Colisión de Coulomb

Colisión elástica binaria entre dos partículas cargadas

Una colisión de Coulomb es una colisión elástica binaria entre dos partículas cargadas que interactúan a través de su propio campo eléctrico . Como con cualquier ley del cuadrado inverso , las trayectorias resultantes de las partículas en colisión son una órbita kepleriana hiperbólica . Este tipo de colisión es común en plasmas donde la energía cinética típica de las partículas es demasiado grande para producir una desviación significativa de las trayectorias iniciales de las partículas en colisión, y en su lugar se considera el efecto acumulativo de muchas colisiones. La importancia de las colisiones de Coulomb fue señalada por primera vez por Lev Landau en 1936, ^[1] quien también derivó la ecuación cinética correspondiente que se conoce como ecuación cinética de Landau .

Tratamiento matemático simplificado para plasmas

En un plasma, una colisión de Coulomb rara vez produce una gran desviación. Sin embargo, el efecto acumulativo de las numerosas colisiones de ángulos pequeños suele ser mayor que el efecto de las pocas colisiones de ángulos grandes que se producen, por lo que resulta instructivo considerar la dinámica de las colisiones en el límite de las pequeñas desviaciones.

Podemos considerar un electrón con carga y masa que pasa a una distancia con una velocidad de , frente a un ion estacionario con carga y masa mucho mayor . La fuerza perpendicular se encuentra en el punto de máxima aproximación y la duración del encuentro es de aproximadamente . El producto de estas expresiones dividido por la masa es el cambio en la velocidad perpendicular: ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle +Ze}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze^{2}/4\pi \epsilon _{0}b^{2}}$ ${\displaystyle b/v}$

${\displaystyle \Delta m_{\text{e}}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}}$

Obsérvese que el ángulo de deflexión es proporcional a . Las partículas rápidas son "resbaladizas" y, por lo tanto, dominan muchos procesos de transporte. La eficiencia de las interacciones adaptadas a la velocidad también es la razón por la que los productos de fusión tienden a calentar los electrones en lugar de (como sería deseable) los iones. Si hay un campo eléctrico presente, los electrones más rápidos sienten menos arrastre y se vuelven aún más rápidos en un proceso de "descontrol". ${\displaystyle 1/v^{2}}$

Al atravesar un campo de iones con densidad , un electrón tendrá muchos encuentros de este tipo simultáneamente, con diversos parámetros de impacto (distancia al ion) y direcciones. El efecto acumulativo puede describirse como una difusión del momento perpendicular. La constante de difusión correspondiente se encuentra integrando los cuadrados de los cambios individuales en el momento. La tasa de colisiones con parámetro de impacto entre y es , por lo que la constante de difusión está dada por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (b+\mathrm {d} b)}$ ${\displaystyle nv(2\pi b\mathrm {d} b)}$

${\displaystyle D_{v\perp }=\int \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{v^{2}b^{2}}}\,nv(2\pi b\,{\mathrm {d} }b)=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {2\pi n}{v}}\,\int {\frac {{\mathrm {d} }b}{b}}}$

Obviamente, la integral diverge hacia parámetros de impacto tanto pequeños como grandes. La divergencia en parámetros de impacto pequeños es claramente no física ya que, según los supuestos utilizados aquí, el momento perpendicular final no puede tomar un valor mayor que el momento inicial. Si fijamos la estimación anterior en igual a , encontramos que el límite inferior para el parámetro de impacto es aproximadamente ${\displaystyle \Delta m_{\text{e}}v_{\perp }}$ ${\displaystyle mv}$

${\displaystyle b_{0}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{m_{\text{e}}v^{2}}}}$

También podemos utilizar como estimación de la sección transversal para colisiones de gran ángulo. En algunas condiciones existe un límite inferior más estricto debido a la mecánica cuántica, a saber, la longitud de onda de De Broglie del electrón, donde es la constante de Planck . ${\displaystyle \pi b_{0}^{2}}$ ${\displaystyle h/m_{\text{e}}v}$ ${\displaystyle h}$

En el caso de parámetros de impacto elevados, la carga del ion está protegida por la tendencia de los electrones a agruparse en las proximidades del ion y de otros iones a evitarlo. El límite superior del parámetro de impacto debería ser, por tanto, aproximadamente igual a la longitud de Debye :

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{\text{e}}}{n_{\text{e}}e^{2}}}}}$

