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Cifras significativas

Las cifras significativas , también conocidas como dígitos significativos o cifras significativas , son dígitos específicos dentro de un número escrito en notación posicional que conllevan confiabilidad y necesidad para transmitir una cantidad particular. Al presentar el resultado de una medición (como longitud, presión, volumen o masa), si la cantidad de dígitos excede lo que el instrumento de medición puede resolver, solo la cantidad de dígitos dentro de la capacidad de resolución es confiable y, por lo tanto, se considera significativa.

Por ejemplo, si una medida de longitud da como resultado 114,8 mm, utilizando una regla con el intervalo más pequeño entre marcas en 1 mm, los tres primeros dígitos (1, 1 y 4, que representan 114 mm) son ciertos y constituyen cifras significativas. Además, los dígitos que son inciertos pero significativos también se incluyen en las cifras significativas. En este ejemplo, el último dígito (8, que contribuye con 0,8 mm) también se considera significativo a pesar de su incertidumbre. [1] Por lo tanto, esta medida contiene cuatro cifras significativas.

Otro ejemplo implica una medición de volumen de 2,98 L con una incertidumbre de ± 0,05 L. El volumen real se encuentra entre 2,93 L y 3,03 L. Incluso si ciertos dígitos no se conocen completamente, siguen siendo significativos si lo son, ya que indican el volumen real dentro de un rango aceptable de incertidumbre. En este caso, el volumen real podría ser 2,94 L o posiblemente 3,02 L, por lo que los tres dígitos se consideran significativos. [1] Por lo tanto, hay tres cifras significativas en este ejemplo.

Los siguientes tipos de dígitos no se consideran significativos: [2]

Un cero después de un decimal (por ejemplo, 1,0) es significativo y se debe tener cuidado al agregar un decimal de cero. Por lo tanto, en el caso de 1,0, hay dos cifras significativas, mientras que 1 (sin decimal) tiene una cifra significativa.

Entre los dígitos significativos de un número, el dígito más significativo es el que tiene el valor de exponente más alto (el dígito/cifra significativo más a la izquierda), mientras que el dígito menos significativo es el que tiene el valor de exponente más bajo (el dígito/cifra significativo más a la derecha). Por ejemplo, en el número "123", el "1" es el dígito más significativo, que representa las centenas (10 2 ), mientras que el "3" es el dígito menos significativo, que representa las unidades (10 0 ).

Para evitar transmitir un nivel de precisión engañoso, los números suelen redondearse . Por ejemplo, se generaría una precisión falsa si se presentara una medida como 12,34525 kg cuando el instrumento de medición solo proporciona una precisión del gramo más cercano (0,001 kg). En este caso, las cifras significativas son los primeros cinco dígitos (1, 2, 3, 4 y 5) a partir del dígito más a la izquierda, y el número debe redondearse a estas cifras significativas, lo que da como resultado 12,345 kg como el valor exacto. El error de redondeo (en este ejemplo, 0,00025 kg = 0,25 g) se aproxima a la resolución numérica o precisión. Los números también se pueden redondear para simplificar, no necesariamente para indicar la precisión de la medición, como por razones de conveniencia en las transmisiones de noticias.

La aritmética de la significación abarca un conjunto de reglas aproximadas para preservar la significación a través de los cálculos. Las reglas científicas más avanzadas se conocen como propagación de la incertidumbre .

A continuación se supone que se utiliza base 10 (números decimales). (Véase unidad en el último lugar para ampliar estos conceptos a otras bases ) .

Identificación de cifras significativas

Reglas para identificar cifras significativas en un número

Los dígitos en azul claro son cifras significativas; los de color negro, no.

Para identificar las cifras significativas de un número es necesario saber qué dígitos son significativos, lo que requiere conocer la resolución con la que se mide, obtiene o procesa el número. Por ejemplo, si la masa mínima medible es 0,001 g, entonces en una medición dada como 0,00234 g el "4" no es útil y debe descartarse, mientras que el "3" sí lo es y a menudo debe conservarse. [3]

Formas de denotar cifras significativas en un número entero con ceros finales

El significado de los ceros finales en un número que no contiene un punto decimal puede ser ambiguo. Por ejemplo, puede que no siempre esté claro si el número 1300 es preciso hasta la unidad más cercana (casualmente resulta ser un múltiplo exacto de cien) o si solo se muestra hasta las centenas más cercanas debido al redondeo o a la incertidumbre. Existen muchas convenciones para abordar esta cuestión. Sin embargo, no se utilizan universalmente y solo serían efectivas si el lector está familiarizado con la convención:

