En física y matemáticas , una curva braquistócrona (del griego antiguo βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) 'tiempo más corto'), [1] o curva de descenso más rápido, es la que se encuentra en el plano entre un punto A y un punto inferior B , donde B no está directamente debajo de A , sobre la que una cuenta se desliza sin fricción bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme hasta un punto final dado en el menor tiempo. El problema fue planteado por Johann Bernoulli en 1696.
La curva braquistócrona tiene la misma forma que la curva tautocrona ; ambas son cicloides . Sin embargo, la porción de la cicloide utilizada para cada una de las dos varía. Más específicamente, la braquistócrona puede utilizar hasta una rotación completa de la cicloide (en el límite cuando A y B están al mismo nivel), pero siempre comienza en una cúspide . En contraste, el problema de la tautocrona puede utilizar solo hasta la primera mitad de la rotación, y siempre termina en la horizontal. [2] El problema se puede resolver utilizando herramientas del cálculo de variaciones [3] y el control óptimo . [4]
La curva es independiente tanto de la masa del cuerpo de prueba como de la fuerza de gravedad local. Solo se elige un parámetro para que la curva se ajuste al punto de inicio A y al punto final B. [5] Si se le da al cuerpo una velocidad inicial en A , o si se tiene en cuenta la fricción, entonces la curva que minimiza el tiempo difiere de la curva tautocrona .
Anteriormente, en 1638, Galileo Galilei había intentado resolver un problema similar para la trayectoria del descenso más rápido desde un punto hasta una pared en sus Dos nuevas ciencias . Sacó la conclusión de que el arco de un círculo es más rápido que cualquier número de sus cuerdas, [6]
De lo anterior se puede inferir que el camino más rápido de todos [lationem omnium velocissimam], de un punto a otro, no es el camino más corto, es decir, una línea recta, sino el arco de círculo.
...
Por consiguiente, cuanto más se acerque el polígono inscrito a un círculo, menor será el tiempo necesario para descender de A a C. Lo que se ha demostrado para el cuadrante es válido también para arcos más pequeños; el razonamiento es el mismo.
Justo después del Teorema 6 de las Dos Nuevas Ciencias , Galileo advierte de posibles falacias y de la necesidad de una "ciencia superior". En este diálogo, Galileo revisa su propio trabajo. Galileo estudió la cicloide y le dio su nombre, pero la conexión entre ella y su problema tuvo que esperar a los avances de las matemáticas.
La conjetura de Galileo es que “el tiempo más corto de todos [para un cuerpo móvil] será el de su caída a lo largo del arco ADB [de un cuarto de círculo] y deben entenderse propiedades similares para todos los arcos menores tomados hacia arriba desde el límite más bajo B”.
En la figura 1, del “Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo”, Galileo afirma que el cuerpo que se desliza a lo largo del arco circular de un cuarto de círculo, de A a B, alcanzará B en menos tiempo que si tomara cualquier otro camino de A a B. De manera similar, en la figura 2, desde cualquier punto D en el arco AB, afirma que el tiempo a lo largo del arco menor DB será menor que para cualquier otro camino de D a B. De hecho, el camino más rápido de A a B o de D a B, la braquistócrona, es un arco cicloidal, que se muestra en la figura 3 para el camino de A a B, y en la figura 4 para el camino de D a B, superpuestos al arco circular respectivo. [7]
Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistócrona a los lectores de Acta Eruditorum en junio de 1696. [8] [9] Dijo:
Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para la gente inteligente que un problema honesto y desafiante, cuya posible solución le confiera fama y quede como un monumento perdurable. Siguiendo el ejemplo de Pascal, Fermat, etc., espero ganarme la gratitud de toda la comunidad científica planteando a los mejores matemáticos de nuestro tiempo un problema que pondrá a prueba sus métodos y la fuerza de su intelecto. Si alguien me comunica la solución del problema propuesto, lo declararé públicamente digno de elogio.
Bernoulli escribió el enunciado del problema de la siguiente manera:
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cuál es la curva trazada por un punto sobre el que actúa únicamente la gravedad, que comienza en A y llega a B en el menor tiempo ?
Johann y su hermano Jakob Bernoulli derivaron la misma solución, pero la derivación de Johann era incorrecta, y trató de hacer pasar la solución de Jakob como propia. [10] Johann publicó la solución en la revista en mayo del año siguiente, y señaló que la solución es la misma curva que la curva tautocrona de Huygens . Después de derivar la ecuación diferencial para la curva mediante el método que se indica a continuación, pasó a demostrar que sí produce una cicloide. [11] [12] Sin embargo, su prueba se ve empañada por el uso de una única constante en lugar de las tres constantes, v m , 2g y D , que aparecen a continuación.
