Ideal principal

Ideal de anillo generado por un solo elemento del anillo

En matemáticas , específicamente en la teoría de anillos , un ideal principal es un ideal en un anillo que se genera a partir de un solo elemento de mediante la multiplicación por cada elemento de El término también tiene otro significado similar en la teoría del orden , donde se refiere a un ideal (de orden) en un conjunto parcial generado por un solo elemento , es decir, el conjunto de todos los elementos menores o iguales a en ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

El resto de este artículo aborda el concepto de teoría de anillos.

Definiciones

• Un ideal principal izquierdo de es un subconjunto de dado por para algún elemento ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• Un ideal principal correcto de es un subconjunto de dado por para algún elemento ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• un ideal principal bilateral de es un subconjunto de dado por para algún elemento , es decir, el conjunto de todas las sumas finitas de elementos de la forma ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle ras.}$

Aunque esta definición de ideal principal bilateral puede parecer más complicada que las otras, es necesario asegurar que el ideal permanezca cerrado bajo adición. ^{[ cita requerida ]}

Si es un anillo conmutativo con identidad, entonces las tres nociones anteriores son todas iguales. En ese caso, es común escribir el ideal generado por como o ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle (a).}$

Ejemplos de ideales no principales

No todos los ideales son principales. Por ejemplo, considere el anillo conmutativo de todos los polinomios en dos variables y con coeficientes complejos . El ideal generado por y que consiste en todos los polinomios en que tienen cero como término constante , no es principal. Para ver esto, suponga que fuera un generador para Entonces y ambos serían divisibles por lo que es imposible a menos que sea una constante distinta de cero. Pero cero es la única constante en por lo que tenemos una contradicción . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

En el anillo los números donde es par forman un ideal no principal. Este ideal forma una red hexagonal regular en el plano complejo. Consideremos y Estos números son elementos de este ideal con la misma norma (dos), pero porque las únicas unidades en el anillo son y no son asociados. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ ${\displaystyle (1,1).}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1,}$

Definiciones relacionadas

Un anillo en el que cada ideal es principal se llama principal o anillo de ideales principales . Un dominio de ideales principales (PID) es un dominio integral en el que cada ideal es principal. Cualquier PID es un dominio de factorización única ; la prueba normal de factorización única en los números enteros (el llamado teorema fundamental de la aritmética ) se cumple en cualquier PID.

Ejemplos de ideal principal

Los ideales principales en son de la forma De hecho, es un dominio ideal principal, que puede demostrarse como sigue. Supóngase donde y considere los homomorfismos sobreyectivos Como es finito, para suficientemente grande tenemos Por lo tanto lo que implica es siempre finitamente generado. Como el ideal generado por cualesquiera números enteros y es exactamente por inducción sobre el número de generadores se sigue que es principal. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$

Sin embargo, todos los anillos tienen ideales principales, es decir, cualquier ideal generado por exactamente un elemento. Por ejemplo, el ideal es un ideal principal de y es un ideal principal de De hecho, y son ideales principales de cualquier anillo ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$ ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$ ${\displaystyle R.}$

Propiedades

Cualquier dominio euclidiano es un PID ; el algoritmo utilizado para calcular los máximos comunes divisores puede utilizarse para encontrar un generador de cualquier ideal. De manera más general, dos ideales principales cualesquiera en un anillo conmutativo tienen un máximo común divisor en el sentido de multiplicación ideal. En los dominios de ideales principales, esto nos permite calcular los máximos comunes divisores de los elementos del anillo, hasta la multiplicación por una unidad ; definimos como cualquier generador del ideal. ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

Para un dominio de Dedekind también podemos preguntar, dado un ideal no principal , si existe alguna extensión de tal que el ideal de generado por sea principal (dicho de manera más libre, se vuelva principal en ). Esta pregunta surgió en relación con el estudio de anillos de números enteros algebraicos (que son ejemplos de dominios de Dedekind) en la teoría de números y condujo al desarrollo de la teoría de campos de clases por parte de Teiji Takagi , Emil Artin , David Hilbert y muchos otros. ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$

El teorema del ideal principal de la teoría de campos de clase establece que cada anillo de números enteros (es decir, el anillo de números enteros de algún campo de números ) está contenido en un anillo de números enteros más grande que tiene la propiedad de que cada ideal de se convierte en un ideal principal de En este teorema podemos tomar como el anillo de números enteros del campo de clase de Hilbert de ; es decir, la extensión abeliana no ramificada máxima (es decir, la extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano ) del campo de fracciones de y esto está determinado de manera única por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R.}$

El teorema del ideal principal de Krull establece que si es un anillo noetheriano y es un ideal propio principal de entonces tiene una altura como máximo uno. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$

Véase también

• Condición de cadena ascendente para ideales principales

Referencias

• Gallian, Joseph A. (2017). Álgebra abstracta contemporánea (novena edición). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.