Dinámica estelar

La dinámica estelar es la rama de la astrofísica que describe de forma estadística los movimientos colectivos de las estrellas sujetos a su gravedad mutua . La diferencia esencial con la mecánica celeste es que el número de cuerpos ${\displaystyle N\gg 10.}$

Tirachinas de un cuerpo de prueba en un potencial de dos cuerpos.

N-partículas en movimiento casi periódico en el espacio de fase (x, mv) de un potencial esencialmente estático

Las galaxias típicas tienen más de millones de cuerpos macroscópicos gravitantes e innumerables neutrinos y quizás otros cuerpos microscópicos oscuros. Además, cada estrella contribuye más o menos por igual al campo gravitacional total, mientras que en la mecánica celeste la atracción de un cuerpo masivo domina las órbitas de cualquier satélite. ^[1]

Conexión con la dinámica de fluidos.

La dinámica estelar también tiene conexiones con el campo de la física del plasma. ^[2] Los dos campos experimentaron un desarrollo significativo durante un período similar a principios del siglo XX, y ambos toman prestado el formalismo matemático desarrollado originalmente en el campo de la mecánica de fluidos .

En los discos de acreción y las superficies estelares, las partículas densas de plasma o gas chocan con mucha frecuencia, y las colisiones dan como resultado equipartición y quizás viscosidad bajo el campo magnético. Vemos varios tamaños de discos de acreción y atmósfera estelar, ambos formados por una enorme cantidad de masas de partículas microscópicas. ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})}$en superficies estelares,
• ${\displaystyle \sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})}$alrededor de estrellas similares al Sol o agujeros negros estelares del tamaño de kilómetros,
• ${\displaystyle \sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})}$alrededor de millones de agujeros negros de masa solar (aproximadamente del tamaño de una UA) en los centros de las galaxias.

La escala de tiempo de cruce del sistema es larga en la dinámica estelar, donde es útil observar que

${\displaystyle 1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.}$

La larga escala de tiempo significa que, a diferencia de las partículas de gas en los discos de acreción, las estrellas en los discos galácticos rara vez experimentan una colisión durante su vida estelar. Sin embargo, las galaxias chocan ocasionalmente en cúmulos de galaxias, y las estrellas tienen encuentros cercanos ocasionalmente en cúmulos de estrellas.

Como regla general, las escalas típicas en cuestión (ver la parte superior del Mapa Logarítmico del Universo de PCBudassi) son ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)}$para el cúmulo de estrellas M13,
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})}$para disco Galaxy M31,
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })}$para neutrinos en los Cúmulos Bala, que es un sistema en fusión de N = 1000 galaxias.

Conexión con el problema de Kepler y el problema de los 3 cuerpos.

A un nivel superficial, toda la dinámica estelar podría formularse como un problema de N cuerpos mediante la segunda ley de Newton , donde la ecuación de movimiento (EOM) para las interacciones internas de un sistema estelar aislado de N miembros se puede escribir como,

$${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.}$$

${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

En la práctica, excepto en las simulaciones por computadora de mayor rendimiento, no es factible calcular rigurosamente el futuro de un sistema N grande de esta manera. Además, esta MOE da muy poca intuición. Históricamente, los métodos utilizados en la dinámica estelar se originaron en los campos de la mecánica clásica y la mecánica estadística . En esencia, el problema fundamental de la dinámica estelar es el problema de los N-cuerpos , donde los N miembros se refieren a los miembros de un sistema estelar determinado. Dada la gran cantidad de objetos en un sistema estelar, la dinámica estelar puede abordar tanto las propiedades estadísticas globales de muchas órbitas como los datos específicos sobre las posiciones y velocidades de órbitas individuales. ^[1]

Concepto de campo potencial gravitacional.

La dinámica estelar implica determinar el potencial gravitacional de un número sustancial de estrellas. Las estrellas se pueden modelar como masas puntuales cuyas órbitas están determinadas por las interacciones combinadas entre sí. Normalmente, estas masas puntuales representan estrellas en una variedad de cúmulos o galaxias, como un cúmulo de galaxias o un cúmulo globular . Sin obtener el potencial gravitacional de un sistema sumando todos los potenciales de masa puntual del sistema cada segundo, los dinámicos estelares desarrollan modelos potenciales que pueden modelar con precisión el sistema sin dejar de ser computacionalmente económicos. ^[3] El potencial gravitacional, , de un sistema está relacionado con la aceleración y el campo gravitacional, por: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},}$$

ecuación de Poisson ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .}$$

Un ejemplo de la ecuación de Poisson y la velocidad de escape en una esfera uniforme.

Considere un potencial esférico analíticamente suave

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle V_{e}(r)}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}V_{0}}$

Podemos arreglar la normalización calculando la densidad correspondiente usando la ecuación esférica de Poisson. ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),}$$

$${\displaystyle M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.}$$

Por tanto el modelo potencial corresponde a una esfera uniforme de radio , masa total con ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$

$${\displaystyle {V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.}$$

Conceptos clave

Si bien tanto las ecuaciones de movimiento como la ecuación de Poisson también pueden adoptar formas no esféricas, dependiendo del sistema de coordenadas y de la simetría del sistema físico, la esencia es la misma: los movimientos de las estrellas en una galaxia o en un cúmulo globular son determinado principalmente por la distribución promedio de las otras estrellas distantes. Los poco frecuentes encuentros estelares implican procesos como relajación, segregación de masas , fuerzas de marea y fricción dinámica que influyen en las trayectorias de los miembros del sistema. ^[4]

Aproximaciones relativistas

Hay tres aproximaciones relacionadas realizadas en la EOM newtoniana y la ecuación de Poisson anteriores.

SR y GR

En primer lugar, las ecuaciones anteriores ignoran las correcciones relativistas, que son del orden de

$${\displaystyle (v/c)^{2}\ll 10^{-4}}$$

${\displaystyle v\sim 3-3000}$

Límite de Eddington

En segundo lugar, la fuerza no gravitacional suele ser insignificante en los sistemas estelares. Por ejemplo, en las proximidades de una estrella típica, la relación entre la fuerza de radiación y la de gravedad sobre un átomo o ion de hidrógeno,

$${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},}$$

${\displaystyle 30M_{\odot }}$ ${\displaystyle L_{\bullet }/M_{\bullet }}$ ${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}=1}$

Cono de pérdida

En tercer lugar, una estrella puede ser devorada si se encuentra a unos pocos radios de Schwarzschild del agujero negro. Este radio de pérdida está dado por

$${\displaystyle s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$$

El cono de pérdida se puede visualizar considerando las partículas que caen hacia el agujero negro dentro de un pequeño ángulo sólido (un cono en velocidad). Estas partículas con pequeño tienen un pequeño momento angular por unidad de masa. ${\displaystyle \theta \ll 1}$

$${\displaystyle J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$$

${\displaystyle s_{\text{Loss}}}$

El potencial efectivo

$${\displaystyle \Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),}$$

${\displaystyle {\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$

Sin un tratamiento GR riguroso, se puede verificar esto calculando la última órbita circular estable, donde el potencial efectivo está en un punto de inflexión utilizando un potencial clásico aproximado de un agujero negro de Schwarzschild. ${\displaystyle s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}}$ ${\displaystyle \Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0}$

$${\displaystyle \Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].}$$

Radio de alteración de las mareas

Una estrella puede ser desgarrada por un agujero negro más pesado cuando se encuentra dentro del llamado radio de Hill del agujero negro, dentro del cual la gravedad de la superficie de una estrella cede a la fuerza de marea del agujero negro, ^[5] es decir,

$${\displaystyle (1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},}$$

Para agujeros negros típicos del radio de destrucción. ${\displaystyle M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }}$

$${\displaystyle \max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,}$$

Radio de esfera de influencia

Una partícula de masa con una velocidad relativa V se desviará al entrar en la sección transversal (mucho más grande) de un agujero negro. Esta llamada esfera de influencia está vagamente definida por, hasta un factor de manipulación tipo Q , ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\ln \Lambda }}}$

$${\displaystyle 1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},}$$

$${\displaystyle s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },}$$

$${\displaystyle V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s} }$$

$${\displaystyle V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s} }$$

Conexiones entre el cono de pérdida de estrellas y la física de acreción de gas gravitacional

