problema de dirichlet

Problema de encontrar una función que resuelva una ecuación diferencial parcial especificada

En matemáticas , un problema de Dirichlet es el problema de encontrar una función que resuelva una ecuación diferencial parcial (PDE) específica en el interior de una región dada que toma valores prescritos en el límite de la región. ^[1]

El problema de Dirichlet puede resolverse para muchas PDE, aunque originalmente se planteó para la ecuación de Laplace . En ese caso el problema se puede plantear de la siguiente manera:

Dada una función f que tiene valores en todas partes en el límite de una región en R ⁿ , ¿existe una función continua única u dos veces continuamente diferenciable en el interior y continua en el límite, tal que u sea armónica en el interior y u  =  f en ¿EL limite?

Este requisito se denomina condición de frontera de Dirichlet . La cuestión principal es demostrar la existencia de una solución; La unicidad se puede demostrar utilizando el principio de máxima .

Historia

El problema de Dirichlet se remonta a George Green , quien estudió el problema en dominios generales con condiciones de frontera generales en su Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , publicado en 1828. Redujo el problema a un problema de construcción lo que ahora llamamos funciones de Green , y argumentó que la función de Green existe para cualquier dominio. Sus métodos no eran rigurosos para los estándares actuales, pero sus ideas influyeron mucho en los desarrollos posteriores. Los siguientes pasos en el estudio del problema de Dirichlet fueron dados por Karl Friedrich Gauss , William Thomson ( Lord Kelvin ) y Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quienes dieron nombre al problema, y ​​la solución al problema (al menos para la pelota) usando Dirichlet conocía el núcleo de Poisson (a juzgar por su artículo de 1850 presentado a la academia prusiana). Lord Kelvin y Dirichlet propusieron una solución al problema mediante un método variacional basado en la minimización de la "energía de Dirichlet". Según Hans Freudenthal (en el Diccionario de biografía científica , vol. 11), Bernhard Riemann fue el primer matemático que resolvió este problema variacional basándose en un método al que llamó principio de Dirichlet . La existencia de una solución única es muy plausible según el "argumento físico": cualquier distribución de carga en la frontera debería, según las leyes de la electrostática , determinar un potencial eléctrico como solución. Sin embargo, Karl Weierstrass encontró un defecto en el argumento de Riemann, y David Hilbert no encontró una prueba rigurosa de su existencia hasta 1900 , utilizando su método directo en el cálculo de variaciones . Resulta que la existencia de una solución depende delicadamente de la suavidad de la frontera y de los datos prescritos.

solución general

Para un dominio que tiene un límite suficientemente suave , la solución general al problema de Dirichlet viene dada por ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds,}$

donde es la función de Green para la ecuación diferencial parcial, y ${\displaystyle G(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

es la derivada de la función de Green a lo largo del vector normal unitario que apunta hacia adentro . La integración se realiza en la frontera, con medida . La función viene dada por la solución única de la ecuación integral de Fredholm de segundo tipo, ${\displaystyle {\widehat {n}}}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle \nu (s)}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds.}$

La función de Green que se utilizará en la integral anterior es aquella que desaparece en el límite:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

Para y . Esta función de Green suele ser una suma de la función de Green en campo libre y una solución armónica de la ecuación diferencial. ${\displaystyle s\in \partial D}$ ${\displaystyle x\in D}$

Existencia

El problema de Dirichlet para funciones armónicas siempre tiene una solución, y esa solución es única, cuando la frontera es suficientemente suave y continua. Más precisamente, tiene solución cuando ${\displaystyle f(s)}$

${\displaystyle \partial D\in C^{1,\alpha }}$

para algunos , donde denota la condición de Hölder . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$

Ejemplo: el disco unitario en dos dimensiones

En algunos casos sencillos, el problema de Dirichlet puede resolverse explícitamente. Por ejemplo, la solución al problema de Dirichlet para el disco unitario en R ² viene dada por la fórmula integral de Poisson .

