teorema de bloch

Teorema fundamental en física de la materia condensada.

Isosuperficie del módulo cuadrado de un estado de Bloch en una red de silicio

Línea continua: un esquema de la parte real de un estado típico de Bloch en una dimensión. La línea de puntos proviene del factor e ^{i k · r} . Los círculos claros representan átomos.

En física de la materia condensada , el teorema de Bloch establece que las soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico pueden expresarse como ondas planas moduladas por funciones periódicas . El teorema lleva el nombre del físico suizo Felix Bloch , quien descubrió el teorema en 1929. ^[1] Matemáticamente, están escritos ^[2]

función de bloqueo

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

donde es la posición, es la función de onda , es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, el vector de onda es el vector de momento del cristal , es el número de Euler y es la unidad imaginaria . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i}$

Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de los electrones en sólidos cristalinos .

La descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominadas electrones de Bloch (o menos frecuentemente ondas de Bloch ), subyace al concepto de estructuras de bandas electrónicas .

Estos estados propios se escriben con subíndices como , donde hay un índice discreto, llamado índice de banda , que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismo (cada una tiene un componente periódico diferente ). Dentro de una banda (es decir, para fijo ), varía continuamente con , al igual que su energía. Además, es único sólo hasta un vector reticular recíproco constante , o ,. Por lo tanto, el vector de onda puede restringirse a la primera zona de Brillouin de la red recíproca sin pérdida de generalidad . ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Aplicaciones y consecuencias

Aplicabilidad

El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de los electrones en un cristal, especialmente al caracterizar las propiedades electrónicas del cristal, como la estructura de bandas electrónicas. Sin embargo, una descripción de onda de Bloch se aplica de manera más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en el electromagnetismo conduce a cristales fotónicos , y un medio acústico periódico conduce a cristales fonónicos . Generalmente se trata en las diversas formas de la teoría dinámica de la difracción .

Vector de onda

Una función de onda de Bloch (abajo) se puede dividir en el producto de una función periódica (arriba) y una onda plana (centro). El lado izquierdo y el lado derecho representan el mismo estado de Bloch dividido de dos maneras diferentes, involucrando el vector de onda k ₁ (izquierda) o k ₂ (derecha). La diferencia ( k ₁ − k ₂ ) es un vector reticular recíproco . En todas las tramas, el azul es la parte real y el rojo es la parte imaginaria.

Supongamos que un electrón está en estado de Bloch.

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$

ukuku noktambién( k + K )Kvector reticular recíproco ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de k con la propiedad de que no hay dos de ellos equivalentes, sin embargo, cada k posible es equivalente a un (y sólo uno) vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos k a la primera zona de Brillouin, entonces cada estado de Bloch tiene un k único . Por lo tanto, la primera zona de Brillouin se utiliza a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo en una estructura de bandas, y se utiliza por la misma razón en muchos cálculos.

Cuando k se multiplica por la constante de Planck reducida , es igual al momento cristalino del electrón . En relación con esto, la velocidad de grupo de un electrón se puede calcular en función de cómo varía la energía de un estado de Bloch con k ; para obtener más detalles, consulte impulso de cristal.

Ejemplo detallado

Para ver un ejemplo detallado en el que se resuelven las consecuencias del teorema de Bloch en una situación específica, consulte el artículo Partícula en una red unidimensional (potencial periódico) .

Declaración

Teorema de Bloch  :  para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las dos propiedades siguientes:

• cada una de estas funciones de onda es un estado propio de energía,
• cada una de estas funciones de onda es un estado de Bloch, lo que significa que esta función de onda se puede escribir en la forma ${\displaystyle \psi }$
  $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$
  donde u ( r ) tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal, tal que
  $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).}$$

Una segunda forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente ^[3]

Teorema de Bloch  :  para cualquier función de onda que satisfaga la ecuación de Schrödinger y para una traslación de un vector reticular , existe al menos un vector tal que: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).}$$

Prueba

Usando la periodicidad de la red

Siendo el teorema de Bloch una afirmación sobre la periodicidad de la red, en esta prueba todas las simetrías están codificadas como simetrías de traducción de la propia función de onda.

Prueba utilizando la periodicidad de la red

Fuente: ^[4]

Preliminares: simetrías cristalinas, red y red recíproca

La propiedad definitoria de un cristal es la simetría traslacional, lo que significa que si el cristal se desplaza una cantidad adecuada, termina con todos sus átomos en los mismos lugares. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría de traslación perfecta, pero es una aproximación útil).