Primero, considere que un agujero negro pesado de masa se mueve a través de un gas de disipación de velocidad y densidad del sonido térmico (reescalada) , luego cada partícula de gas de masa m probablemente transferirá su impulso relativo al BH cuando se encuentre dentro de una sección transversal de un radio. ${\displaystyle M_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\text{ς'}}}$ ${\displaystyle \rho _{\text{gas}}}$ ${\displaystyle mV_{\bullet }}$

$${\displaystyle s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$

${\displaystyle t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$

$${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},}$$

${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\text{ς'}}}$ ${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =5/3}$ ${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$

Volviendo a la disrupción de las mareas estelares y la captura de estrellas por un agujero negro (en movimiento) , podríamos resumir la tasa de crecimiento de BH a partir de gas y estrellas, con, ${\displaystyle \ln \Lambda =1}$ ${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}}$

$${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$

Fricción dinámica gravitacional

Considere el caso de que un agujero negro pesado de masa se mueva con respecto a un fondo de estrellas en movimiento aleatorio en un cúmulo de masa total con una densidad numérica media. ${\displaystyle M_{\bullet }}$ ${\displaystyle (NM_{\odot })}$

$${\displaystyle n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)}$$

${\displaystyle R}$

La intuición dice que la gravedad hace que los cuerpos luminosos se aceleren y ganen impulso y energía cinética (ver efecto tirachinas). Por conservación de la energía y el impulso, podemos concluir que el cuerpo más pesado se desacelerará en cierta medida para compensar. Dado que el cuerpo considerado pierde impulso y energía cinética, el efecto se denomina fricción dinámica.

Después de un cierto tiempo de relajación, la energía cinética del agujero negro pesado debería estar en igualdad de proporciones con la de los objetos menos masivos del fondo. La desaceleración del agujero negro se puede describir como

$${\displaystyle -{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},}$$

${\displaystyle t_{\text{fric}}^{\text{star}}}$

Tiempo de fricción dinámica vs tiempo de cruce en un sistema virializado

Considere un BH Mach-1, que viaja inicialmente a la velocidad del sonido , por lo tanto, su radio Bondi satisface ${\displaystyle {\text{ς}}=V_{0}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$

$${\displaystyle {GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},}$$

${\displaystyle {\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}}$ ${\displaystyle {4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4}$ ${\displaystyle \rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}}$

$${\displaystyle 2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.}$$

${\displaystyle t_{\text{cross}}}$

Supongamos que el BH se detiene después de viajar una longitud de con su impulso depositado en las estrellas en su camino sobre los cruces, entonces el número de estrellas desviadas por la sección transversal de Bondi del BH por "diámetro" de tiempo de cruce es ${\displaystyle l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}}$ ${\displaystyle {M_{\bullet } \over M_{\odot }}}$ ${\displaystyle l_{\text{fric}}/(2R)}$

$${\displaystyle N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .}$$

De manera más general, la ecuación de movimiento del BH a una velocidad general en el potencial de un mar de estrellas se puede escribir como ${\displaystyle \mathbf {V} _{\bullet }}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle -{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },}$$

${\displaystyle {\pi ^{2} \over 8}\approx 1}$ ${\displaystyle {\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1}$ ${\displaystyle M_{\bullet }\geq M_{\odot }}$ ${\displaystyle t_{\text{ς'}}}$

Formulación más rigurosa de la fricción dinámica.

La fórmula completa de fricción dinámica de Chandrasekhar para el cambio en la velocidad del objeto implica la integración sobre la densidad del espacio de fase del campo de materia y está lejos de ser transparente.

Se lee como

$${\displaystyle {M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},}$$

$${\displaystyle ~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}}$$

${\displaystyle |V_{\bullet }dt|}$ ${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$

Al igual que el "logaritmo de Couloumb" influye en la contribución de las partículas de fondo distantes, aquí el factor también influye en la probabilidad de encontrar una partícula de fondo más lenta que BH para contribuir al arrastre. Cuantas más partículas sean alcanzadas por el BH, más partículas arrastrarán al BH y mayor será . Además, cuanto más grande es el sistema, mayor es . ${\displaystyle \ln \Lambda }$ ${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{lag}})}$ ${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{beaten}})}$ ${\displaystyle \ln \Lambda }$

Un fondo de partículas elementales (gas u oscuras) también puede inducir fricción dinámica, que aumenta con la densidad de masa del medio circundante ; la menor masa de partícula m se compensa con la mayor densidad numérica n. Cuanto más masivo sea el objeto, más materia será arrastrada por su estela. ${\displaystyle m~n}$

Resumiendo la resistencia gravitacional tanto del gas colisionante como de las estrellas sin colisión, tenemos

$${\displaystyle M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~}$$

^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$$

distribucióngaussiana ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle {\text{ς}}}$ ${\displaystyle mn(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle p=mv}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \leq {\text{ς}}}$

Curiosamente, la dependencia sugiere que la fricción dinámica proviene de la atracción gravitacional de la estela, que es inducida por el enfoque gravitacional del cuerpo masivo en sus encuentros de dos cuerpos con objetos de fondo. ${\displaystyle G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))}$

Vemos que la fuerza también es proporcional al cuadrado inverso de la velocidad en el extremo superior, por lo que la tasa fraccionaria de pérdida de energía cae rápidamente a altas velocidades. Por lo tanto, la fricción dinámica no es importante para los objetos que se mueven relativistamente, como los fotones. Esto puede racionalizarse al darse cuenta de que cuanto más rápido se mueve el objeto a través del medio, menos tiempo hay para que se forme una estela detrás de él. La fricción tiende a ser mayor en la barrera del sonido, donde . ${\displaystyle \ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}}$

Encuentros gravitacionales y relajación.

Las estrellas de un sistema estelar influirán en las trayectorias de las demás debido a encuentros gravitacionales fuertes y débiles. Un encuentro entre dos estrellas se define como fuerte/débil si su energía potencial mutua en el paso más cercano es comparable/minúscula a su energía cinética inicial. Los encuentros fuertes son raros y normalmente sólo se consideran importantes en sistemas estelares densos; por ejemplo, una estrella que pasa puede ser lanzada por estrellas binarias en el núcleo de un cúmulo globular. ^[7] Esto significa que dos estrellas deben estar separadas,

$${\displaystyle s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},}$$

$${\displaystyle 1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},}$$

${\displaystyle N(N-1)/2}$ ${\displaystyle R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R}$ ${\displaystyle Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.}$

Camino libre medio

El camino libre medio de encuentros fuertes en un sistema estelar típico es entonces ${\displaystyle (N-1)=4.19nR^{3}\gg 100}$

$${\displaystyle l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,}$$

${\displaystyle 0.123N}$ ${\displaystyle \pi s_{*}^{2}}$ ${\displaystyle R/V}$

Encuentros débiles

Los encuentros débiles tienen un efecto más profundo en la evolución de un sistema estelar a lo largo de muchos pasajes. Los efectos de los encuentros gravitacionales se pueden estudiar con el concepto de tiempo de relajación . Un ejemplo sencillo que ilustra la relajación es la relajación de dos cuerpos, donde la órbita de una estrella se altera debido a la interacción gravitacional con otra estrella.