  • Con menos frecuencia, utilizando una convención estrechamente relacionada, se puede subrayar la última cifra significativa de un número ; por ejemplo, "1 3 00" tiene dos cifras significativas.
  • Se puede colocar un punto decimal después del número; por ejemplo, "1300." indica específicamente que los ceros finales deben ser significativos. [7]

Como las convenciones anteriores no son de uso general, existen las siguientes opciones más ampliamente reconocidas para indicar el significado de un número con ceros finales:

  • Elimine los ceros ambiguos o no significativos cambiando el prefijo de la unidad en un número con una unidad de medida . Por ejemplo, la precisión de la medida especificada como 1300 g es ambigua, mientras que si se indica como 1,30 kg no lo es. Del mismo modo, 0,0123 L se puede reescribir como 12,3 mL.
  • Elimine los ceros ambiguos o no significativos mediante el uso de la notación científica: por ejemplo, 1300 con tres cifras significativas se convierte en1,30 × 10 3 . Asimismo, 0,0123 se puede reescribir como1,23 × 10 −2 . La parte de la representación que contiene las cifras significativas (1,30 o 1,23) se conoce como mantisa o significando . Los dígitos de la base y el exponente (10 3 o10 −2 ) se consideran números exactos, por lo que para estos dígitos, las cifras significativas son irrelevantes.
  • Indique explícitamente el número de cifras significativas (a veces se utiliza la abreviatura sf): por ejemplo, "20 000 a 2 sf" o "20 000 (2 sf)".
  • Indique la variabilidad esperada (precisión) explícitamente con un signo más-menos , como 20 000 ± 1 %. Esto también permite especificar un rango de precisión entre potencias de diez.

Redondeo a cifras significativas

El redondeo a cifras significativas es una técnica más general que el redondeo a n dígitos, ya que maneja números de diferentes escalas de manera uniforme. Por ejemplo, la población de una ciudad podría conocerse solo al millar más cercano y expresarse como 52 000, mientras que la población de un país podría conocerse solo al millón más cercano y expresarse como 52 000 000. El primero podría tener un error de cientos y el segundo podría tener un error de cientos de miles, pero ambos tienen dos cifras significativas (5 y 2). Esto refleja el hecho de que la importancia del error es la misma en ambos casos, en relación con el tamaño de la cantidad que se mide.

Para redondear un número a n cifras significativas: [8] [9]

  1. Si el dígito n + 1 es mayor que 5 o si 5 va seguido de otros dígitos distintos de cero, se suma 1 al dígito n . Por ejemplo, si queremos redondear 1,2459 a 3 cifras significativas, este paso da como resultado 1,25.
  2. Si el dígito n + 1 es 5 y no va seguido de otros dígitos o solo de ceros, entonces el redondeo requiere una regla de desempate . Por ejemplo, para redondear 1,25 a 2 cifras significativas:
    • Redondear la mitad a partir de cero (también conocido como "5/4") [ cita requerida ] redondea hacia arriba hasta 1,3. Este es el método de redondeo predeterminado implícito en muchas disciplinas [ cita requerida ] si no se especifica el método de redondeo requerido.
    • Redondear la mitad al número par , que redondea al número par más próximo. Con este método, 1,25 se redondea hacia abajo a 1,2. Si este método se aplica a 1,35, se redondea hacia arriba a 1,4. Este es el método preferido por muchas disciplinas científicas porque, por ejemplo, evita sesgar hacia arriba el valor promedio de una larga lista de valores.
  3. Para un número entero en redondeo, reemplace los dígitos después del dígito n con ceros. Por ejemplo, si 1254 se redondea a 2 cifras significativas, entonces 5 y 4 se reemplazan por 0 para que sea 1300. Para un número con el punto decimal en redondeo, elimine los dígitos después del dígito n . Por ejemplo, si 14.895 se redondea a 3 cifras significativas, entonces se eliminan los dígitos después del 8 para que sea 14.9.

En los cálculos financieros, un número suele redondearse a una cantidad determinada de cifras. Por ejemplo, a dos cifras después del separador decimal de muchas monedas del mundo. Esto se hace porque una mayor precisión es irrelevante y, por lo general, no es posible saldar una deuda de una cantidad inferior a la unidad monetaria más pequeña.