Un cristal tridimensional tiene tres vectores reticulares primitivos a ₁ , a ₂ , a ₃ . Si el cristal es desplazado por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma

$${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},}$$

donde n _i son tres números enteros, entonces los átomos terminan en el mismo conjunto de ubicaciones en las que comenzaron.

Otro ingrediente útil en la demostración son los vectores reticulares recíprocos . Estos son tres vectores b ₁ , b ₂ , b ₃ (con unidades de longitud inversa), con la propiedad de que a _i · b _i = 2 π , pero a _i · b _j = 0 cuando i ≠ j . (Para conocer la fórmula de b _i , consulte vector de red recíproco ).

Lema sobre operadores de traducción

Denotemos un operador de traducción que desplaza cada función de onda en la cantidad n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ (como arriba, n _j son números enteros). El siguiente hecho es útil para demostrar el teorema de Bloch: ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$

Lema  :  si una función de onda ψ es un estado propio de todos los operadores de traducción (simultáneamente), entonces ψ es un estado de Bloch.

Prueba de lema

Supongamos que tenemos una función de onda ψ que es un estado propio de todos los operadores de traducción. Como caso especial de esto,

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )}$$

para j = 1, 2, 3 , donde C _j son tres números (los valores propios ) que no dependen de r . Es útil escribir los números C _j en una forma diferente, eligiendo tres números θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ con e ^{2 πiθ _j} = C _j :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )}$$

Nuevamente, los θ _j son tres números que no dependen de r . Defina k = θ ₁ b ₁ + θ ₂ b ₂ + θ ₃ b ₃ , donde b _j son los vectores reticulares recíprocos (ver arriba). Finalmente, define

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Esto prueba que u tiene la periodicidad de la red. Esto demuestra que el Estado es un Estado Bloch. ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$

Finalmente, estamos listos para la demostración principal del teorema de Bloch, que es la siguiente.

Como arriba, denotemos un operador de traducción que desplaza cada función de onda en la cantidad n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ , donde n _i son números enteros. Debido a que el cristal tiene simetría traslacional, este operador conmuta con el operador hamiltoniano . Además, cada uno de estos operadores de traducción conmuta entre sí. Por lo tanto, existe una base propia simultánea del operador hamiltoniano y de todos los operadores posibles. Esta base es la que estamos buscando. Las funciones de onda en esta base son estados propios de energía (porque son estados propios del hamiltoniano) y también son estados de Bloch (porque son estados propios de los operadores de traducción; consulte el lema anterior). ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$

Usando operadores

En esta prueba todas las simetrías están codificadas como propiedades de conmutación de los operadores de traducción.

Prueba usando operadores

Fuente: ^[5]

Definimos el operador de traducción.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}}$$

con

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$

Usamos la hipótesis de un potencial periódico medio.

$${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$

y la aproximación del electrón independiente con un hamiltoniano

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$

Dado que el hamiltoniano es invariante para las traducciones, conmutará con el operador de traducción.

$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$

y los dos operadores tendrán un conjunto común de funciones propias. Por lo tanto, comenzamos a observar las funciones propias del operador de traducción:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$

Dado es un operador aditivo ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$

Si sustituimos aquí la ecuación de valores propios y dividimos ambos lados por tenemos ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

Esto es cierto para

$${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$

donde si usamos la condición de normalización sobre una sola celda primitiva de volumen V ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$

y por lo tanto

$${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$

y

$${\displaystyle s=ik}$$

dónde . Finalmente, ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$

lo cual es cierto para una onda de Bloch, es decir, para con ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

Usando la teoría de grupos

Aparte de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta demostración es interesante porque queda claro cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son sólo traducciones. Esto generalmente se hace para grupos espaciales que son una combinación de una traslación y un grupo de puntos y se usa para calcular la estructura de banda, el espectro y los calores específicos de los cristales dada una simetría de grupo de cristales específica como FCC o BCC y, eventualmente, una base adicional . ^{[6] : 365–367  [7]} En esta prueba también es posible observar cómo es clave que el grupo de puntos extra esté impulsado por una simetría en el potencial efectivo, pero conmutará con el hamiltoniano.

Prueba con teoría del carácter ^{[6] : 345–348}

Todas las traducciones son unitarias y abelianas . Las traducciones se pueden escribir en términos de vectores unitarios.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$

Podemos pensar en estos como operadores de transporte.