Inicialmente, la estrella en cuestión viaja a lo largo de una órbita con velocidad inicial, es decir, perpendicular al parámetro de impacto , la distancia de máxima aproximación, a la estrella de campo cuyo campo gravitacional afectará la órbita original. Usando las leyes de Newton, el cambio en la velocidad de la estrella en cuestión, , es aproximadamente igual a la aceleración en el parámetro de impacto, multiplicada por la duración de la aceleración. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$

El tiempo de relajación se puede considerar como el tiempo que tardan en igualarse , o el tiempo que tardan las pequeñas desviaciones en la velocidad en igualar la velocidad inicial de la estrella. El número de cruces de "medio diámetro" para que una estrella promedio se relaje en un sistema estelar de objetos es aproximadamente ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1}$$

La respuesta tiene sentido porque no hay relajación para un solo cuerpo o un sistema de dos cuerpos. Una mejor aproximación de la relación de escalas de tiempo es , de ahí el tiempo de relajación para 3 cuerpos, 4 cuerpos, 5 cuerpos, 7 cuerpos, 10 cuerpos, ..., 42 cuerpos, 72 cuerpos, 140 cuerpos. , 210 cuerpos, 550 cuerpos son aproximadamente 16, 8, 6, 4, 3, ..., 3, 4, 6, 8, 16 cruces. No hay relajación para un sistema binario aislado, y la relajación es más rápida para un sistema de 16 cuerpos; se necesitan alrededor de 2,5 cruces para que las órbitas se dispersen entre sí. Un sistema con un potencial mucho más suave generalmente requiere encuentros débiles para generar una fuerte deflexión que cambie significativamente la energía orbital. ${\displaystyle \left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}}$ ${\displaystyle N\sim 10^{2}-10^{10}}$ ${\displaystyle \sim \ln N'\approx (2-20)}$

Relación entre fricción y relajación.

Está claro que la fricción dinámica de un agujero negro es mucho más rápida que el tiempo de relajación en aproximadamente un factor , pero estos dos son muy similares para un grupo de agujeros negros. ${\displaystyle M_{\odot }/M_{\bullet }}$

$${\displaystyle N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.}$$

Para un cúmulo de estrellas o de galaxias con, digamos, tenemos . Por lo tanto, los encuentros de miembros en estos cúmulos estelares o de galaxias son significativos durante la vida típica de 10 Gyr. ${\displaystyle N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s} }$ ${\displaystyle t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr} }$

Por otro lado, una galaxia típica con, digamos, estrellas, tendría un tiempo de cruce y su tiempo de relajación es mucho más largo que la edad del Universo. Esto justifica modelar los potenciales de las galaxias con funciones matemáticamente suaves, ignorando los encuentros de dos cuerpos a lo largo de la vida de las galaxias típicas. Y dentro de una galaxia tan típica, la fricción dinámica y la acreción en los agujeros negros estelares durante un tiempo de 10 Gyr Hubble cambian la velocidad y la masa del agujero negro sólo en una fracción insignificante. ${\displaystyle N=10^{6}-10^{11}}$ ${\displaystyle t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr} }$

$${\displaystyle \Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}}$$

si el agujero negro representa menos del 0,1% de la masa total de la galaxia . Especialmente cuando vemos que una estrella típica nunca experimenta un encuentro, por lo tanto permanece en su órbita en un potencial galáctico suave. ${\displaystyle NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }}$ ${\displaystyle M_{\bullet }\sim M_{\odot }}$

La fricción dinámica o el tiempo de relajación identifican sistemas de partículas sin colisión frente a sistemas de partículas con colisión. La dinámica en escalas de tiempo mucho menores que el tiempo de relajación es efectivamente sin colisiones porque una estrella típica se desviará de su tamaño de órbita inicial en una pequeña fracción . También se identifican como sistemas donde las estrellas en cuestión interactúan con un potencial gravitacional suave en lugar de la suma de potenciales de masa puntual. Los efectos acumulados de la relajación de dos cuerpos en una galaxia pueden conducir a lo que se conoce como segregación de masas , donde las estrellas más masivas se reúnen cerca del centro de los cúmulos, mientras que las menos masivas son empujadas hacia las partes exteriores del cúmulo. ${\displaystyle t/t_{\text{relax}}\ll 1}$

Un resumen de la ecuación de continuidad de una vaca esférica. en procesos colisionales y sin colisiones

Habiendo repasado los detalles de las interacciones bastante complejas de las partículas en un sistema gravitacional, siempre es útil alejarse y extraer algún tema genérico, a un precio de rigor asequible, para continuar con una carga más ligera.

El primer concepto importante es el "movimiento de equilibrio de la gravedad" cerca del perturbador y para el fondo en su conjunto.

$${\displaystyle {\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},}$$

omitiendoaproximandoambiguogeometríasutiles distincionesvelocidad del sonidoenfatizar la lógica ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \ln {\text{Λ}}}$ ${\displaystyle M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }}$ ${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ ${\displaystyle \langle V\rangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{\text{ς}}}$

En segundo lugar, podemos resumir de manera muy vaga los diversos procesos hasta ahora de gas/estrella colisionante y sin colisión o materia oscura mediante la ecuación de continuidad estilo vaca esférica en cualquier cantidad genérica Q del sistema:

$${\displaystyle {dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,}$$

camino libre medioSección transversaltiro de honda)acreción de Bondialteración de las mareas ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}}$

$${\displaystyle s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.}$$

Por ejemplo, en caso de que Q sea la masa del perturbador , entonces podemos estimar el tiempo de fricción dinámica mediante la tasa de acreción (gas/estrella). ${\displaystyle Q=M_{\bullet }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}}$$

En el límite, el perturbador es solo 1 de las N partículas de fondo, este tiempo de fricción se identifica con el tiempo de relajación (gravitacional) . Nuevamente se suprimen todos los logaritmos de Coulomb, etc., sin cambiar las estimaciones de estas ecuaciones cualitativas. ${\displaystyle M_{\bullet }\rightarrow m}$

Para el resto de la dinámica estelar, trabajaremos consistentemente en cálculos precisos principalmente a través de Ejemplos resueltos , ignorando la fricción gravitacional y la relajación del perturbador, trabajando en el límite como es aproximadamente cierto en la mayoría de las galaxias en la escala de tiempo de 14 Gyrs de Hubble, aunque esto es a veces se viola para algunos cúmulos de estrellas o cúmulos de galaxias.del cúmulo. ^[7] ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Aquí se muestra un resumen conciso de una página de algunas ecuaciones principales en dinámica estelar y física de discos de acreción , donde se intenta ser más riguroso con las ecuaciones cualitativas anteriores.

Dinámica estelar Conceptos clave y ecuaciones

Conexiones con la mecánica estadística y la física del plasma.

La naturaleza estadística de la dinámica estelar se origina a partir de la aplicación de la teoría cinética de los gases a los sistemas estelares por parte de físicos como James Jeans a principios del siglo XX. Las ecuaciones de Jeans , que describen la evolución temporal de un sistema de estrellas en un campo gravitacional, son análogas a las ecuaciones de Euler para un fluido ideal y se derivaron de la ecuación de Boltzmann sin colisiones . Fue desarrollado originalmente por Ludwig Boltzmann para describir el comportamiento de no equilibrio de un sistema termodinámico. De manera similar a la mecánica estadística, la dinámica estelar hace uso de funciones de distribución que encapsulan la información de un sistema estelar de manera probabilística. La función de distribución del espacio de fases de una sola partícula, se define de tal manera que ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN}$$

el teorema de Liouville ${\displaystyle dN/N}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\text{v}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {v} }$

Convención y notación en caso de distribución térmica.