En las declaraciones de impuestos personales del Reino Unido, los ingresos se redondean a la libra más cercana, mientras que los impuestos pagados se calculan al centavo más cercano.

A modo de ejemplo, la cantidad decimal 12,345 se puede expresar con varias cifras significativas o decimales. Si no se dispone de suficiente precisión, el número se redondea de alguna manera para ajustarse a la precisión disponible. La siguiente tabla muestra los resultados para distintas precisiones totales con dos métodos de redondeo (N/A significa No aplicable).

Otro ejemplo para 0,012345 . (Recuerde que los ceros iniciales no son significativos).

La representación de un número x distinto de cero con una precisión de p dígitos significativos tiene un valor numérico que viene dado por la fórmula: [ cita requerida ]

dónde

que puede ser necesario escribir con una marca específica como se detalla anteriormente para especificar el número de ceros finales significativos.

Escritura de incertidumbre e incertidumbre implícita

Cifras significativas en la escritura de incertidumbre

Se recomienda que el resultado de una medición incluya la incertidumbre de la medición, como , donde x mejor y σ x son la mejor estimación y la incertidumbre de la medición respectivamente. [10] x mejor puede ser el promedio de los valores medidos y σ x puede ser la desviación estándar o un múltiplo de la desviación de la medición. Las reglas para escribir son: [11]

Incertidumbre implícita

La incertidumbre puede estar implícita en la última cifra significativa si no se expresa explícitamente. [1] La incertidumbre implícita es ± la mitad de la escala mínima en la última posición de la cifra significativa. Por ejemplo, si la masa de un objeto se informa como 3,78 kg sin mencionar la incertidumbre, entonces puede estar implícita una incertidumbre de medición de ± 0,005 kg. Si la masa de un objeto se estima en 3,78 ± 0,07 kg, por lo que la masa real probablemente esté en algún lugar en el rango de 3,71 a 3,85 kg, y se desea informarla con un solo número, entonces 3,8 kg es el mejor número para informar ya que su incertidumbre implícita ± 0,05 kg da un rango de masa de 3,75 a 3,85 kg, que está cerca del rango de medición. Si la incertidumbre es un poco mayor, es decir, 3,78 ± 0,09 kg, entonces 3,8 kg sigue siendo el mejor número para citar, ya que si se informara "4 kg", se perdería mucha información.

Si es necesario escribir la incertidumbre implícita de un número, se puede escribir como incertidumbre implícita (para evitar que los lectores la reconozcan como incertidumbre de medición), donde x y σ x son el número con un dígito cero adicional (para seguir las reglas de escritura de incertidumbre anteriores) y la incertidumbre implícita del mismo, respectivamente. Por ejemplo, 6 kg con una incertidumbre implícita de ± 0,5 kg se puede expresar como 6,0 ± 0,5 kg.

Aritmética

Así como existen reglas para determinar las cifras significativas en cantidades medidas directamente , también existen pautas (no reglas) para determinar las cifras significativas en cantidades calculadas a partir de estas cantidades medidas .

Las cifras significativas en magnitudes medidas son de suma importancia para determinar las cifras significativas en magnitudes calculadas con ellas. Una constante matemática o física (p. ej., π en la fórmula para el área de un círculo con radio r como π r 2 ) no tiene efecto en la determinación de las cifras significativas en el resultado de un cálculo con ella si sus dígitos conocidos son iguales o mayores que las cifras significativas en las magnitudes medidas utilizadas en el cálculo. Un número exacto como ½ en la fórmula para la energía cinética de una masa m con velocidad v como ½ mv 2 no tiene relación con las cifras significativas en la energía cinética calculada ya que su número de cifras significativas es infinito (0,500000...).

Las directrices que se describen a continuación tienen por objeto evitar que el resultado del cálculo sea más preciso que las cantidades medidas, pero no garantizan que la incertidumbre implícita resultante sea lo suficientemente cercana a las incertidumbres medidas. Este problema se puede observar en la conversión de unidades. Si las directrices dan la incertidumbre implícita demasiado alejada de las medidas, puede ser necesario decidir dígitos significativos que den una incertidumbre comparable.