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$

dónde

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

La conmutatividad de los operadores da tres subgrupos cíclicos de conmutación (dado que pueden ser generados por un solo elemento) que son infinitos, unidimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreductibles de grupos abelianos son unidimensionales. ^[8] ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$

Dado que son unidimensionales, la representación matricial y el carácter son los mismos. El carácter es la representación sobre los números complejos del grupo o también la traza de la representación que en este caso es una matriz unidimensional. Todos estos subgrupos, al ser cíclicos, tienen caracteres que son raíces apropiadas de la unidad . De hecho, tienen un generador que obedecerá a y, por tanto, al carácter . Tenga en cuenta que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito, pero en el caso infinito contable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traducción aquí) hay un límite en el que el carácter permanece finito. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$ ${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Dado que el carácter es una raíz de la unidad, para cada subgrupo el carácter se puede escribir como

$${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

Si introducimos la condición de frontera de Born-von Karman sobre el potencial:

$${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$

donde L es una periodicidad macroscópica en la dirección que también puede verse como un múltiplo de donde ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Esto sustituye en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por una simple hamiltoniana efectiva.

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$

induce una periodicidad con la función de onda:

$${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

Y para cada dimensión un operador de traducción con un período L

$${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariante mediante una traducción de : ${\displaystyle L_{i}}$

$${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$

y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica:

$${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$

donde es un numero entero y ${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

El vector de onda identifica la representación irreducible de la misma manera que , y es una longitud periódica macroscópica del cristal en dirección . En este contexto, el vector de onda sirve como número cuántico para el operador de traducción. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Podemos generalizar esto para 3 dimensiones y la fórmula genérica para la función de onda queda: ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$

$${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$

es decir, especializarlo para una traducción

$${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$

y hemos demostrado el teorema de Bloch.

En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable sólo para grupos cíclicos y, por lo tanto, traducciones, a una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres son dado del grupo de puntos finitos específico .

También aquí es posible ver cómo los personajes (como invariantes de las representaciones irreductibles) pueden ser tratados como bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreductibles mismas. ^[9]

Velocidad y masa efectiva.

Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch obtenemos

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$$

$${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$

${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$

Prueba ^[10]

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}$$

Nos quedamos con

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$$

Esto muestra cómo el impulso efectivo puede verse como compuesto de dos partes,

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,}$$

acoplamiento mínimotransformación canónica ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$

Para la velocidad efectiva podemos derivar

velocidad media de un electrón de Bloch

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle }$

Prueba ^[11]

Evaluamos las derivadas y dados son los coeficientes del siguiente desarrollo en q donde q se considera pequeño con respecto a k ${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}$$

Dados los valores propios de Podemos considerar el siguiente problema de perturbación en q: ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$$

La teoría de la perturbación de segundo orden establece que

$${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$$

Calcular en orden lineal en q

$${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }}$$

donde las integraciones son sobre una celda primitiva o el cristal completo, dado si la integral

$${\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$$

se normaliza en toda la célula o el cristal.

Podemos simplificar sobre q para obtener

$${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$$

y podemos reinsertar las funciones de onda completas

$${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$$

Para la masa efectiva

teorema de masa efectiva

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$

Prueba ^[11]

El término de segundo orden.

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$

De nuevo con ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$

Eliminando y tenemos el teorema. ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$$

La cantidad de la derecha multiplicada por un factor se llama tensor de masa efectiva ^[12] y podemos usarla para escribir una ecuación semiclásica para un portador de carga en una banda ^[13] ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )}$

Ecuación de movimiento semiclásica de segundo orden para un portador de carga en una banda

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)}$

¿Dónde hay una aceleración ? Esta ecuación es análoga al tipo de aproximación de onda de De Broglie ^[14] ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Ecuación de movimiento semiclásica de primer orden para un electrón en una banda

${\displaystyle \hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

Como interpretación intuitiva, las dos ecuaciones anteriores se parecen formalmente y están en una analogía semiclásica con la segunda ley de Newton para un electrón en una fuerza externa de Lorentz .

Historia y ecuaciones relacionadas.