En la mayor parte de la literatura sobre dinámica estelar, es conveniente adoptar la convención de que la masa de la partícula es la unidad en unidad de masa solar , por lo tanto, el momento y la velocidad de una partícula son idénticos, es decir, ${\displaystyle M_{\odot }}$

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},}$$

$${\displaystyle {dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}}$$

Por ejemplo, la distribución de velocidad térmica de las moléculas de aire (normalmente 15 veces la masa de protones por molécula) en una habitación a temperatura constante tendría una distribución de Maxwell. ${\displaystyle T_{0}\sim \mathrm {300K} }$

$${\displaystyle f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}}$$

$${\displaystyle f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},}$$

donde la energía por unidad de masa

$${\displaystyle E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,}$$

${\displaystyle \Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0}$

y es el ancho de la distribución de velocidad de Maxwell, idéntica en cada dirección y en todas partes de la habitación, y la constante de normalización (supongamos que el potencial químico es tal que la distribución de Fermi-Dirac se reduce a una distribución de velocidad de Maxwell) está fijada por el número de gas constante densidad a nivel del suelo, donde ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$ ${\displaystyle e^{\mu \over kT_{0}}}$ ${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$ ${\displaystyle n_{0}=n(x,y,0)}$

$${\displaystyle n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})}$$

$${\displaystyle n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.}$$

El CBE

En física del plasma, la ecuación de Boltzmann sin colisiones se denomina ecuación de Vlasov y se utiliza para estudiar la evolución temporal de la función de distribución de un plasma.

La ecuación de Boltzmann a menudo se escribe de manera más general con el operador de Liouville como ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi }$ ${\displaystyle f_{\text{fit}}^{\text{Max}}}$ ${\displaystyle f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle t_{\text{relax}}}$

Mientras que Jeans aplicó la ecuación de Boltzmann sin colisiones, junto con la ecuación de Poisson, a un sistema de estrellas que interactúan mediante la fuerza de gravedad de largo alcance, Anatoly Vlasov aplicó la ecuación de Boltzmann con las ecuaciones de Maxwell a un sistema de partículas que interactúan mediante la fuerza de Coulomb . ^[8] Ambos enfoques se separan de la teoría cinética de los gases al introducir fuerzas de largo alcance para estudiar la evolución a largo plazo de un sistema de muchas partículas. Además de la ecuación de Vlasov, Donald Lynden-Bell aplicó el concepto de amortiguación de Landau en plasmas a los sistemas gravitacionales para describir los efectos de la amortiguación en sistemas estelares esféricos. ^[9]

Una buena propiedad de f(t,x,v) es que sus momentos pueden formar muchas otras cantidades dinámicas , por ejemplo, la masa total, la densidad local, la presión y la velocidad media. Aplicando la ecuación de Boltzmann sin colisiones , estos momentos se relacionan mediante varias formas de ecuaciones de continuidad, de las cuales las más notables son las ecuaciones de Jeans y el teorema de Virial .

Momentos ponderados por probabilidad y equilibrio hidrostático.

Jeans calculó la velocidad ponderada de la ecuación de Boltzmann después de integrarla en el espacio de velocidades

$${\displaystyle {1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,}$$

${\displaystyle ^{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}}$$

La versión general de la ecuación de Jeans, que involucra momentos de velocidad (3 x 3), es engorrosa. Solo se vuelve útil o solucionable si pudiéramos eliminar algunos de estos momentos, especialmente eliminar los términos cruzados fuera de la diagonal para sistemas de alta simetría, y también eliminar la rotación neta o la velocidad neta de entrada en todas partes.

La versión isotrópica también se llama ecuación de equilibrio hidrostático donde se equilibra el gradiente de presión con la gravedad; la versión isotrópica también funciona para discos axisimétricos, después de reemplazar la derivada dr con la coordenada vertical dz. Significa que podríamos medir la gravedad (de la materia oscura) observando los gradientes de dispersión de velocidades y la densidad numérica de las estrellas.

Aplicaciones y ejemplos

La dinámica estelar se utiliza principalmente para estudiar las distribuciones de masa dentro de sistemas estelares y galaxias. Los primeros ejemplos de aplicación de la dinámica estelar a los cúmulos incluyen el artículo de Albert Einstein de 1921 que aplica el teorema del virial a cúmulos de estrellas esféricos y el artículo de Fritz Zwicky de 1933 que aplica el teorema del virial específicamente al cúmulo de coma , que fue uno de los precursores originales de la idea. de materia oscura en el universo. ^{[10] [11]} Las ecuaciones de Jeans se han utilizado para comprender diferentes datos de observación de movimientos estelares en la Vía Láctea. Por ejemplo, Jan Oort utilizó las ecuaciones de Jeans para determinar la densidad promedio de materia en las proximidades de la vecindad solar, mientras que el concepto de deriva asimétrica surgió del estudio de las ecuaciones de Jeans en coordenadas cilíndricas. ^[12]

La dinámica estelar también proporciona información sobre la estructura de formación y evolución de las galaxias. Se utilizan modelos dinámicos y observaciones para estudiar la estructura triaxial de galaxias elípticas y sugieren que las galaxias espirales prominentes se crean a partir de fusiones de galaxias. ^[1] Los modelos dinámicos estelares también se utilizan para estudiar la evolución de los núcleos galácticos activos y sus agujeros negros, así como para estimar la distribución de masa de la materia oscura en las galaxias.

Observe el extremo algo puntiagudo del potencial igual en el plano meridional (R,z) de este modelo R0=5z0=1

Un potencial de disco grueso unificado

Considere un potencial achatado en coordenadas cilíndricas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle z_{0},R_{0}}$

Primero podemos ver que la masa total del sistema se debe a que ${\displaystyle M_{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},}$$

${\displaystyle R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},}$ ${\displaystyle Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.}$

También podemos mostrar que algunos casos especiales de este potencial unificado se convierten en el potencial del disco delgado de Kuzmin, el de la masa puntual y el de una distribución de masa uniforme en forma de aguja: ${\displaystyle M_{0}}$

$${\displaystyle \Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,}$$

$${\displaystyle \Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,}$$

$${\displaystyle \Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].}$$

Un ejemplo práctico de campo vectorial de gravedad en un disco grueso.

