Problema de Stefan

En matemáticas y sus aplicaciones, particularmente en las transiciones de fase en la materia, un problema de Stefan es un tipo particular de problema de valor límite para un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en el que el límite entre las fases puede moverse con el tiempo. El problema clásico de Stefan tiene como objetivo describir la evolución del límite entre dos fases de un material que experimenta un cambio de fase , por ejemplo, la fusión de un sólido, como el hielo , en agua . Esto se logra resolviendo ecuaciones de calor en ambas regiones, sujetas a condiciones iniciales y de límite dadas. En la interfaz entre las fases (en el problema clásico), la temperatura se establece en la temperatura de cambio de fase. Para cerrar el sistema matemático se requiere una ecuación adicional, la condición de Stefan . Este es un balance de energía que define la posición de la interfaz en movimiento. Nótese que este límite en evolución es una (hiper)superficie desconocida ; por lo tanto, los problemas de Stefan son ejemplos de problemas de límite libre .

Problemas análogos surgen, por ejemplo, en el estudio del flujo en medios porosos, las finanzas matemáticas y el crecimiento de cristales a partir de soluciones de monómeros. ^[1]

Nota histórica

El problema recibe su nombre de Josef Stefan (Jožef Stefan), el físico esloveno que introdujo la clase general de tales problemas alrededor de 1890 en una serie de cuatro artículos sobre la congelación del suelo y la formación del hielo marino . ^{[2] Sin embargo, unos 60 años antes, en 1831,} Lamé y Clapeyron habían estudiado un problema equivalente, sobre la formación de la corteza terrestre . El problema de Stefan admite una solución de similitud , a menudo denominada solución de Neumann , que supuestamente se presentó en una serie de conferencias a principios de la década de 1860.

Una descripción completa de la historia de los problemas de Stefan se puede encontrar en Rubinstein. ^[3]

Premisas para la descripción matemática

Desde un punto de vista matemático, las fases son simplemente regiones en las que las soluciones de la EDP subyacente son continuas y diferenciables hasta el orden de la EDP. En problemas físicos, dichas soluciones representan propiedades del medio para cada fase. Los límites móviles (o interfases ) son superficies infinitesimalmente delgadas que separan fases adyacentes; por lo tanto, las soluciones de la EDP subyacente y sus derivadas pueden sufrir discontinuidades a través de las interfases.

Las ecuaciones diferenciales parciales subyacentes no son válidas en las interfaces de cambio de fase; por lo tanto, se necesita una condición adicional (la condición de Stefan ) para obtener el cierre . La condición de Stefan expresa la velocidad local de un límite móvil, como una función de cantidades evaluadas en cada lado del límite de fase, y generalmente se deriva de una restricción física. En problemas de transferencia de calor con cambio de fase, por ejemplo, la conservación de la energía dicta que la discontinuidad del flujo de calor en el límite debe explicarse por la tasa de liberación de calor latente (que es proporcional a la velocidad local de la interfaz).

La regularidad de la ecuación ha sido estudiada principalmente por Luis Caffarelli ^{[4] [5]} y refinada aún más por el trabajo de Alessio Figalli , Xavier Ros-Oton y Joaquim Serra ^{[6] [7].}

Formulación matemática

El problema de Stefan unidimensional y monofásico

El problema monofásico de Stefan se basa en el supuesto de que una de las fases del material puede ignorarse. Normalmente, esto se logra suponiendo que una fase está a la temperatura de cambio de fase y, por lo tanto, cualquier variación de esta conduce a un cambio de fase. Esta es una aproximación matemáticamente conveniente, que simplifica el análisis al tiempo que demuestra las ideas esenciales detrás del proceso. Otra simplificación estándar es trabajar en formato adimensional , de modo que la temperatura en la interfaz se pueda establecer en cero y los valores de campo lejano en o . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

Consideremos un bloque de hielo unidimensional semiinfinito que inicialmente se encuentra a una temperatura de fusión de . La forma más conocida del problema de Stefan implica la fusión a través de una temperatura constante impuesta en el límite izquierdo, dejando una región ocupada por agua. La profundidad de fusión, denotada por , es una función desconocida del tiempo. El problema de Stefan se define por ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$ ${\displaystyle [0;s(t)]}$ ${\displaystyle s(t)}$