Si es una función continua en el límite del disco unitario abierto , entonces la solución al problema de Dirichlet viene dada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(z)}$

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

La solución es continua en el disco unitario cerrado y armónica en ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D.}$

El integrando se conoce como núcleo de Poisson ; esta solución se deriva de la función de Green en dos dimensiones:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |z-x|+\gamma (z,x),}$

donde es armónico ( ) y elegido tal que para . ${\displaystyle \gamma (z,x)}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$ ${\displaystyle G(z,x)=0}$ ${\displaystyle x\in \partial D}$

Métodos de solución

Para dominios acotados, el problema de Dirichlet se puede resolver utilizando el método de Perron , que se basa en el principio de máximo para funciones subarmónicas . Este enfoque se describe en muchos libros de texto. ^[2] No es adecuado para describir la suavidad de soluciones cuando el límite es suave. Otro enfoque clásico del espacio de Hilbert a través de espacios de Sobolev proporciona dicha información. ^[3] La solución del problema de Dirichlet utilizando espacios de Sobolev para dominios planos se puede utilizar para demostrar la versión fluida del teorema de mapeo de Riemann . Bell (1992) ha esbozado un enfoque diferente para establecer el teorema de mapeo suave de Riemann, basado en los núcleos reproductores de Szegő y Bergman, y a su vez lo utilizó para resolver el problema de Dirichlet. Los métodos clásicos de la teoría de potenciales permiten resolver el problema de Dirichlet directamente en términos de operadores integrales , para lo cual es aplicable la teoría estándar de los operadores compactos y de Fredholm. Los mismos métodos funcionan igualmente para el problema de Neumann . ^[4]

Generalizaciones

Los problemas de Dirichlet son típicos de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas , y de la teoría del potencial , y de la ecuación de Laplace en particular. Otros ejemplos incluyen la ecuación biarmónica y ecuaciones relacionadas en la teoría de la elasticidad .

Son uno de varios tipos de clases de problemas PDE definidos por la información proporcionada en el límite, incluidos los problemas de Neumann y los problemas de Cauchy .

Ejemplo: ecuación de una cuerda finita unida a una pared en movimiento

Considere el problema de Dirichlet para la ecuación de onda que describe una cuerda atada entre paredes con un extremo sujeto permanentemente y el otro moviéndose con velocidad constante, es decir, la ecuación de d'Alembert en la región triangular del producto cartesiano del espacio y el tiempo:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

Como se puede comprobar fácilmente mediante sustitución, la solución que cumple la primera condición es

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).}$

Además queremos

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

Sustituyendo

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

obtenemos la condición de autosimilitud

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau ),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

Lo cumple, por ejemplo, la función compuesta

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

con

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$

así en general

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

donde es una función periódica con un punto : ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),}$

y obtenemos la solución general

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}$

Ver también

• columna de lebesgue

Notas

1. "Problema de Dirichlet".
2. Ver por ejemplo:
   • Juan 1982
   • Bers, John y Schechter 1979
   • Greene y Krantz 2006
3. Ver por ejemplo:
   • Bers, John y Schechter 1979
   • Chazarain y Piriou 1982
   • Taylor 2011
4. Ver:
   • Follando 1995
   • Bers, John y Schechter 1979

Referencias

• A. Yanushauskas (2001) [1994], "Problema de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• SG Krantz, El problema de Dirichlet . §7.3.3 en Manual de variables complejas . Boston, MA: Birkhäuser, pág. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 . 
• S. Axler , P. Gorkin , K. Voss, El problema de Dirichlet en superficies cuadráticas , Matemáticas de Computación 73 (2004), 637–651.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4.
• Gerard, Patricio; Leichtnam, Éric : Propiedades ergódicas de funciones propias para el problema de Dirichlet. Duque Matemáticas. J. 71 (1993), núm. 2, 559–607.
• John, Fritz (1982), Ecuaciones diferenciales parciales , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 1 (4ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
• Bers, Lipman; Juan, Fritz; Schechter, Martin (1979), Ecuaciones diferenciales parciales, con suplementos de Lars Gårding y AN Milgram , Lectures in Applied Mathematics, vol. 3A, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-0049-3.
• Agmon, Shmuel (2010), Conferencias sobre problemas de valores de límites elípticos , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-4910-1
• Stein, Elias M. (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton University Press.
• Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2006), Teoría de funciones de una variable compleja , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 40 (3.ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-3962-4.
• Taylor, Michael E. (2011), Ecuaciones diferenciales parciales I. Teoría básica , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 115 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1.
• Zimmer, Robert J. (1990), Resultados esenciales del análisis funcional , Conferencias de Matemáticas de Chicago, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4.
• Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2ª ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2.
• Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales lineales , Estudios en matemáticas y sus aplicaciones, vol. 14, Elsevier, ISBN 0444864520.
• Bell, Steven R. (1992), La transformada de Cauchy, teoría del potencial y mapeo conforme , Estudios en Matemáticas Avanzadas, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X.
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 94, Springer, ISBN 0387908943.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Interscience, ISBN 0471050598.
• Courant, R. (1950), Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas , Interscience.
• Schiffer, M.; Hawley, NS (1962), "Conexiones y mapeo conforme", Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790

enlaces externos

• "Problema de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Problema de Dirichlet". MundoMatemático .