Bernoulli concedió seis meses para las soluciones, pero no se recibió ninguna durante este período. A petición de Leibniz, el plazo se extendió públicamente por un año y medio. [13] A las 4 de la tarde del 29 de enero de 1697, cuando llegó a casa desde la Real Casa de la Moneda , Isaac Newton encontró el desafío en una carta de Johann Bernoulli. [14] Newton se quedó despierto toda la noche para resolverlo y envió la solución anónimamente por el siguiente correo. Al leer la solución, Bernoulli reconoció inmediatamente a su autor, exclamando que "reconoce a un león por la marca de su garra". Esta historia da una idea del poder de Newton, ya que Johann Bernoulli tardó dos semanas en resolverlo. [5] [15] Newton también escribió: "No me gusta que los extranjeros me molesten y se burlen de mí por cosas matemáticas...", y Newton ya había resuelto el problema de resistencia mínima de Newton , que se considera el primero de su tipo en el cálculo de variaciones .
Al final, cinco matemáticos respondieron con soluciones: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz , Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l'Hôpital . Cuatro de las soluciones (excluyendo la de l'Hôpital) fueron publicadas en la misma edición de la revista que la de Johann Bernoulli. En su artículo, Jakob Bernoulli dio una prueba de la condición para el menor tiempo similar a la siguiente antes de mostrar que su solución es una cicloide. [11] Según el erudito newtoniano Tom Whiteside , en un intento de superar a su hermano, Jakob Bernoulli creó una versión más difícil del problema de la braquistócrona. Al resolverlo, desarrolló nuevos métodos que fueron refinados por Leonhard Euler en lo que este último llamó (en 1766) el cálculo de variaciones . Joseph-Louis Lagrange realizó trabajos adicionales que dieron como resultado el cálculo infinitesimal moderno .
En una carta a L'Hôpital (21/12/1696), Bernoulli afirmó que al considerar el problema de la curva de descenso más rápido, después de sólo dos días notó una curiosa afinidad o conexión con otro problema no menos notable que condujo a un "método indirecto" de solución. Luego, poco después, descubrió un "método directo". [16]
En una carta a Henri Basnage, conservada en la Biblioteca Pública de la Universidad de Basilea, fechada el 30 de marzo de 1697, Johann Bernoulli afirmaba que había encontrado dos métodos (siempre denominados «directos» e «indirectos») para demostrar que la braquistócrona era la «cicloide común», también llamada «ruleta». Siguiendo el consejo de Leibniz, incluyó sólo el método indirecto en el Acta Eruditorum Lipsidae de mayo de 1697. Escribió que esto se debía en parte a que creía que era suficiente para convencer a cualquiera que dudara de la conclusión, en parte porque también resolvía dos famosos problemas de óptica que «el difunto Sr. Huygens» había planteado en su tratado sobre la luz. En la misma carta criticaba a Newton por ocultar su método.
Además de su método indirecto, también publicó las otras cinco respuestas al problema que recibió.
El método directo de Johann Bernoulli es históricamente importante como prueba de que la braquistócrona es la cicloide. El método consiste en determinar la curvatura de la curva en cada punto. Todas las demás pruebas, incluida la de Newton (que no se reveló en su momento), se basan en hallar el gradiente en cada punto.
En 1718, Bernoulli explicó cómo resolvió el problema de la braquistócrona mediante su método directo. [17] [18]
Explicó que no lo había publicado en 1697, por razones que ya no se aplicaban en 1718. Este artículo fue ignorado en gran medida hasta 1904, cuando la profundidad del método fue apreciada por primera vez por Constantin Carathéodory , quien afirmó que demuestra que la cicloide es la única curva posible de descenso más rápido. Según él, las otras soluciones simplemente implicaban que el tiempo de descenso es estacionario para la cicloide, pero no necesariamente el mínimo posible.
Se considera que un cuerpo se desliza a lo largo de cualquier arco circular pequeño Ce entre los radios KC y Ke, con centro K fijo. La primera etapa de la prueba implica encontrar el arco circular particular, Mm, que el cuerpo recorre en el tiempo mínimo.
La línea KNC interseca a AL en N, y la línea Kne la interseca en n, y forman un pequeño ángulo CKe en K. Sea NK = a, y definamos un punto variable, C, en la prolongación de KN. De todos los arcos circulares posibles Ce, se requiere encontrar el arco Mm, que requiere el tiempo mínimo para deslizarse entre los 2 radios, KM y Km. Para encontrar Mm, Bernoulli argumenta lo siguiente.