El concepto de estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928 ^[15] para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, las mismas matemáticas subyacentes también fueron descubiertas de forma independiente varias veces: por George William Hill (1877), ^[16] Gaston Floquet (1883), ^[17] y Alexander Lyapunov (1892). ^[18] Como resultado, una variedad de nomenclaturas son comunes: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias , se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente teorema de Lyapunov-Floquet ). La forma general de una ecuación de potencial periódica unidimensional es la ecuación de Hill : ^[19]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$$

f ( t )modelo de Kronig-Penneyla ecuación de Mathieu

Matemáticamente, el teorema de Bloch se interpreta en términos de caracteres unitarios de un grupo reticular y se aplica a la geometría espectral . ^{[20] [21] [22]}

Ver también

• Oscilaciones de Bloch
• Onda de Bloch – método MoM
• Estructura de banda electrónica
• Modelo de electrones casi libres
• Condiciones de contorno periódicas
• Simetrías en mecánica cuántica
• Modelo de unión ajustada
• Función Wannier

Referencias

1. Bloch, F. (1929). Über die quantenmechanik der elektronen in kristallgittern. Zeitschrift für physik, 52(7), 555-600.
2. Kittel, Charles (1996). Introducción a la Física del Estado Sólido . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-14286-7.
3. Ziman, JM (1972). Principios de la teoría de los sólidos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 17-20. ISBN 0521297338.
4. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 134
5. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 137
6. Dresselhaus, MS (2002). "Aplicaciones de la teoría de grupos a la física de sólidos" (PDF) . MIT . Archivado (PDF) desde el original el 1 de noviembre de 2019 . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .
7. El espectro vibratorio y el calor específico de un cristal cúbico centrado en la cara, Robert B. Leighton [1]
8. Roy, Ricky (2 de mayo de 2010). "Teoría de la representación" (PDF) . Universidad de Puget Sound.
9. Representaciones de grupo y análisis armónico de Euler a Langlands, parte II [2]
10. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 140
11. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 765 Apéndice E
12. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 228
13. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 229
14. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 227
15. Félix Bloch (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (en alemán). 52 (7–8): 555–600. Código bibliográfico : 1929ZPhy...52..555B. doi :10.1007/BF01339455. S2CID  120668259.
16. George William Hill (1886). "Por parte del movimiento del perigeo lunar que es función de los movimientos medios del sol y la luna". Acta Matemáticas . 8 : 1–36. doi : 10.1007/BF02417081 .Este trabajo se publicó y distribuyó inicialmente de forma privada en 1877.
17. Gastón Floquet (1883). "Sobre las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. doi : 10.24033/asens.220 .
18. Alexander Mihailovich Lyapunov (1992). El problema general de la estabilidad del movimiento . Londres: Taylor y Francis.Traducido por AT Fuller de la traducción francesa de Edouard Davaux (1907) de la disertación rusa original (1892).
19. Magnus, W ; Winkler, S (2004). Ecuación de Hill. Mensajero Dover. pag. 11.ISBN​ 0-486-49565-5.
20. Kuchment, P. (1982), Teoría de Floquet para ecuaciones diferenciales parciales , RUSS MATH SURV., 37, 1–60
21. Katsuda, A.; Sunada, T (1987). "Homología y geodésicas cerradas en una superficie compacta de Riemann". América. J. Matemáticas . 110 (1): 145-156. doi :10.2307/2374542. JSTOR  2374542.
22. Kotani M; Sunada T. (2000). "Mapas albaneses y una asintótica de largo tiempo fuera de la diagonal para el núcleo de calor". Com. Matemáticas. Física . 209 (3): 633–670. Código Bib : 2000CMaPh.209..633K. doi :10.1007/s002200050033. S2CID  121065949.

Otras lecturas

• Ashcroft, Neil ; Mermín, N. David (1976). Física del Estado Sólido. Nueva York: Holt, Rinehart y Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Dresselhaus, MS (2010). Teoría de grupos: aplicación a la física de la materia condensada. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC  692760083.
• H. Föll. "Potenciales periódicos y teorema de Bloch - conferencias en" Semiconductores I"". La Universidad de Kiel.
• MSP Eastham (1973). La teoría espectral de las ecuaciones diferenciales periódicas . Textos en Matemáticas. Edimburgo: Prensa académica escocesa.
• J. Gazalet; S. Dupont; JC Kastelik; Q. Rolland y B. Djafari-Rouhani (2013). "Un estudio tutorial sobre ondas que se propagan en medios periódicos: cristales electrónicos, fotónicos y fonónicos. Percepción del teorema de Bloch tanto en el dominio real como en el de Fourier". Movimiento Ondulatorio . 50 (3): 619–654. doi :10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.