Multiplicación y división

Para las cantidades creadas a partir de cantidades medidas mediante multiplicación y división , el resultado calculado debe tener tantas cifras significativas como el menor número de cifras significativas entre las cantidades medidas utilizadas en el cálculo. [12] Por ejemplo,

  • 1,234 × 2 = 2 ,468 ≈ 2
  • 1,234 × 2,0 = 2,4 68 ≈ 2,5
  • 0,01234 × 2 = 0,0 2 468 ≈ 0,02

con una , dos y una cifras significativas respectivamente. (Aquí se supone que 2 no es un número exacto). Para el primer ejemplo, el primer factor de multiplicación tiene cuatro cifras significativas y el segundo tiene una cifra significativa. El factor con menos cifras significativas es el segundo con solo una, por lo que el resultado calculado final también debe tener una cifra significativa.

Excepción

Para la conversión de unidades, la incertidumbre implícita del resultado puede ser insatisfactoriamente más alta que la de la unidad anterior si se sigue esta directriz de redondeo; por ejemplo, 8 pulgadas tiene una incertidumbre implícita de ± 0,5 pulgadas = ± 1,27 cm. Si se convierte a la escala de centímetros y se sigue la directriz de redondeo para la multiplicación y la división, entonces 2 0,32 cm ≈ 20 cm con una incertidumbre implícita de ± 5 cm. Si se considera que esta incertidumbre implícita es demasiado sobreestimada, entonces los dígitos significativos más adecuados en el resultado de la conversión de unidades pueden ser 2 0 ,32 cm ≈ 20. cm con una incertidumbre implícita de ± 0,5 cm.

Otra excepción a la aplicación de la directriz de redondeo anterior es multiplicar un número por un entero, como 1,234 × 9. Si se sigue la directriz anterior, el resultado se redondea a 1,234 × 9,000... = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Sin embargo, esta multiplicación consiste esencialmente en sumar 1,234 a sí mismo 9 veces, como 1,234 + 1,234 + … + 1,234, por lo que la directriz de redondeo para la suma y la resta que se describe a continuación es un enfoque de redondeo más adecuado. [13] Como resultado, la respuesta final es 1,234 + 1,234 + … + 1,234 = 11,10 6 = 11,106 (un aumento de un dígito significativo).

Suma y resta de cifras significativas

Para las cantidades creadas a partir de cantidades medidas mediante suma y resta , la última posición de la cifra significativa (por ejemplo, centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc.) en el resultado calculado debe ser la misma que la posición del dígito más a la izquierda o más grande entre las últimas cifras significativas de las cantidades medidas en el cálculo. Por ejemplo,

  • 1,234 + 2 = 3 .234 ≈ 3
  • 1,234 + 2,0 = 3,234 ≈ 3,2
  • 0,01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2
  • 12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12000

con las últimas cifras significativas en el lugar de las unidades , las décimas , las unidades y los millares respectivamente. (Aquí se supone que 2 no es un número exacto). Para el primer ejemplo, el primer término tiene su última cifra significativa en el lugar de las milésimas y el segundo término tiene su última cifra significativa en el lugar de las unidades . La posición del dígito más a la izquierda o más grande entre las últimas cifras significativas de estos términos es el lugar de las unidades, por lo que el resultado calculado también debe tener su última cifra significativa en el lugar de las unidades.

La regla para calcular cifras significativas para la multiplicación y la división no es la misma que la regla para la suma y la resta. Para la multiplicación y la división, solo importa el número total de cifras significativas en cada uno de los factores del cálculo; la posición del dígito de la última cifra significativa en cada factor es irrelevante. Para la suma y la resta, solo importa la posición del dígito de la última cifra significativa en cada uno de los términos del cálculo; el número total de cifras significativas en cada término es irrelevante. [ cita requerida ] Sin embargo, a menudo se obtendrá una mayor precisión si se mantienen algunos dígitos no significativos en los resultados intermedios que se utilizan en los cálculos posteriores. [ cita requerida ]

Logaritmo y antilogaritmo

El logaritmo en base 10 de un número normalizado (es decir, a × 10 b con 1 ≤ a < 10 y b como un entero), se redondea de modo que su parte decimal (llamada mantisa ) tenga tantas cifras significativas como las cifras significativas del número normalizado.

Al tomar el antilogaritmo de un número normalizado, el resultado se redondea para tener tantas cifras significativas como cifras significativas haya en la parte decimal del número al que se va a hacer el antilogaritmo.

Funciones trascendentales

Si una función trascendental (por ejemplo, la función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas ) es diferenciable en su elemento de dominio 'x', entonces su número de cifras significativas (denotadas como "cifras significativas de ") está aproximadamente relacionado con el número de cifras significativas en x (denotadas como "cifras significativas de x ") por la fórmula

,

¿Dónde está el número de condición ?