Sea MN = x. Define m de modo que MD = mx, y n de modo que Mm = nx + na y observa que x es la única variable y que m es finito y n es infinitamente pequeño. El pequeño tiempo para viajar a lo largo del arco Mm es , que tiene que ser un mínimo ('un plus petit'). No explica que debido a que Mm es tan pequeño, la velocidad a lo largo de él puede suponerse que es la velocidad en M, que es como la raíz cuadrada de MD, la distancia vertical de M por debajo de la línea horizontal AL.
De ello se deduce que, al diferenciarlo, esto debe dar
Esta condición define la curva por la que se desliza el cuerpo en el menor tiempo posible. Para cada punto M de la curva, el radio de curvatura MK está dividido en dos partes iguales por su eje AL. Esta propiedad, que según Bernoulli se conocía desde hacía mucho tiempo, es exclusiva de la cicloide.
Finalmente, considera el caso más general en el que la velocidad es una función arbitraria X(x), por lo que el tiempo que debe minimizarse es . La condición mínima se convierte entonces en , que escribe como : y que da MN (=x) como función de NK (= a). A partir de esto, la ecuación de la curva podría obtenerse a partir del cálculo integral, aunque no lo demuestra.
Luego procede con lo que llama su Solución Sintética, que era una prueba geométrica clásica de que sólo hay una única curva por la que un cuerpo puede deslizarse en el mínimo tiempo, y esa curva es la cicloide.
“La razón de la demostración sintética, a la manera de los antiguos, es convencer al señor de la Hire . Éste tiene poco tiempo para nuestro nuevo análisis, calificándolo de falso (afirma haber encontrado tres maneras de demostrar que la curva es una parábola cúbica)” – Carta de Johan Bernoulli a Pierre Varignon del 27 de julio de 1697. [19]
Supongamos que AMmB es la parte de la cicloide que une A con B, por la que el cuerpo se desliza en el tiempo mínimo. Sea ICcJ parte de una curva diferente que une A con B, que puede estar más cerca de AL que AMmB. Si el arco Mm subtiende el ángulo MKm en su centro de curvatura, K, sea Cc el arco en IJ que subtiende el mismo ángulo. El arco circular que pasa por C con centro K es Ce. El punto D en AL está verticalmente sobre M. Unimos K con D y el punto H es donde CG interseca a KD, extendido si es necesario.
Sean y t los tiempos que tarda el cuerpo en caer a lo largo de Mm y Ce respectivamente.
Extender CG hasta el punto F donde, y puesto que , se deduce que
Como MN = NK, para la cicloide:
Si Ce está más cerca de K que Mm entonces
En cualquier caso,
Si el arco, Cc subtendido por el ángulo infinitesimal MKm en IJ no es circular, debe ser mayor que Ce, ya que Cec se convierte en un triángulo rectángulo en el límite cuando el ángulo MKm se acerca a cero.
Nótese que Bernoulli demuestra que CF > CG mediante un argumento similar pero diferente.
De esto concluye que un cuerpo recorre la cicloide AMB en menos tiempo que cualquier otra curva ACB.
Según el principio de Fermat , el camino real entre dos puntos que sigue un haz de luz (que obedece a la ley de refracción de Snell ) es el que requiere menos tiempo. En 1697, Johann Bernoulli utilizó este principio para derivar la curva braquistócrona considerando la trayectoria de un haz de luz en un medio donde la velocidad de la luz aumenta tras una aceleración vertical constante (la de la gravedad g ). [20]
Por la conservación de la energía , la velocidad instantánea de un cuerpo v después de caer una altura y en un campo gravitacional uniforme viene dada por:
La velocidad de movimiento del cuerpo a lo largo de una curva arbitraria no depende del desplazamiento horizontal.
Bernoulli observó que la ley de refracción de Snell proporciona una constante del movimiento de un haz de luz en un medio de densidad variable:
donde v m es la constante y representa el ángulo de la trayectoria con respecto a la vertical.
Las ecuaciones anteriores conducen a dos conclusiones:
Suponiendo para simplificar que la partícula (o el haz) con coordenadas (x,y) parte del punto (0,0) y alcanza la velocidad máxima después de caer una distancia vertical D :
Reordenando los términos en la ley de refracción y elevando al cuadrado se obtiene:
que se puede resolver para dx en términos de dy :
Sustituyendo las expresiones para v y v m anteriores obtenemos:
que es la ecuación diferencial de una cicloide invertida generada por un círculo de diámetro D=2r , cuya ecuación paramétrica es:
donde φ es un parámetro real , correspondiente al ángulo que ha girado el círculo rodante. Para un valor dado de φ, el centro del círculo se encuentra en ( x , y ) = ( rφ , r ) .