Primero considere la gravedad vertical en el límite,

$${\displaystyle g_{z}(R,z)=-\partial _{z}\Phi (R,z)=-{GM_{0}z \over 2z_{0}^{2}}\left[{1 \over {\sqrt {R_{0}^{2}+R^{2}}}}-{1 \over {\sqrt {(R_{0}+2z_{0})^{2}+R^{2}}}}\right],~~z=\pm z_{0},}$$

Tenga en cuenta que tanto el potencial como la gravedad vertical son continuos a través de los límites, por lo que no hay discos de afeitar en los límites. Gracias a que en el límite, es continuo. Aplique el teorema de Gauss integrando la fuerza vertical sobre todos los límites superior e inferior del disco, tenemos ${\displaystyle \partial _{|z|}(2Q)-\partial _{|z|}Q_{-}=\partial _{|z|}\left(Q_{+}-{\frac {2z_{0}}{R}}\right)={1 \over R}}$

$${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)|g_{z}(R,z_{0})|=4\pi GM_{0},}$$

${\displaystyle M_{0}}$

La gravedad vertical cae con

$${\displaystyle -g_{z}\rightarrow GM_{0}z(1+R_{0}/z_{0})/R^{3}}$$

${\displaystyle GM_{0}z/R^{3}}$

Densidad de un disco grueso según la ecuación de Poisson

Insertar en el eq cilíndrico de Poisson.

$${\displaystyle \rho (R,z)={\partial _{z}\partial _{z}\Phi \over 4\pi G}+{\partial _{R}(R\partial _{R}\Phi ) \over 4\pi GR}={M_{0}R_{0}/z_{0} \over 4\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}H(z_{0}-|z|),}$$

${\displaystyle |z|>z_{0}}$

Observe el contorno de densidad del disco grueso verticalmente uniforme en este modelo R0=5z0=1

Densidad superficial y masa de un disco grueso.

Integrando sobre todo el disco grueso de espesor uniforme , encontramos la densidad superficial y la masa total como ${\displaystyle 2z_{0}}$

$${\displaystyle \Sigma (R)=(2z_{0})\rho (R,0),~~M_{0}=\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)\Sigma (R).}$$

Esto confirma la ausencia de discos extrafinos en los límites. En el límite, este potencial de disco grueso se reduce al de un disco de Kuzmin muy delgado, lo cual podemos verificar . ${\displaystyle z_{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {|g_{z}(R,0+)| \over 2\pi G}\rightarrow \Sigma (R)\rightarrow {M_{0}R_{0} \over 2\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}}$

Frecuencias de oscilación en un disco grueso.

Para encontrar las frecuencias de oscilación vertical y radial, hacemos una expansión de potencial de Taylor alrededor del plano medio.

$${\displaystyle \Phi (R_{1},z)\approx \Phi (R,0)+{\omega ^{2}R}(R_{1}-R)+{\kappa ^{2} \over 2}(R_{1}-R)^{2}+{\nu ^{2} \over 2}z^{2}}$$

${\displaystyle V_{\text{cir}}}$

$${\displaystyle (R\omega )^{2}\equiv V_{\text{cir}}^{2}=\left[{(1+R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2}}}}-{(R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+R_{0}^{2}}}}\right],}$$

$${\displaystyle \nu ^{2}={GM_{0}(R_{0}/z_{0}+1) \over (R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2})^{3/2}},}$$

$${\displaystyle \kappa ^{2}+\nu ^{2}-2\omega ^{2}=4\pi G\rho (R,0)={GM_{0}R_{0}/z_{0} \over (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}.}$$

${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ ${\displaystyle R\ll R_{0}}$

En radios grandes se satisfacen tres frecuencias . Por ejemplo, en el caso de que y , las oscilaciones forman una resonancia. ${\textstyle \left.\left[\omega ,\nu ,\kappa ,{\sqrt {4\pi G\rho }}\right]\right|_{R\to \infty }\to [1,1+R_{0}/z_{0},1,R_{0}/z_{0}]^{1 \over 2}{\sqrt {GM_{0} \over R^{3}}}}$ ${\displaystyle R\to \infty }$ ${\displaystyle R_{0}/z_{0}=3}$ ${\displaystyle \omega :\nu :\kappa =1:2:1}$

En el caso de que , la densidad es cero en todas partes excepto en la aguja uniforme a lo largo del eje z. ${\displaystyle R_{0}=0}$ ${\displaystyle |z|\leq z_{0}}$

Si requerimos más , entonces recuperamos una propiedad bien conocida para órbitas de elipse cerrada en potencial de masa puntual, ${\displaystyle z_{0}=0}$

$${\displaystyle \omega :\nu :\kappa =1:1:1.}$$

Un ejemplo práctico para los neutrinos en las galaxias.

Por ejemplo, la función de distribución del espacio de fase de neutrinos no relativistas de masa m en cualquier lugar no excederá el valor máximo establecido por

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)={dN \over dx^{3}dv^{3}}\leq {6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}},~~~}$$

${\displaystyle dx^{3}}$

$${\displaystyle dv^{3}=(dp/m)^{3}=[(2\pi \hbar /dx)/m]^{3},}$$

Aproximamos que la distribución es máxima, es decir,

$${\displaystyle f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z})={6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}q^{\alpha \over 2},~~0\leq q(E)={\Phi _{\max }-E \over V_{0}^{2}/2}\leq 1,}$$

${\displaystyle 0\geq \Phi _{\max }\geq E=\Phi (x,y,z)+{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2} \over 2}\geq \Phi _{\min }\equiv \Phi _{\max }-{V_{0}^{2} \over 2}}$ ${\displaystyle E_{\min },E_{\max }}$

$${\displaystyle \rho (r)=n(x,y,z)m=\int dV_{x}\int dV_{y}\int dV_{z}~m~f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z}),}$$

$${\displaystyle \rho (r)={C(\Phi _{\max }-\Phi (r))^{3+\alpha \over 2} \over (\Phi _{\max }-\Phi _{\min })^{\alpha \over 2}},~~~C={6m\pi 2^{5/2}B\left(1+{\alpha \over 2},{3 \over 2}\right) \over (2\pi \hbar /m)^{3}}}$$

Tome el caso simple y estime la densidad en el centro con una velocidad de escape , tenemos ${\displaystyle \alpha \to 0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle \rho (r)\leq \rho (0)\rightarrow {m^{4}V_{0}^{3} \over \pi ^{2}\hbar ^{3}}\approx m_{\mathrm {eV} }^{4}V_{200}^{3}\times {\text{[Cosmic Critical Density]}}.}$$

Claramente, los neutrinos a escala eV son demasiado livianos para compensar la sobredensidad de 100 a 10 000 en las galaxias con velocidad de escape , mientras que los neutrinos en cúmulos podrían compensar la densidad del fondo cósmico. ${\displaystyle m_{eV}\sim 0.1-1}$ ${\displaystyle V_{200}\equiv V/(\mathrm {200km/s} )\sim 0.1-3.4}$ ${\displaystyle V\sim \mathrm {2000km/s} }$ ${\displaystyle 100-1000}$

Por cierto, los neutrinos cósmicos congelados en su habitación tienen un momento aleatorio no térmico , no siguen una distribución de Maxwell y no están en equilibrio térmico con las moléculas de aire debido a la sección transversal extremadamente baja del neutrino-barión. interacciones. ${\textstyle \sim {(\mathrm {2.7K} )k \over c}\sim (1~\mathrm {eV} /c^{2})(\mathrm {70km/s} )}$

Un resumen de los movimientos armónicos en el potencial de una esfera uniforme

Considere la posibilidad de construir un modelo de estado estacionario de la esfera uniforme de densidad y potencial mencionada anteriormente. ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \Phi (r)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (|\mathbf {r} |)&=\rho _{0}\equiv M_{\odot }n_{0},~~|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{0}^{2},~~\Omega \equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}\equiv {V_{0} \over r_{0}}\\\Phi (|\mathbf {r} |)&={\Omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3V_{0}^{2} \over 2}={V_{e}(r)^{2} \over 2}-\Phi (r_{0}),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}={\sqrt {2\Phi (r_{0})-2\Phi (r)}}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Primero, un resumen del movimiento "dentro" del potencial de esfera uniforme. Dentro de esta región central de densidad constante, las estrellas individuales realizan oscilaciones armónicas resonantes de frecuencia angular con ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}=&-\Omega ^{2}x=-\partial _{x}\Phi ,\\{\ddot {y}}=&-\Omega ^{2}y,~~~{{\dot {y}}(t)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(t)^{2} \over 2}\equiv I_{y}(y,{\dot {y}})={{\dot {y}}(0)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(0)^{2} \over 2}\leq {(\Omega r_{0})^{2} \over 2}\\{\ddot {z}}=&-\Omega ^{2}z,\rightarrow {\dot {z}}(t)={\dot {z}}(0)\cos(\Omega t)+\Omega z(0)\sin(\Omega t).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f\left(I_{x}(x,{\dot {x}}),I_{y}(y,{\dot {y}}),I_{z}(z,{\dot {z}}\right)=DF(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )}$

