Solución débil

Solución matemática

En matemáticas , una solución débil (también llamada solución generalizada ) de una ecuación diferencial ordinaria o parcial es una función para la cual no todas las derivadas existen, pero que, no obstante, se considera que satisface la ecuación en algún sentido definido con precisión. Existen muchas definiciones diferentes de solución débil, apropiadas para diferentes clases de ecuaciones. Una de las más importantes se basa en la noción de distribuciones .

Evitando el lenguaje de las distribuciones, se parte de una ecuación diferencial y se la reescribe de tal manera que no aparezcan derivadas de la solución de la ecuación (la nueva forma se denomina formulación débil y las soluciones se denominan soluciones débiles). Es un tanto sorprendente que una ecuación diferencial pueda tener soluciones que no sean diferenciables y la formulación débil permite encontrar dichas soluciones.

Las soluciones débiles son importantes porque muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran al modelar fenómenos del mundo real no admiten soluciones suficientemente suaves, y la única manera de resolver dichas ecuaciones es utilizando la formulación débil. Incluso en situaciones en las que una ecuación sí tiene soluciones diferenciables, a menudo es conveniente probar primero la existencia de soluciones débiles y sólo después demostrar que esas soluciones son, de hecho, suficientemente suaves.

Un ejemplo concreto

Como ilustración del concepto, considere la ecuación de onda de primer orden :

donde u = u ( t , x ) es una función de dos variables reales . Para probar indirectamente las propiedades de una posible solución u , se la integra contra una función suave arbitraria de soporte compacto , conocida como función de prueba, tomando ${\displaystyle \varphi \,\!}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt}$

Por ejemplo, si es una distribución de probabilidad suave concentrada cerca de un punto , la integral es aproximadamente . Observe que, si bien las integrales van de a , se encuentran esencialmente sobre una caja finita donde es distinto de cero. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })}$ ${\displaystyle u(t_{\circ },x_{\circ })}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \varphi }$

Por lo tanto, supongamos que una solución u es continuamente diferenciable en el espacio euclidiano R ² , multipliquemos la ecuación ( 1 ) por una función de prueba (suave o de soporte compacto) e integremos: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

Utilizando el teorema de Fubini , que permite intercambiar el orden de integración, así como la integración por partes (en t para el primer término y en x para el segundo término) esta ecuación se convierte en:

(Los términos de contorno se desvanecen ya que es cero fuera de una caja finita.) Hemos demostrado que la ecuación ( 1 ) implica la ecuación ( 2 ) siempre que u sea continuamente diferenciable. ${\displaystyle \varphi }$

La clave del concepto de solución débil es que existen funciones u que satisfacen la ecuación ( 2 ) para cualquier , pero dichas u pueden no ser diferenciables y, por lo tanto, no pueden satisfacer la ecuación ( 1 ). Un ejemplo es u ( t , x ) = | t − x | , como se puede comprobar dividiendo las integrales en las regiones x ≥ t y x ≤ t , donde u es suave, e invirtiendo el cálculo anterior mediante integración por partes. Una solución débil de la ecuación ( 1 ) significa cualquier solución u de la ecuación ( 2 ) sobre todas las funciones de prueba . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Caso general

La idea general que se desprende de este ejemplo es que, al resolver una ecuación diferencial en u , se puede reescribir utilizando una función de prueba , de modo que cualesquiera que sean las derivadas en u que aparezcan en la ecuación, se "transfieran" mediante integración por partes a , lo que da como resultado una ecuación sin derivadas de u . Esta nueva ecuación generaliza la ecuación original para incluir soluciones que no son necesariamente diferenciables. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

El enfoque ilustrado anteriormente funciona con gran generalidad. De hecho, considere un operador diferencial lineal en un conjunto abierto W en R ⁿ :

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),}$

donde el multiíndice ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) varía sobre algún conjunto finito en N ⁿ y los coeficientes son funciones suficientemente suaves de x en R ⁿ . ${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}$

La ecuación diferencial P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 puede, después de ser multiplicada por una función de prueba suave con soporte compacto en W e integrada por partes, escribirse como ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

donde el operador diferencial Q ( x , ∂ ) viene dado por la fórmula

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$

El numero

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$

aparece porque se necesitan α ₁ + α ₂ + ⋯ + α _n integraciones por partes para transferir todas las derivadas parciales de u a en cada término de la ecuación diferencial, y cada integración por partes implica una multiplicación por −1. ${\displaystyle \varphi }$

El operador diferencial Q ( x , ∂ ) es el adjunto formal de P ( x , ∂ ) (cf. adjunto de un operador ).

En resumen, si el problema original (fuerte) era encontrar una función u | α |-veces diferenciable definida en el conjunto abierto W tal que

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W}$

(una llamada solución fuerte ), entonces se diría que una función integrable u es una solución débil si

${\displaystyle \int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

para cualquier función suave con soporte compacto en W. ${\displaystyle \varphi }$

Otros tipos de solución débil

La noción de solución débil basada en distribuciones es a veces inadecuada. En el caso de sistemas hiperbólicos , la noción de solución débil basada en distribuciones no garantiza unicidad, y es necesario complementarla con condiciones de entropía o algún otro criterio de selección. En PDE completamente no lineales como la ecuación de Hamilton-Jacobi , existe una definición muy diferente de solución débil llamada solución de viscosidad .

Referencias

• Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-0772-2.