Logaritmo de Coulomb

La integral de produce así el logaritmo de la relación entre los puntos de corte superior e inferior. Este número se conoce como el logaritmo de Coulomb y se designa por o . Es el factor por el cual las colisiones de ángulo pequeño son más efectivas que las colisiones de ángulo grande. El logaritmo de Coulomb fue introducido independientemente por Lev Landau en 1936 ^[1] y Subrahmanyan Chandrasekhar en 1943. ^[2] Para muchos plasmas de interés toma valores entre y . (Para fórmulas convenientes, consulte las páginas 34 y 35 del Formulario de plasma del NRL .) Los límites de la integral del parámetro de impacto no son precisos, pero son inciertos por factores del orden de la unidad, lo que conduce a incertidumbres teóricas del orden de . Por esta razón, a menudo se justifica simplemente tomar la opción conveniente . El análisis aquí produce las escalas y los órdenes de magnitud. ^[3] ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle \ln \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda =10}$

Tratamiento matemático de plasmas que tiene en cuenta todos los parámetros de impacto

Se puede realizar un tratamiento de N cuerpos que tenga en cuenta todos los parámetros de impacto teniendo en cuenta algunos hechos simples. Los dos principales son: (i) El cambio anterior en la velocidad perpendicular es la aproximación de orden más bajo en 1/ b de una deflexión completa de Rutherford. Por lo tanto, la teoría perturbativa anterior también se puede realizar utilizando esta deflexión completa. Esto hace que el cálculo sea correcto hasta los parámetros de impacto más pequeños donde se debe utilizar esta deflexión completa. (ii) El efecto del apantallamiento de Debye para grandes parámetros de impacto se puede acomodar utilizando un potencial de Coulomb apantallado de Debye ( Efecto de apantallamiento Longitud de Debye ). Esto cancela la divergencia anterior en grandes parámetros de impacto. El logaritmo de Coulomb anterior resulta ser modificado por una constante de orden uno. ^[4]

Historia

En la década de 1950, el transporte debido a colisiones en plasmas no magnetizados fue estudiado simultáneamente por dos grupos en el Laboratorio de Radiación de la Universidad de California, Berkeley . Citaron los resultados de cada uno en sus respectivos artículos. ^{[5] [6]} La primera referencia trata la parte del campo medio de la interacción utilizando la teoría de perturbación en la amplitud del campo eléctrico. Dentro de las mismas aproximaciones, se proporcionó una derivación más elegante de los coeficientes de transporte de colisión, utilizando la ecuación de Balescu-Lenard (ver Sec. 8.4 de ^[7] y Secs. 7.3 y 7.4 de ^[8] ). La segunda referencia utiliza la imagen de Rutherford de colisiones de dos cuerpos. El cálculo de la primera referencia es correcto para parámetros de impacto mucho mayores que la distancia entre partículas, mientras que los de la segunda funcionan en el caso opuesto. Ambos cálculos se extienden a toda la gama de parámetros de impacto introduciendo cada uno un único valor de corte ad hoc, y no dos como en el tratamiento matemático simplificado anterior, pero los coeficientes de transporte dependen únicamente logarítmicamente de dicho valor; ambos resultados concuerdan y producen la expresión anterior para la constante de difusión.

Véase también

• Dispersión de Rutherford

Referencias

1. Landau, LD (1936). "Ecuación cinética para el caso de interacción de Coulomb". Phys. Z. Sowjetunion . 10 : 154–164.
2. Chandrasekhar, S. (1943). Fricción dinámica. I. Consideraciones generales: el coeficiente de fricción dinámica. Astrophysical Journal, 97, 255–262.
3. Huba, JD (2016). Formulario de plasma del NRL (PDF) . The Office of Naval Research. pp. 31 y siguientes. Archivado desde el original (PDF) el 23 de diciembre de 2016. Consultado el 19 de octubre de 2017 .
4. Escande DF, Elskens Y, Doveil F (2015) Derivación uniforme del transporte colisional de Coulomb gracias al blindaje de Debye. Journal of Plasma Physics 81, 305810101
5. Gasiorowicz, S., Neuman, M. y Riddell, RJ Jr. 1956 Dinámica de medios ionizados. Phys. Rev. 101, 922–934
6. Rosenbluth, MN, MacDonald, WM y Judd, DL 1957 Ecuación de Fokker-Planck para una fuerza de cuadrado inverso. Phys. Rev. 107, 1–6.
7. Balescu, R. 1997 Dinámica estadística: materia fuera del equilibrio. Londres: Imperial College Press.
8. Hazeltine, RD y Waelbroeck, FL 2004 El marco de la física del plasma. Boulder: Westview Press

Enlaces externos

• Efectos de la ionización [artículo de ApJ] de Gordon Emslie
• Formulario de plasma del NRL, edición 2013. Archivado el 23 de diciembre de 2016 en Wayback Machine.