Ejemplo del teorema de Jeans y CBE del potencial de esfera uniforme

Generalmente, para un sistema independiente del tiempo, el teorema de Jeans predice que es una función implícita de la posición y la velocidad a través de una dependencia funcional de las "constantes de movimiento". ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}$

Para la esfera uniforme, una solución para la ecuación de Boltzmann, escrita en coordenadas esféricas y sus componentes de velocidad es ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle (V_{r},V_{\theta },V_{\phi })}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}{\sqrt {V_{0}^{2} \over 2Q}},}$$

${\displaystyle C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}}$ ${\displaystyle {\text{km}}^{2}/{\text{s}}^{2}}$

$${\displaystyle Q[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]\equiv \left[0,\left(-V_{0}^{2}-E\right)+{J^{2} \over 2r_{0}^{2}}\right]_{\max }\left[{J_{z} \over |J_{z}|},0\right]_{\max }.}$$

${\displaystyle J_{z}\leq 0,~~Q=0}$

Es fácil ver en coordenadas esféricas que

${\displaystyle J^{2}=r^{2}V_{t}^{2}=r^{2}(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}),}$

${\displaystyle J_{z}=V_{\varphi }r\sin \theta ,}$

${\displaystyle E={V_{r}^{2}+V_{t}^{2} \over 2}+\Phi (r),~V_{t}\equiv {\sqrt {V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}}}}$

Insertando el potencial y estas definiciones de la energía orbital E y el momento angular J y su componente z Jz a lo largo de cada órbita estelar, tenemos

$${\displaystyle 2Q={\text{Heaviside}}\left({V_{\varphi } \over |V_{\varphi }|}\right)\times \left[V_{0}^{2}\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right)-V_{r}^{2}-\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right){\left(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\right)},0\right]_{\max },}$$

${\displaystyle |V_{r}|\leq V_{e}(r)}$ ${\displaystyle |V_{\theta }|,V_{\varphi }}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Para verificar que lo anterior sea constante de movimiento en nuestro potencial esférico, observamos ${\displaystyle E,~J_{z}}$

$${\displaystyle dE/dt={\partial E \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial E \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } ){\partial E \over \partial \mathbf {v} }}$$

$${\displaystyle dE/dt={\partial \Phi \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial \Phi \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } )\mathbf {v} ={\partial \Phi \over \partial t}=0}$$

$${\displaystyle dJ_{z}/dt={\partial J_{z} \over \partial t}+{\partial J_{z} \over \partial \mathbf {x} }\cdot \mathbf {v} -(\mathbf {\nabla \Phi } )\cdot {\partial J_{z} \over \partial \mathbf {v} },}$$

${\displaystyle dJ_{z}/dt=0+[(V_{y})V_{x}+(-V_{x})V_{y}]-\left[(-y){x \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}+(x){y \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}\right]=0}$ ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Asimismo, las componentes x e y del momento angular también se conservan para un potencial esférico. Por eso . ${\displaystyle dJ/dt=0}$

Entonces, para cualquier potencial esférico independiente del tiempo (incluido nuestro modelo de esfera uniforme), la energía orbital E y el momento angular J y su componente z Jz a lo largo de cada órbita estelar satisfacen

$${\displaystyle dE[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=0.}$$

Por lo tanto, usando la regla de la cadena, tenemos

$${\displaystyle {d \over dt}Q(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])={\partial Q \over \partial E}{dE \over dt}+{\partial Q \over \partial J_{z}}{dJ_{z} \over dt}+{\partial Q \over \partial J}{dJ \over dt}=0,}$$

${\textstyle {d \over dt}f=f'(Q){dQ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ] \over dt}=0}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=f(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])}$$

Un ejemplo trabajado sobre momentos de funciones de distribución en un grupo esférico uniforme.

Podemos descubrir varios puntos de la función de distribución anterior, reformateados con la ayuda de tres funciones de Heaviside,

$${\displaystyle f(|\mathbf {r} |,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}\left.{{\text{H}}(1-x) \over \left(1-x^{2}\right)^{1 \over 2}}\right|_{x\equiv {|\mathbf {r} | \over r_{0}}}{{\text{H}}(V_{\varphi }){\text{H}}(1-q) \over (1-q)^{1 \over 2}},~~q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{e}(|\mathbf {r} |)^{2}}+{V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}},}$$

${\displaystyle \Phi (r)}$ ${\displaystyle r\leq r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}.}$ ${\displaystyle {V_{e}(|\mathbf {r} |) \over {\sqrt {2Q}}}={\sqrt {\max[0,{1 \over 1-q}]}}}$ ${\displaystyle Q\geq 0\rightarrow q\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq |\mathbf {r} |<r_{0}}$ ${\displaystyle V_{t}>V_{0}>V_{e}(r)}$

De hecho, la positividad talla la ( ) mitad izquierda de un elipsoide en el espacio de velocidades ("elipsoide de velocidad"), ${\displaystyle V_{\varphi }\geq 0}$ ${\displaystyle [V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]}$

$${\displaystyle q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{0}^{2}(1-r^{2}/r_{0}^{2})}+\left({V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}}\right)\equiv u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}\leq 1,}$$

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta },u_{\varphi })}$ ${\displaystyle (V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })}$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-r^{2}/r_{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

El elipsoide de velocidad (en este caso) tiene simetría rotacional alrededor del eje o eje r. Está más aplastado (en este caso) lejos de la dirección radial y, por lo tanto, es más tangencialmente anisotrópico porque en todas partes , excepto en el origen, donde el elipsoide parece isotrópico. Ahora calculamos los momentos del espacio de fases. ${\displaystyle V_{r}}$ ${\displaystyle V_{e}(r)<V_{0}}$

Por ejemplo, la densidad resultante (momento) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (r,\theta ,\varphi )&=\int _{-V_{e}(r)}^{V_{e}(r)}dV_{r}\int _{-V_{0}}^{V_{0}}dV_{\theta }\int _{0}^{V_{0}}dV_{\varphi }{C_{0} \over V_{0}^{3}}\left({2Q \over V_{0}^{2}}\right)^{-1/2}\\&=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{0}^{1}{(V_{e}du_{r})(V_{0}du_{\theta })(V_{0}du_{\varphi })C_{0} \over V_{0}^{3}(1-r^{2}/r_{0}^{2})^{1/2}(1-q)^{1/2}}\left.\right|_{q=u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}}\\&=C_{0}{\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{-1/2}(2\pi u^{2}du)}=\rho _{0}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}}$