Redondear solo sobre el resultado del cálculo final

Al realizar cálculos en varias etapas, no redondee los resultados de los cálculos de la etapa intermedia; mantenga tantos dígitos como sea posible (al menos un dígito más de lo que permite la regla de redondeo por etapa) hasta el final de todos los cálculos para evitar errores de redondeo acumulativos al rastrear o registrar las cifras significativas en cada resultado intermedio. Luego, redondee el resultado final, por ejemplo, al menor número de cifras significativas (para multiplicación o división) o al último dígito significativo más a la izquierda (para suma o resta) entre las entradas en el cálculo final. [14]

Estimando un dígito extra

Al utilizar una regla, utilice inicialmente la marca más pequeña como el primer dígito estimado. Por ejemplo, si la marca más pequeña de una regla es 0,1 cm y se lee 4,5 cm, entonces es 4,5 (±0,1 cm) o 4,4 cm a 4,6 cm como el intervalo de marca más pequeño. Sin embargo, en la práctica, una medición generalmente se puede estimar a simple vista con una precisión menor que el intervalo entre la marca más pequeña de la regla, por ejemplo, en el caso anterior podría estimarse entre 4,51 cm y 4,53 cm. [15]

También es posible que la longitud total de una regla no sea precisa en el grado de la marca más pequeña, y que las marcas estén espaciadas de manera imperfecta dentro de cada unidad. Sin embargo, suponiendo que se trate de una regla de buena calidad, debería ser posible estimar décimas entre las dos marcas más cercanas para lograr un decimal adicional de precisión. [16] Si no se hace esto, el error en la lectura de la regla se suma a cualquier error en la calibración de la misma.

Estimación en estadística

Al estimar la proporción de individuos que portan alguna característica particular en una población, a partir de una muestra aleatoria de esa población, el número de cifras significativas no debe exceder la precisión máxima permitida por ese tamaño de muestra.

Relación con la exactitud y precisión en la medición

Tradicionalmente, en diversos campos técnicos, la "exactitud" se refiere a la proximidad de una medida dada a su valor verdadero; la "precisión" se refiere a la estabilidad de esa medida cuando se repite muchas veces. Por lo tanto, es posible estar "precisamente equivocado". Con la esperanza de reflejar la forma en que el término "exactitud" se utiliza realmente en la comunidad científica, existe una norma reciente, ISO 5725, que mantiene la misma definición de precisión pero define el término "veracidad" como la proximidad de una medida dada a su valor verdadero y utiliza el término "exactitud" como la combinación de veracidad y precisión. (Véase el artículo sobre exactitud y precisión para una discusión completa.) En cualquier caso, el número de cifras significativas corresponde aproximadamente a la precisión , no a la exactitud o al concepto más nuevo de veracidad.

En informática

Las representaciones informáticas de números de punto flotante utilizan una forma de redondeo a cifras significativas (aunque normalmente no se lleva un registro de cuántas), en general con números binarios . El número de cifras significativas correctas está estrechamente relacionado con la noción de error relativo (que tiene la ventaja de ser una medida más precisa de precisión y es independiente del radix , también conocido como base, del sistema numérico utilizado).

Las calculadoras electrónicas que admiten un modo de visualización de cifras significativas específico son relativamente raras.

Entre las calculadoras que admiten funciones relacionadas se encuentran la Commodore M55 Mathematician (1976) [17] y la S61 Statistician (1976), [18] que admiten dos modos de visualización, donde + DISPdará nn dígitos significativos en total, mientras que + dará n decimales.DISP.n

Las familias de calculadoras gráficas TI-83 Plus (1999) y TI-84 Plus (2004) de Texas Instruments admiten un modo de calculadora Sig-Fig en el que la calculadora evaluará el recuento de dígitos significativos de los números ingresados ​​y los mostrará entre corchetes detrás del número correspondiente. Los resultados de los cálculos se ajustarán para mostrar también solo los dígitos significativos. [19]

Para las calculadoras desarrolladas por la comunidad WP 34S (2011) y WP 31S (2014) basadas en HP 20b / 30b, los modos de visualización de cifras significativas + y + (con relleno de ceros) están disponibles como una opción de tiempo de compilación . [20] [21] Las calculadoras desarrolladas por la comunidad SwissMicros DM42 WP 43C (2019) [22]  / C43 (2022) / C47 (2023) también admiten un modo de visualización de cifras significativas.SIGnSIG0n