• La ecuación del calor: ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad \forall (x,t)\in [0;s(t)]\times [0;+\infty ]}$
• Una temperatura fija, por encima de la temperatura de fusión, en el límite izquierdo: ${\displaystyle u(0,t)=1,\quad \forall t>0}$
• La interfaz a la temperatura de fusión se establece en ${\displaystyle u\left(s(t),t\right)=0}$
• La condición de Stefan: donde es el número de Stefan, la relación entre el calor latente y el calor sensible específico (donde específico indica que está dividido por la masa). Nótese que esta definición se desprende naturalmente de la no dimensionalización y se utiliza en muchos textos ^{[8] [9],} sin embargo, también puede definirse como la inversa de esta . ${\displaystyle \beta {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}s(t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}u\left(s(t),t\right)}$ ${\displaystyle \beta }$
• La distribución de temperatura inicial: ${\displaystyle u(x,0)=0,\;\forall x\geq 0}$
• La profundidad inicial del bloque de hielo derretido: ${\displaystyle s(0)=0}$

La solución de Neumann, obtenida mediante el uso de variables autosimilares, indica que la posición del límite está dada por donde satisface la ecuación trascendental La temperatura en el líquido está dada entonces por ${\textstyle s(t)=2\lambda {\sqrt {t}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda ^{2}}}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}$$ $${\displaystyle T=1-{\frac {{\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {t}}}}\right)}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}$$

Aplicaciones

Además de modelar la fusión de sólidos, el problema de Stefan también se utiliza como modelo para el comportamiento asintótico (en el tiempo) de problemas más complejos. Por ejemplo, Pego ^[10] utiliza expansiones asintóticas emparejadas para demostrar que las soluciones de Cahn-Hilliard para problemas de separación de fases se comportan como soluciones a un problema de Stefan no lineal en una escala de tiempo intermedia. Además, la solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria es razonablemente comparable con la solución de un problema de Stefan. ^[11] En esta comparación, el problema de Stefan se resolvió utilizando un método de seguimiento frontal, de malla móvil con condiciones de contorno de Neumann homogéneas en el límite exterior. Además, los problemas de Stefan se pueden aplicar para describir transformaciones de fase distintas de sólido-fluido o fluido-fluido. ^[12]

La aplicación del problema de Stefan a la cristalización de metales en la deposición electroquímica de polvos metálicos fue prevista por Călușaru ^[13].

El problema de Stefan también tiene una rica teoría inversa; en tales problemas, la profundidad de fusión (o curva o hipersuperficie ) s es el dato conocido y el problema es encontrar u o f . ^[14]

Formas avanzadas del problema de Stefan

El problema clásico de Stefan trata de materiales estacionarios con propiedades termofísicas constantes (normalmente independientemente de la fase), una temperatura de cambio de fase constante y, en el ejemplo anterior, un cambio instantáneo de la temperatura inicial a un valor distinto en el límite. En la práctica, las propiedades térmicas pueden variar y, en concreto, siempre lo hacen cuando cambia la fase. El salto de densidad en el cambio de fase induce un movimiento del fluido: la energía cinética resultante no figura en el balance de energía estándar. Con un cambio de temperatura instantáneo, la velocidad inicial del fluido es infinita, lo que da como resultado una energía cinética infinita inicial. De hecho, la capa de líquido suele estar en movimiento, por lo que se requieren términos de advección o convección en la ecuación del calor . La temperatura de fusión puede variar con el tamaño, la curvatura o la velocidad de la interfaz. Es imposible cambiar de temperatura instantáneamente y, por tanto, es difícil mantener una temperatura límite fija exacta. Además, a escala nanométrica, es posible que la temperatura ni siquiera siga la ley de Fourier.

En los últimos años se han abordado varios de estos problemas para diversas aplicaciones físicas. En la solidificación de fundidos superenfriados, se puede encontrar un análisis en el que la temperatura de cambio de fase depende de la velocidad de la interfaz en Font et al . ^[15] La solidificación a nanoescala, con temperatura de cambio de fase variable y efectos de energía/densidad, se modela en [ ^{16] [17]} La ​​solidificación con flujo en un canal se ha estudiado en el contexto de lava ^[18] y microcanales, ^[19] o con una superficie libre en el contexto de congelación de agua sobre una capa de hielo. ^{[20] [21] En [22] se} analiza un modelo general que incluye diferentes propiedades en cada fase, temperatura de cambio de fase variable y ecuaciones de calor basadas en la ley de Fourier o en la ecuación de Guyer-Krumhansl.