La velocidad de la transmisión se calcula como la media ponderada del vector de velocidad.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {V} \rangle (\mathbf {x} )&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}\mathbf {V} \over \int fd\mathbf {V} ^{3}}\\&={1 \over \rho }\int fd\mathbf {V} ^{3}[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]{C_{0}V_{0}^{2}(2Q)^{-1/2}}\\&=\left[{\int _{-1}^{1}\!\!u_{r}...du_{r},~~\int _{-1}^{1}\!\!u_{\theta }...du_{\theta },~~\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{du_{\varphi }u_{\varphi }V_{0} \over (1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}-u_{\varphi }^{2})^{1/2}} \over \int _{0}^{1}(2\pi UdU)\int _{0}^{\sqrt {1-U^{2}}}du_{\varphi }(1-U^{2}-u_{\varphi }^{2})^{-1/2}}\right]\\&=\left[0,0,{4V_{0} \over 3\pi }\right]={\overline {\mathbf {V} (\mathbf {x} )}},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle (r,\theta )}$

Por cierto, el momento angular promedio global de esta esfera de rotación plana es

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {r} \times \langle \mathbf {V} \rangle }}=\int _{0}^{r_{0}}{(\rho 4\pi r^{2}dr) \over M_{0}}[0,0,r\langle V_{\varphi }\rangle ]=[0,0,{3r_{0} \over 4}{\overline {V_{\varphi }}}].}$$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {V} _{i}(\mathbf {x} )}}=0}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

Asimismo gracias a la simetría de , tenemos , , en todas partes}. ${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })=f(r,\theta ,\pm \varphi ,\pm V_{r},\pm V_{\theta },V_{\varphi })}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\varphi }} \rangle =0}$ ${\displaystyle ~\langle \mathbf {(\pm V_{\theta })V_{\varphi }} \rangle =0}$ ${\displaystyle ~\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\theta }} \rangle =0}$

Asimismo, la velocidad eficaz en la dirección de rotación se calcula mediante una media ponderada de la siguiente manera, por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {V} _{\varphi }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |)&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}V_{\varphi }^{2} \over \rho (|\mathbf {r} |)}\\&={\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}du_{\varphi }{(u_{\varphi }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=0.25V_{0}^{2}=0.5\langle V_{t}^{2}\rangle \\&={\!\!\int _{0}^{1}(2du_{r})\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\varphi })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\varphi }^{2}}}du_{\theta }{(u_{\theta }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=\langle \mathbf {V} _{\theta }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |),\\\end{aligned}}}$$

Aquí ${\displaystyle \langle V_{t}^{2}\rangle =\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\rangle =0.5V_{0}^{2}.}$

Asimismo

$${\displaystyle \langle \mathbf {V} _{r}^{2}\rangle (\mathbf {x} )={\!\!\int _{0}^{1}(du_{\varphi })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!{(2du_{r})(u_{r}V_{e}(r))^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}=\left({V_{0} \over 2}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}\right)^{2}.}$$

Entonces el tensor de presión o tensor de dispersión es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}^{2}(\mathbf {r} )=&{P_{ij}(\mathbf {r} ) \over \rho (\mathbf {r} )}\\=&\langle \mathbf {V} _{i}\mathbf {V} _{j}\rangle -\langle \mathbf {V} _{i}\rangle \langle \mathbf {V} _{j}\rangle \\=&{\begin{bmatrix}\left[1-({r \over r_{0}})^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0&0\\0&\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0\\0&0&\left[1-({8 \over 3\pi })^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {8 \over 3\pi }=0.8488}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta }\equiv {\sqrt {\sigma _{\theta \theta }^{2}}}=0.5V_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\varphi }\equiv {\sqrt {\sigma _{\varphi \varphi }^{2}}}\geq \sigma _{r}\equiv {\sqrt {\sigma _{rr}^{2}}}}$ ${\displaystyle 0.8488r_{0}\leq r\leq r_{0}}$

La energía cinética tangencial mayor que la del movimiento radial que se observa en las dispersiones diagonales a menudo se expresa mediante un parámetro de anisotropía.

$${\displaystyle \beta (r)\equiv 1-{0.5\langle {\mathbf {V} _{t}}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=1-{\langle {\mathbf {V} _{\theta }}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=-{r^{2} \over r_{0}^{2}-r^{2}}\leq 0;}$$

Un ejemplo trabajado del teorema del virial

El doble de energía cinética por unidad de masa de la esfera uniforme anterior es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{2K \over M_{0}}&={\overline {\langle V^{2}\rangle }}\equiv \langle {\overline {V^{2}}}\rangle \\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}+V_{r}^{2}\rangle dM\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{1}\left({V_{0}^{2} \over 4}+{V_{0}^{2} \over 4}+{(1-x^{2})V_{0}^{2} \over 4}\right)d(x^{3}M_{0})=0.6V_{0}^{2},~~x\equiv {r \over r_{0}}=\left({M \over M_{0}}\right)^{1 \over 3},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle M\propto r^{3}\propto x^{3}}$

El virial promedio por unidad de masa se puede calcular promediando su valor local , lo que produce ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{W \over M_{0}}&={\overline {\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}}\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{r_{0}}\mathbf {r} \cdot {-GM\mathbf {r} \over |\mathbf {r} |^{3}}(\rho d\mathbf {r} ^{3})=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM \over |\mathbf {r} |}dM\\&=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM~dM \over r_{0}~(M/M_{0})^{1 \over 3}}=-{3GM_{0} \over 5r_{0}}=-0.6V_{0}^{2},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{E_{\text{pot}} \over M_{0}}&={\overline {\langle {\Phi \over 2}\rangle }}\\&=M_{0}^{-1}\int _{x>0}^{x<1}{\Phi (r_{0}x) \over 2}d(M_{0}x^{3})\\&={W \over M_{0}}={-2K \over M_{0}}.\end{aligned}}}$$

Un ejemplo trabajado de la ecuación de Jeans en una esfera uniforme.

La ecuación de Jeans es una relación sobre cómo el gradiente de presión de un sistema debería equilibrar el gradiente de potencial para una galaxia en equilibrio. En nuestra esfera uniforme, el gradiente de potencial o gravedad es

$${\displaystyle \nabla \Phi ={d\Phi \over dr}={\Omega ^{2}r}\geq 0,~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}}.}$$

El gradiente de presión radial

$${\displaystyle -{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}=-{d\sigma _{r}^{2} \over dr}-{\sigma _{r}^{2} \over r}{d\log \rho \over d\log r}={\Omega ^{2}r \over 2}+0\geq 0.}$$

La razón de la discrepancia se debe en parte a la fuerza centrífuga.

$${\displaystyle {{\bar {V}}_{\varphi }^{2} \over r}={(0.8488V_{0})^{2} \over r}>0,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{(\sigma _{\theta }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r\geq 0\\{(\sigma _{\varphi }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r-{0.1801V_{0}^{2} \over r}=\pm ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }<\sigma _{r}=0.5V_{0}}$ ${\displaystyle r=0.8488r_{0}}$ ${\displaystyle 0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }>\sigma _{r}=0}$

Ahora podemos comprobar que

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \langle V_{r}\rangle \over \partial t}&=(-\sum _{i=x,y,z}V_{i}\partial _{i}\langle V_{r}\rangle )-{\cancel {\langle V_{r}\rangle \over t_{\text{fric}}}}-\nabla _{r}\Phi +\sum _{i=x,y,z}{-\partial _{i}(n\sigma _{ir}^{2}) \over n}\\&={{\bar {V}}_{\theta }^{2}+{\bar {V}}_{\varphi }^{2}-2{\bar {V}}_{r}^{2} \over r}-0-{\partial \Phi \over \partial r}+\left[-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}+{\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\varphi }^{2}-2\sigma _{r}^{2} \over r}\right]\\&={0+(0.4244V_{0})^{2}-2\times 0 \over r}-(\Omega ^{2}r)+\\&\left[{\Omega ^{2}r \over 2}+{(0.5V_{0})^{2}+(0.2643V_{0})^{2}-2\times 0.25\Omega ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}) \over r}\right]\\&=0.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \langle V_{\varphi }\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }\Phi (\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle \partial _{\theta }n(\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle {\partial \langle V_{\varphi }\rangle \over \partial t}}$ ${\displaystyle -{\langle V_{\varphi }\rangle \over t_{\text{fric}}}}$ ${\displaystyle {\partial V_{r} \over \partial t}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }mn(\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle {\partial n(\mathbf {x} ,t) \over \partial t}=0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {V} (\mathbf {x} )\rangle <0}$

Un ejemplo resuelto de la ecuación de Jeans en un disco grueso.