En el problema de la braquistócrona, el movimiento del cuerpo está dado por la evolución temporal del parámetro:
donde t es el tiempo transcurrido desde la liberación del cuerpo desde el punto (0,0).
El hermano de Johann, Jakob, demostró cómo se pueden utilizar las 2.ª diferenciales para obtener la condición de tiempo mínimo. Una versión modernizada de la prueba es la siguiente. Si realizamos una desviación despreciable de la trayectoria de tiempo mínimo, entonces, para el triángulo diferencial formado por el desplazamiento a lo largo de la trayectoria y los desplazamientos horizontal y vertical,
En la diferenciación con dy fijo obtenemos,
Y finalmente reordenando los términos obtenemos:
donde la última parte es el desplazamiento para un cambio dado en el tiempo para 2.as diferenciales. Ahora considere los cambios a lo largo de las dos trayectorias vecinas en la figura siguiente para las cuales la separación horizontal entre las trayectorias a lo largo de la línea central es d 2 x (la misma para los triángulos diferenciales superior e inferior). A lo largo de las trayectorias antiguas y nuevas, las partes que difieren son,
Para el camino de menores tiempos estos tiempos son iguales por lo que para su diferencia obtenemos,
Y la condición para el menor tiempo es,
lo cual concuerda con la suposición de Johann basada en la ley de refracción .
En junio de 1696, Johann Bernoulli había utilizado las páginas de las Acta Eruditorum Lipsidae para plantear un reto a la comunidad matemática internacional: encontrar la forma de la curva que une dos puntos fijos de modo que una masa se deslice por ella, bajo la influencia de la gravedad únicamente, en el mínimo tiempo. La solución debía presentarse en un plazo inicial de seis meses. A sugerencia de Leibniz, Bernoulli extendió el reto hasta la Pascua de 1697, mediante un texto impreso llamado "Programma", publicado en Groningen , en los Países Bajos.
El Programma está fechado el 1 de enero de 1697, en el calendario gregoriano. Era el 22 de diciembre de 1696 en el calendario juliano, en uso en Gran Bretaña. Según la sobrina de Newton, Catherine Conduitt, Newton se enteró del desafío a las 4 p. m. del 29 de enero y lo había resuelto a las 4 a. m. de la mañana siguiente. Su solución, comunicada a la Royal Society, está fechada el 30 de enero. Esta solución, publicada posteriormente de forma anónima en Philosophical Transactions , es correcta pero no indica el método por el que Newton llegó a su conclusión. Bernoulli, escribiendo a Henri Basnage en marzo de 1697, indicó que aunque su autor, "por un exceso de modestia", no había revelado su nombre, incluso a partir de los escasos detalles proporcionados se podía reconocer como obra de Newton, "como el león por su garra" (en latín, ex ungue Leonem ).
DT Whiteside señala que la letra en francés tiene ex ungue Leonem precedido por la palabra francesa comme . La versión tan citada tanquam ex ungue Leonem se debe al libro de David Brewster de 1855 sobre la vida y obra de Newton. La intención de Bernoulli era, sostiene Whiteside, simplemente indicar que podía decir que la solución anónima era la de Newton, de la misma manera que era posible decir que un animal era un león a partir de su garra; no pretendía sugerir que Bernoulli consideraba a Newton el león entre los matemáticos, como se ha llegado a interpretar desde entonces. [21]
John Wallis , que tenía 80 años en ese momento, se enteró del problema en septiembre de 1696 de parte del hermano menor de Johann Bernoulli, Hieronymus, y había pasado tres meses intentando encontrar una solución antes de pasársela en diciembre a David Gregory , quien tampoco logró resolverla. Después de que Newton presentó su solución, Gregory le pidió los detalles y tomó notas de su conversación. Estas se pueden encontrar en la Biblioteca de la Universidad de Edimburgo, manuscrito A , fechado el 7 de marzo de 1697. O bien Gregory no entendió el argumento de Newton, o la explicación de Newton fue muy breve. Sin embargo, es posible, con un alto grado de confianza, construir la prueba de Newton a partir de las notas de Gregory, por analogía con su método para determinar el sólido de resistencia mínima (Principia, Libro 2, Proposición 34, Escolio 2). Una descripción detallada de su solución de este último problema se incluye en el borrador de una carta de 1694, también a David Gregory. [22] Además del problema de la curva de tiempo mínimo, hubo un segundo problema que Newton también resolvió al mismo tiempo. Ambas soluciones aparecieron anónimamente en Philosophical Transactions of the Royal Society, de enero de 1697.
