Tiempo de golpeo

Aspecto de los procesos estocásticos

En el estudio de los procesos estocásticos en matemáticas , un tiempo de impacto (o tiempo de primer impacto ) es el primer momento en el que un proceso determinado "impacta" un subconjunto determinado del espacio de estados . Los tiempos de salida y de retorno también son ejemplos de tiempos de impacto.

Definiciones

Sea T un conjunto de índices ordenados como los números naturales , los números reales no negativos [0, +∞) o ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ un subconjunto de estos; los elementos pueden considerarse como "tiempos". Dado un espacio de probabilidad ( Ω, Σ, Pr) y un espacio de estados medible S , sea un proceso estocástico y sea A un subconjunto medible del espacio de estados S . Entonces, el tiempo del primer impacto es la variable aleatoria definida por ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$ ${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.}$

El primer tiempo de salida (desde A ) se define como el primer tiempo de impacto para S \ A , el complemento de A en S . Confusamente, esto también se denota a menudo por τ _A . ^[1]

El primer tiempo de retorno se define como el primer tiempo de llegada para el conjunto singleton { X ₀ ( ω )}, que suele ser un elemento determinista dado del espacio de estados, como el origen del sistema de coordenadas.

Ejemplos

• Todo tiempo de parada es un tiempo de impacto para un proceso y un conjunto de objetivos elegidos adecuadamente. Esto se desprende del inverso del teorema de Début (Fischer, 2013).
• Sea B el movimiento browniano estándar en la línea real ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que comienza en el origen. Entonces, el tiempo de impacto τ _A satisface los requisitos de mensurabilidad para ser un tiempo de detención para cada conjunto medible de Borel ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$
• Para B como arriba, sea τ _r ( r > 0 ) el primer tiempo de salida para el intervalo (− r , r ) , es decir, el primer tiempo de impacto para Entonces el valor esperado y la varianza de τ _r satisfacen ${\displaystyle (-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• Para B como arriba, el tiempo de alcanzar un solo punto (distinto del punto de partida 0) tiene la distribución de Lévy .

Teorema de debut

El tiempo de impacto de un conjunto F también se conoce como el comienzo de F. El teorema del comienzo dice que el tiempo de impacto de un conjunto medible F , para un proceso progresivamente medible con respecto a una filtración continua y completa hacia la derecha, es un tiempo de parada. Los procesos progresivamente mesurables incluyen, en particular, todos los procesos adaptados continuos hacia la derecha y hacia la izquierda . La prueba de que el comienzo es medible es bastante compleja e involucra propiedades de los conjuntos analíticos . El teorema requiere que el espacio de probabilidad subyacente sea completo o, al menos, universalmente completo.

El inverso del teorema de Début establece que cada tiempo de parada definido con respecto a una filtración sobre un índice de tiempo de valor real puede representarse mediante un tiempo de impacto. En particular, para prácticamente cualquier tiempo de parada de este tipo existe un proceso adaptado, no creciente, con trayectorias càdlàg (RCLL) que toma los valores 0 y 1 solamente, de modo que el tiempo de impacto del conjunto {0} por este proceso es el tiempo de parada considerado. La prueba es muy sencilla. ^[2]

Véase también

• Detener el tiempo

Referencias

1. Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.
2. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Statistics and Probability Letters . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.