Consideremos nuevamente el potencial del disco grueso en el ejemplo anterior. Si la densidad es la de un fluido gaseoso, entonces la presión sería cero en la frontera . Para encontrar el pico de presión, observamos que ${\displaystyle z=\pm z_{0}}$

$${\displaystyle P(R,z)=\int _{z}^{z_{0}}\partial _{z}\Phi \rho (R)dz=\rho (R)[\Phi (R,z_{0})-\Phi (R,z)].}$$

Entonces, la temperatura del fluido por unidad de masa, es decir, la dispersión de velocidad unidimensional al cuadrado sería

$${\displaystyle \sigma ^{2}(R,z)={P(R,z) \over \rho (R)},~~|z|\leq z_{0}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{2}={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {Q(z)Q(-z) \over Q(z_{0})Q(-z_{0})},~~Q(z)\equiv R_{0}+z_{0}+z+{\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0}+z)^{2}}}.}$$

A lo largo del eje z de rotación,

$${\displaystyle \sigma ^{2}(0,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {4(R_{0}+z_{0}+z)(R_{0}+z_{0}-z) \over 4R_{0}(R_{0}+2z_{0})}}$$

$${\displaystyle \sigma (0,z)={\sqrt {GM_{0} \over 2z_{0}}}{\sqrt {\log {(R_{0}+z_{0})^{2}-z^{2} \over (R_{0}+z_{0})^{2}-z_{0}^{2}}}},}$$

${\displaystyle z=\pm z_{0}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle P(0,0)={M_{0} \over 4\pi R_{0}^{2}z_{0}}{-GM_{0}\log[1-(1+R_{0}/z_{0})^{-2}] \over 2z_{0}}.}$

Un resumen de ejemplos resueltos sobre densidad espacial de Jeans Eq., Virial y Fase

Habiendo observado algunas aplicaciones de Poisson Eq. y la densidad del espacio de fase y especialmente la ecuación de Jeans, podemos extraer un tema general, nuevamente usando el enfoque de la vaca esférica.

La ecuación de Jeans vincula la gravedad con el gradiente de presión, es una generalización de la ecuación. de movimiento para partículas individuales. Si bien la ecuación de Jeans se puede resolver en sistemas de disco, la versión más fácil de usar de Jeans eq. es la versión anisotrópica esférica para un sistema estático sin fricción , de ahí la velocidad local en todas partes para cada una de las tres direcciones . Se puede proyectar el espacio de fases en estos momentos, lo cual es fácil si se trata de un sistema altamente esférico, que admite conservaciones de energía y momento angular J. El límite del sistema establece el rango de integración de la velocidad limitada en el sistema. ${\displaystyle \langle {v_{j}}\rangle =0}$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}(r)=\langle {v_{j}^{2}}\rangle (r)-\underbrace {\langle {v_{j}}\rangle ^{2}(r)} _{=0}={\int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }({v}_{j}-\overbrace {\langle {v}\rangle _{j}^{p}} ^{=0})^{2}f_{p} \over \int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }f_{p}},}$ ${\displaystyle ~_{j}=~_{r},~_{\theta },~_{\varphi }}$ ${\displaystyle E=}$

En resumen, en la ecuación esférica de Jeans,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{d\Phi \over dr}=&{GM(r) \over r^{2}}\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr}+{\langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle -2\langle {v_{r}^{2}}\rangle \over r},\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr},~~{\text{hydrostatic equilibrium if isotropic velocity }}\\=&{\langle v_{t}^{2}\rangle \over r},~~{\text{if purely centrifugal balancing of gravity with no radial motion}},\langle v_{t}^{2}\rangle \equiv \langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle \end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\overline {r\partial _{r}\Phi }}={\overline {v_{\text{cir}}^{2}}}={\overline {GM \over r}}={\overline {\langle v_{t}^{2}\rangle }}}$ ${\displaystyle {\overline {\text{global average}}}}$

Ver también

• portal estelar

• Clasificación estelar
• ecuación de Boltzmann
• Fricción dinámica
• Ecuaciones de jeans
• Segregación masiva (astronomía)
• problema de N-cuerpos
• Teorema del virial
• Cinemática estelar
• ecuación de poisson
• Cálculo vectorial
• Disco de acreción
• Relajación (física)

Otras lecturas

• Dinámica y evolución de los núcleos galácticos, D. Merritt (2013). Prensa de la Universidad de Princeton .
• Dinámica Galáctica , J. Binney y S. Tremaine (2008). Prensa de la Universidad de Princeton.
• Simulaciones gravitacionales de N-cuerpos: herramientas y algoritmos, S. Aarseth (2003). Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Principios de la dinámica estelar , S. Chandrasekhar (1960). Dover.

Referencias

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3. Binney, James; Tremaine, Scott (2008). Dinámica Galáctica . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs.35, 63, 65, 698. ISBN 978-0-691-13027-9.
4. de Vita, Ruggero; Trenti, Michele; MacLeod, Morgan (1 de junio de 2019). "Correlación entre segregación de masas y concentración estructural en cúmulos estelares relajados". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 485 (4): 5752–5760. arXiv : 1903.07619 . doi :10.1093/mnras/stz815. ISSN  0035-8711.
5. Binney, James. "Dinámica de galaxias" (PDF) . Prensa de la Universidad de Princeton . Consultado el 4 de enero de 2022 .
6. Avestruz, Eva (1999). "Fricción dinámica en medio gaseoso". La revista astrofísica . 513 (1): 252. arXiv : astro-ph/9810324 . Código Bib : 1999ApJ...513..252O. doi :10.1086/306858. S2CID  16138105.
7. Sparke, Linda ; Gallagher, John (2007). Galaxias en el Universo . Nueva York: Cambridge. pag. 131.ISBN​ 978-0521855938.
8. Henon, M (21 de junio de 1982). "¿Ecuación de Vlasov?". Astronomía y Astrofísica . 114 (1): 211–212. Código bibliográfico : 1982A y A...114..211H.
9. Lynden-Bell, Donald (1962). "La estabilidad y vibraciones de un gas de estrellas". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 124 (4): 279–296. Código bibliográfico : 1962MNRAS.124..279L. doi :10.1093/mnras/124.4.279.
10. Einstein, Alberto (2002). "Una aplicación simple de la ley de gravitación newtoniana a los cúmulos de estrellas" (PDF) . Los artículos recopilados de Albert Einstein . 7 : 230–233 - vía Princeton University Press.
11. Zwicky, Fritz (2009). "Republicación de: El corrimiento al rojo de las nebulosas extragalácticas". Relatividad General y Gravitación . 41 (1): 207–224. Código Bib : 2009GReGr..41..207Z. doi :10.1007/s10714-008-0707-4. S2CID  119979381.
12. Choudhuri, Arnab Rai (2010). Astrofísica para físicos . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 213-214. ISBN 978-0-521-81553-6.