Véase también

Referencias

  1. ^ abc Lower, Stephen (31 de marzo de 2021). "Cifras significativas y redondeo". Química - LibreTexts .
  2. ^ Química en la comunidad ; Kendall-Hunt:Dubuque, IA 1988
  3. ^ Dar una definición precisa del número de dígitos significativos correctos no es una cuestión sencilla: véase Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (PDF) (2.ª ed.). SIAM. pp. 3–5.
  4. ^ "archivo de validación de y-cruncher"
  5. ^ "¿Cuántos decimales de Pi necesitamos realmente? - Edu News". NASA/JPL Edu . Consultado el 25 de octubre de 2021 .
  6. ^ "Resoluciones de la 26ª CGPM" (PDF) . BIPM . 2018-11-16. Archivado desde el original (PDF) el 2018-11-19 . Consultado el 2018-11-20 .
  7. ^ Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B.; Tocci, Salvatore (2000). Química . Austin, Texas: Holt Rinehart Winston. pág. 59. ISBN 0-03-052002-9.
  8. ^ Engelbrecht, Nancy; et al. (1990). "Redondeo de números decimales a una precisión designada" (PDF) . Washington, DC: Departamento de Educación de los Estados Unidos.
  9. ^ Matemáticas numéricas y computación, por Cheney y Kincaid.
  10. ^ Luna, Eduardo. "Incertidumbres y cifras significativas" (PDF) . DeAnza College .
  11. ^ "Cifras significativas". Universidad de Purdue - Departamento de Física y Astronomía .
  12. ^ "Reglas de cifras significativas". Universidad Estatal de Pensilvania.
  13. ^ "Incertidumbre en la medición: cifras significativas". Química - LibreTexts . 2017-06-16.
  14. ^ de Oliveira Sannibale, Virgínio (2001). "Medidas y cifras significativas (borrador)" (PDF) . Freshman Physics Laboratory . Instituto Tecnológico de California, División de Física, Matemáticas y Astronomía. Archivado desde el original (PDF) el 18 de junio de 2013.
  15. ^ "Medidas". slc.umd.umich.edu . Universidad de Michigan. Archivado desde el original el 2017-07-09 . Consultado el 2017-07-03 . Como regla general, debe intentar leer cualquier escala hasta una décima parte de su división más pequeña mediante interpolación visual [ejemplo omitido].
  16. ^ Pruebas eléctricas experimentales. Newark, NJ: Weston Electrical Instruments Co. 1914. p. 9. Consultado el 14 de enero de 2019. Pruebas eléctricas experimentales .
  17. ^ Manual del propietario del Commodore M55 Mathematician (PDF) . Palo Alto, California, EE. UU. / Luton, Reino Unido: Commodore Business Machines Inc. / Mitchells Printers (Luton) Limited. 201318-01. Archivado (PDF) desde el original el 2023-09-30 . Consultado el 2023-09-30 .(1+151+1 páginas)
  18. ^ Manual del propietario del estadístico Commodore S61. Palo Alto, California, EE. UU.: Commodore Business Machines Inc. Archivado desde el original el 2023-09-30 . Consultado el 2023-09-30 .(2+114 páginas)
  19. ^ "Solución 30190: Cómo usar la calculadora de números significativos de la aplicación Science Tools en las calculadoras gráficas de la familia TI-83 Plus y TI-84 Plus". Base de conocimiento . Texas Instruments . 2023. Archivado desde el original el 2023-09-16 . Consultado el 2023-09-30 .
  20. ^ Bit (15 de noviembre de 2014). "Parches y binarios personalizados para WP 34S y 31S de Bit (versión: r3802 20150805-1)". MoHPC - El museo de las calculadoras HP . Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2023. Consultado el 24 de septiembre de 2023 .
  21. ^ Bit (7 de febrero de 2015). «[34S y 31S] Modo de visualización único: cifras significativas». MoHPC: el museo de las calculadoras HP . Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2023. Consultado el 24 de septiembre de 2023 .
  22. ^ Mostert, Jaco "Jaymos" (11 de febrero de 2020). "Cambios del WP43S al WP43C" (PDF) . v047. Archivado (PDF) del original el 1 de octubre de 2023. Consultado el 1 de octubre de 2023 .(30 páginas)

Lectura adicional

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