G \times H$ es el producto de los centros de $G$ y $H$ :

Z (G \times H)

Z (G)\times Z (H)

Los normalizadores se comportan de una manera más compleja ya que no todos los subgrupos de productos directos se descomponen como productos directos.

Automorfismos y endomorfismos

Si $α$ es un automorfismo de $G$ y $β$ es un automorfismo de $H$ , entonces la función producto $α \times β : G \times H \to G \times H$ definida por

(α \times β)(gramo, h) = (α (gramo), β (h))

es un automorfismo de $G \times H$ . De ello se deduce que $Aut(G \times H)$ tiene un subgrupo isomorfo al producto directo $Aut(G) \times Aut(H)$ .

No es cierto en general que cada automorfismo de $G \times H$ tenga la forma anterior. (Es decir, $Aut(G) \times Aut(H)$ es a menudo un subgrupo propio de $Aut(G \times H)$ .) Por ejemplo, si $G$ es cualquier grupo, entonces existe un automorfismo $σ$ de $G \times G$ que intercambia los dos factores, es decir

σ (gramo 1, gramo 2) = (gramo 2, gramo 1)

Otro ejemplo: el grupo de automorfismos de $Z \times Z$ es $GL (2, Z)$ , el grupo de todas las matrices $2 \times 2$ con entradas enteras y determinante $\pm1$ . Este grupo de automorfismos es infinito, pero solo un número finito de automorfismos tiene la forma dada anteriormente.

En general, cada endomorfismo de $G \times H$ se puede escribir como una matriz $2 \times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

donde $α$ es un endomorfismo de $G$ , $δ$ es un endomorfismo de $H$ , y $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ y $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ son homomorfismos. Una matriz de este tipo debe tener la propiedad de que cada elemento en la imagen de $α$ conmuta con cada elemento en la imagen de $β$ , y cada elemento en la imagen de $γ$ conmuta con cada elemento en la imagen de $δ$ .

Cuando G y H son grupos indescomponibles y sin centro, entonces el grupo de automorfismos es relativamente sencillo, siendo Aut( G ) × Aut( H ) si G y H no son isomorfos, y Aut( G ) wr 2 si G ≅ H , wr denota el producto corona . Esto es parte del teorema de Krull-Schmidt , y se cumple de manera más general para productos directos finitos.

Generalizaciones

Productos directos finitos

Es posible tomar el producto directo de más de dos grupos a la vez. Dada una secuencia finita $G 1, ..., G n$ de grupos, el producto directo

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

Se define de la siguiente manera:

Los elementos de $G 1 \times \dots \times G n$ son tuplas $(g 1, ..., g n)$ , donde $g i \in G i$ para cada $i$ .
La operación en $G 1 \times \dots \times G n$ se define componente por componente:
$(g 1, ..., g n)(g 1', ..., g n')$ = $(g 1 g 1', ..., g n g n')$ .

Esto tiene muchas de las mismas propiedades que el producto directo de dos grupos y puede caracterizarse algebraicamente de manera similar.

Productos directos infinitos

También es posible tomar el producto directo de un número infinito de grupos. Para una secuencia infinita $G 1, G 2, ...$ de grupos, esto se puede definir igual que el producto directo finito de arriba, con elementos del producto directo infinito siendo tuplas infinitas.

De manera más general, dada una familia indexada { $G i$ } $i \in I$ de grupos, el producto directo $Π i \in I G i$ se define de la siguiente manera:

Los elementos de $Π i \in I G i$ son los elementos del producto cartesiano infinito de los conjuntos $G i$ ; es decir, funciones $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ con la propiedad de que $ƒ(i) \in G i$ para cada $i$ .
El producto de dos elementos $ƒ, g$ se define por componentes:
$(ƒ• g)(i)$ = $ƒ(i)• g (i)$ .

A diferencia de un producto directo finito, el producto directo infinito $Π i \in I G i$ no es generado por los elementos de los subgrupos isomorfos { $G i$ } $i \in I$ . En cambio, estos subgrupos generan un subgrupo del producto directo conocido como suma directa infinita , que consiste en todos los elementos que tienen solo un número finito de componentes no idénticos.

Otros productos

Productos semidirectos

Recordemos que un grupo $P$ con subgrupos $G$ y $H$ es isomorfo al producto directo de $G$ y $H$ siempre que satisfaga las tres condiciones siguientes:

La intersección $G \cap H$ es trivial .
Cada elemento de $P$ puede expresarse únicamente como el producto de un elemento de $G$ y un elemento de $H.$
Tanto $G$ como $H$ son normales en $P.$

Se obtiene un producto semidirecto de $G$ y $H$ relajando la tercera condición, de modo que solo se requiere que uno de los dos subgrupos $G, H$ sea normal. El producto resultante todavía consta de pares ordenados $(g, h)$ , pero con una regla de multiplicación ligeramente más complicada.

También es posible relajar por completo la tercera condición, lo que exige que ninguno de los dos subgrupos sea normal. En este caso, el grupo $P$ se denomina producto de Zappa-Szép de $G$ y $H.$

Productos gratis

El producto libre de $G$ y $H$ , usualmente denotado $G * H$ , es similar al producto directo, excepto que no se requiere que los subgrupos $G$ y $H$ de $G * H$ conmuten. Es decir, si

G

〈 S G

R

G

〉

H

〈

S

H

R

H

〉

son presentaciones para $G$ y $H$ , entonces

G * H

〈 S G \cup S H

R

G

\cup

R

H

〉

A diferencia del producto directo, los elementos del producto libre no pueden representarse mediante pares ordenados. De hecho, el producto libre de dos grupos no triviales cualesquiera es infinito. El producto libre es en realidad el coproducto en la categoría de grupos .

Productos subdirectos

Si $G$ y $H$ son grupos, un producto subdirecto de $G$ y $H$ es cualquier subgrupo de $G \times H$ que se aplica sobreyectivamente a $G$ y $H$ bajo los homomorfismos de proyección. Por el lema de Goursat , todo producto subdirecto es un producto de fibra.

Productos de fibra

Sean $G$ , $H$ y $Q$ grupos, y sean $𝜑 : G \to Q$ y $χ : H \to Q$ homomorfismos. El producto de fibras de $G$ y $H$ sobre $Q$ , también conocido como pullback , es el siguiente subgrupo de $G \times H$ :

$G\times _{Q}H=\{\,(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\,\}{\text{.}}$ Si $𝜑 : G \to Q$ y $χ : H \to Q$ son epimorfismos , entonces este es un producto subdirecto.

Referencias

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