Véase también

• Problema de límite libre
• Olga Oleinik
• Shoshana Kamin
• La ecuación de Stefan

Notas

1. Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas . Ockendon, JR (ed. rev.). Oxford: Oxford University Press. 2003. ISBN 0-19-852770-5.OCLC 52486357  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
2. (Vuik 1993, pág. 157).
3. RUBINSTEIN, LI (2016). PROBLEMA DE STEFAN . [Lugar de publicación no identificado]: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2850-1.OCLC 973324855  .
4. Caffarelli, Luis A. (1977). "La regularidad de los límites libres en dimensiones superiores". Acta Mathematica . 139 (none): 155–184. doi : 10.1007/BF02392236 . ISSN  0001-5962. S2CID  123660704.
5. CAFFARELLI, LUIS A. (1978). "Algunos aspectos del problema monofásico de Stefan". Indiana University Mathematics Journal . 27 (1): 73–77. doi : 10.1512/iumj.1978.27.27006 . ISSN  0022-2518. JSTOR  24891579.
6. Figalli, Alessio ; Ros-Oton, Xavier ; Serra, Joaquim (2024). "El conjunto singular en el problema de Stefan". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 37 (2): 305–389. arXiv : 2103.13379 . doi :10.1090/jams/1026. MR  4695505.
7. Rorvig, Mordechai (6 de octubre de 2021). "Los matemáticos demuestran que el hielo derretido se mantiene suave". Revista Quanta . Consultado el 8 de octubre de 2021 .
8. Davis, Stephen H., 1939-. Teoría de la solidificación . Cambridge. ISBN 978-0-511-01924-1.OCLC 232161077  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
9. Fowler, AC (Andrew Cadle), 1953- (1997). Modelos matemáticos en las ciencias aplicadas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46140-5.OCLC 36621805  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
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Referencias

Referencias históricas

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Referencias científicas y generales

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• Kirsch, Andreas (1996), Introducción a la teoría matemática de problemas inversos, Serie de Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 120, Berlín–Heidelberg–Nueva York: Springer Verlag , pp. x+282, ISBN 0-387-94530-X, MR  1479408, Zbl  0865.35004
• Meirmanov, Anvarbek M. (1992), El problema de Stefan, Exposiciones de De Gruyter en matemáticas, vol. 3, Berlín – Nueva York: Walter de Gruyter , págs. x+245, doi :10.1515/9783110846720, ISBN 3-11-011479-8, MR  1154310, Zbl  0751.35052. – vía  De Gruyter (se requiere suscripción) Una importante monografía de uno de los principales contribuyentes al campo, que describe su prueba de la existencia de una solución clásica al problema multidimensional de Stefan y examina su desarrollo histórico.
• Oleinik, OA (1960), "Un método de solución del problema general de Stefan", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 135 : 1050–1057, MR  0125341, Zbl  0131.09202. Artículo que contiene la prueba de Olga Oleinik de la existencia y unicidad de una solución generalizada para el problema tridimensional de Stefan, basada en investigaciones previas de su alumna SL Kamenomostskaya .
• Kamenomostskaya, SL (1958), "Sobre el problema de Stefan", Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematicheskie Nauki (en ruso), 1 (1): 60–62, Zbl  0143.13901. El relato anterior de la investigación del autor sobre el problema de Stefan.
• Kamenomostskaya, SL (1961), "Sobre el problema de Stefan", Matematicheskii Sbornik (en ruso), 53(95) (4): 489–514, MR  0141895, Zbl  0102.09301En este artículo la autora demuestra la existencia y unicidad de una solución generalizada para el problema tridimensional de Stefan, posteriormente mejorada por su maestra Olga Oleinik.
• Rodrigues, JF (1989), "El problema de Stefan revisitado", Modelos matemáticos para problemas de cambio de fase , Birkhäuser, págs. 129-190, ISBN 0-8176-2309-4
• Rubinstein, LI (1971), El problema de Stefan, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 27, Providence, RI : American Mathematical Society , pp. viii+419, ISBN 0-8218-1577-6, MR  0351348, Zbl  0219.35043Una referencia completa, escrita por uno de los principales contribuyentes a la teoría, actualizada hasta 1962-1963 y que contiene una bibliografía de 201 artículos.
• Tarzia, Domingo Alberto (julio de 2000), "Una bibliografía sobre problemas de límites en movimiento libre para la ecuación de difusión de calor. Stefan y problemas relacionados", MAT. Serie A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1–297, doi : 10.26422/MAT.A.2000.2.tar , ISSN  1515-4904, MR  1802028, Zbl  0963.35207La impresionante bibliografía personal del autor sobre problemas de frontera libre y móvil (M–FBP) para la ecuación de difusión de calor (H–DE), que contiene alrededor de 5900 referencias a trabajos aparecidos en aproximadamente 884 tipos diferentes de publicaciones. Su objetivo declarado es tratar de dar una explicación completa de la literatura occidental matemática, física y de ingeniería existente sobre este campo de investigación. Se ha recopilado casi todo el material sobre el tema, publicado después del artículo histórico y primero de Lamé–Clapeyron (1831). Las fuentes incluyen revistas científicas, actas de simposios o conferencias, informes técnicos y libros.

Enlaces externos

• Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Condición de Stefan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Problema de Stefan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Problema de Stefan, inverso", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press