número de madera

En teoría de números , un número de Woodall ( W _n ) es cualquier número natural de la forma

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

para algún número natural n . Los primeros números de Woodall son:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895,… (secuencia A003261 en la OEIS ).

Historia

Los números de Woodall fueron estudiados por primera vez por Allan JC Cunningham y HJ Woodall en 1917, ^[1] inspirados en el estudio anterior de James Cullen sobre los números de Cullen definidos de manera similar .

primos de Woodall

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Woodall?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Los números de Woodall que también son números primos se llaman primos de Woodall ; los primeros exponentes n para los cuales los números de Woodall correspondientes W _n son primos son 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ... (secuencia A002234 en OEIS ); los propios primos de Woodall comienzan con 7, 23, 383, 32212254719, ... (secuencia A050918 en el OEIS ).

En 1976 Christopher Hooley demostró que casi todos los números de Cullen son compuestos . ^[2] En octubre de 1995, Wilfred Keller publicó un artículo en el que analizaba varios números primos de Cullen nuevos y los esfuerzos realizados para factorizar otros números de Cullen y Woodall. En ese artículo se incluye una comunicación personal a Keller de Hiromi Suyama, afirmando que el método de Hooley puede reformularse para demostrar que funciona para cualquier secuencia de números n · 2 ^{n + a} + b , donde a y b son números enteros , y en particular , que casi todos los números de Woodall son compuestos. ^[3] Es un problema abierto si hay infinitos números primos de Woodall. En octubre de 2018 ^[actualizar], el número primo de Woodall más grande conocido es 17016602 × 2 ^17016602  − 1. ^[4] Tiene 5.122.515 dígitos y fue encontrado por Diego Bertolotti en marzo de 2018 en el proyecto de computación distribuida PrimeGrid . ^[5]

Restricciones

Comenzando con W ₄ = 63 y W ₅ = 159, cada sexto número de Woodall es divisible por 3; por lo tanto, para que W _n sea primo, el índice n no puede ser congruente con 4 o 5 (módulo 6). Además, para un entero positivo m , el número de Woodall W _{2 ^m} puede ser primo sólo si 2 ^m + m es primo. En enero de 2019, los únicos primos conocidos que son tanto primos de Woodall como primos de Mersenne son W ₂ = M ₃ = 7 y W ₅₁₂ = M ₅₂₁ .

Propiedades de divisibilidad

Al igual que los números de Cullen, los números de Woodall tienen muchas propiedades de divisibilidad. Por ejemplo, si p es un número primo, entonces p divide

W _{( p  + 1) / 2} si el símbolo de Jacobi es +1 y ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$

W _{(3 p  − 1) / 2} si el símbolo de Jacobi es −1. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$

Generalización

Un número de Woodall generalizado en base b se define como un número de la forma n × b ⁿ  − 1, donde n  + 2 >  b ; Si un primo se puede escribir de esta forma, se llama primo de Woodall generalizado .

El valor más pequeño de n tal que n × b ⁿ − 1 es primo para b = 1, 2, 3, ... son ^[6]

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (secuencia A240235 en el OEIS )

En noviembre de 2021 ^[actualizar], el primo de Woodall generalizado más grande conocido con base mayor que 2 es 2740879 × 32 ^2740879  − 1. ^[7]

Ver también

• Primo de Mersenne - Números primos de la forma 2 ⁿ  − 1.

Referencias

1. Cunningham, AJC ; Woodall, HJ (1917), "Factorización de y ", Messenger of Mathematics , 47 : 1–38 ${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)}$ ${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}$.
2. Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Barrio, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 104. Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 94.ISBN​ 0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.
3. Keller, Wilfrid (enero de 1995). "Nuevos números primos de Cullen". Matemáticas de la Computación . 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN  0025-5718. Keller, Wilfrid (diciembre de 2013). "Wilfrid Keller". www.fermatsearch.org . Hamburgo. Archivado desde el original el 28 de febrero de 2020 . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
4. "The Prime Database: 8508301*2^17016603-1", La base de datos de números primos más grande conocida de Chris Caldwell , consultado el 24 de marzo de 2018
5. PrimeGrid , Anuncio de 17016602*2^17016602 - 1 (PDF) , consultado el 1 de abril de 2018
6. Lista de números primos de Woodall generalizados de base 3 a 10000
7. "Los veinte primeros: Woodall generalizado". primes.utm.edu . Consultado el 20 de noviembre de 2021 .

Otras lecturas

• Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números (3.ª ed.), Nueva York: Springer Verlag , págs. Sección B20, ISBN 0-387-20860-7.
• Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF) , Matemáticas de la Computación , 64 (212): 1733–1741, doi : 10.2307/2153382 , JSTOR  2153382.
• Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Woodall Primes", The Prime Pages , consultado el 29 de diciembre de 2007.

enlaces externos

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: ​​número de Woodall y The Top Twenty: Woodall y The Top Twenty: Generalized Woodall, en The Prime Pages .
• Weisstein, Eric W. "Número de Woodall". MundoMatemático .
• Steven Harvey, Lista de números primos de Woodall generalizados.
• Paul Leyland, Números generalizados de Cullen y Woodall