La figura 1 muestra el diagrama de Gregory (excepto que no se incluye la línea adicional IF y se ha añadido Z, el punto de partida). La curva ZVA es una cicloide y CHV es su círculo generador. Como parece que el cuerpo se mueve hacia arriba desde e hasta E, se debe suponer que un cuerpo pequeño se libera desde Z y se desliza a lo largo de la curva hasta A, sin fricción, bajo la acción de la gravedad.
Consideremos un pequeño arco eE, por el que asciende el cuerpo. Supongamos que recorre la línea recta eL hasta el punto L, desplazado horizontalmente desde E una pequeña distancia, o, en lugar del arco eE. Nótese que eL no es la tangente en e, y que o es negativo cuando L está entre B y E. Dibujemos la línea que pasa por E paralela a CH, cortando a eL en n. Según una propiedad de la cicloide, En es la normal a la tangente en E, y de manera similar, la tangente en E es paralela a VH.
Como el desplazamiento EL es pequeño, difiere poco en dirección de la tangente en E, de modo que el ángulo EnL es cercano a un ángulo recto. En el límite, cuando el arco eE se acerca a cero, eL se vuelve paralelo a VH, siempre que o sea pequeño en comparación con eE, lo que hace que los triángulos EnL y CHV sean similares.
También en se aproxima a la longitud de la cuerda eE, y al aumento de longitud, , ignorando los términos en y superiores, que representan el error debido a la aproximación de que eL y VH son paralelos.
La velocidad a lo largo de eE o eL se puede tomar como aquella en E, proporcional a , que es como CH, ya que
Esto parece ser todo lo que contiene la nota de Gregory.
Sea t el tiempo adicional para llegar a L,
Por lo tanto, el aumento del tiempo para recorrer un pequeño arco desplazado en un punto final depende únicamente del desplazamiento en el punto final y es independiente de la posición del arco. Sin embargo, según el método de Newton, esta es precisamente la condición necesaria para que la curva se recorra en el mínimo tiempo posible. Por lo tanto, concluye que la curva mínima debe ser la cicloide.
Él argumenta lo siguiente:
Suponiendo ahora que la figura 1 es la curva mínima aún no determinada, con el eje vertical CV y el círculo CHV eliminado, y que la figura 2 muestra parte de la curva entre el arco infinitesimal eE y otro arco infinitesimal Ff a una distancia finita a lo largo de la curva, el tiempo adicional, t, para atravesar eL (en lugar de eE) es nL dividido por la velocidad en E (proporcional a ), ignorando los términos en y superiores:
,
En L, la partícula continúa por una trayectoria LM, paralela a la EF original, hasta un punto arbitrario M. Como tiene la misma velocidad en L que en E, el tiempo para recorrer LM es el mismo que el que hubiera tardado en recorrer la curva original EF. En M, regresa a la trayectoria original en el punto f. Por el mismo razonamiento, la reducción del tiempo, T, para llegar a f desde M en lugar de desde F es
La diferencia (t – T) es el tiempo extra que tarda en recorrer el camino eLMf en comparación con el eEFf original:
términos más en y superiores (1)
Como eEFf es la curva mínima, (t – T) debe ser mayor que cero, independientemente de que o sea positivo o negativo. De ello se deduce que el coeficiente de o en (1) debe ser cero:
(2) en el límite cuando eE y fF se aproximan a cero. Nótese que como eEFf es la curva mínima, se debe suponer que el coeficiente de es mayor que cero.
Claramente tiene que haber dos desplazamientos iguales y opuestos, o el cuerpo no regresaría al punto final, A, de la curva.
Si e es fijo y si f se considera un punto variable más arriba en la curva, entonces para todos esos puntos, f es constante (igual a ). Si mantenemos f fijo y hacemos que e sea variable, queda claro que también es constante.
Pero, como los puntos e y f son arbitrarios, la ecuación (2) sólo puede ser verdadera si , en todas partes, y esta condición caracteriza la curva que se busca. Esta es la misma técnica que utiliza para encontrar la forma del sólido de menor resistencia.
Para la cicloide, , de modo que , que se demostró anteriormente que es constante, y la braquistócrona es la cicloide.
Newton no da ninguna indicación de cómo descubrió que la cicloide satisfacía esta última relación. Puede haber sido por ensayo y error, o puede haber reconocido inmediatamente que implicaba que la curva era la cicloide.
