Electromagnético de cuatro potenciales

Campo vectorial relativista

Un potencial electromagnético de cuatro vectores es una función vectorial relativista a partir de la cual se puede derivar el campo electromagnético . Combina tanto un potencial escalar eléctrico como un potencial vectorial magnético en un único potencial de cuatro vectores . ^[1]

Medido en un marco de referencia determinado y para un calibre determinado , el primer componente del potencial electromagnético de cuatro polos se considera convencionalmente el potencial escalar eléctrico, y los otros tres componentes forman el potencial vectorial magnético. Si bien tanto el potencial escalar como el vectorial dependen del marco, el potencial electromagnético de cuatro polos es covariante de Lorentz .

Al igual que otros potenciales, muchos cuatro potenciales electromagnéticos diferentes corresponden al mismo campo electromagnético, dependiendo del calibre elegido.

Este artículo utiliza la notación de índice tensorial y la convención de signos métricos de Minkowski (+ − − −) . Consulte también covarianza y contravarianza de vectores e índices de elevación y decrecimiento para obtener más detalles sobre la notación. Las fórmulas se dan en unidades del SI y en unidades gaussianas-cgs .

Definición

El potencial electromagnético contravariante de cuatro potenciales se puede definir como: ^[2]

donde ϕ es el potencial eléctrico y A es el potencial magnético (un potencial vectorial ). Las unidades de A ^α son V · s · m ⁻¹ en el SI y Mx · cm ⁻¹ en el sistema gaussiano-cgs .

Los campos eléctricos y magnéticos asociados a estos cuatro potenciales son: ^[3]

En la relatividad especial , los campos eléctrico y magnético se transforman bajo transformaciones de Lorentz . Esto se puede escribir en forma de un tensor de rango dos : el tensor electromagnético . Los 16 componentes contravariantes del tensor electromagnético, utilizando la convención métrica de Minkowski (+ − − −), se escriben en términos del cuadripotencial electromagnético y el cuadrigradiente como:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Si dicha firma es en cambio (− + + +) entonces:

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Esto define esencialmente el cuatro-potencial en términos de cantidades físicamente observables, además de reducirse a la definición anterior.

En el calibre de Lorenz

A menudo, la condición de calibre de Lorenz en un marco de referencia inercial se emplea para simplificar las ecuaciones de Maxwell como: ^[2] ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$

donde J ^α son los componentes de la corriente de cuatro vías , y

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

es el operador d'Alembertiano . En términos de los potenciales escalares y vectoriales, esta última ecuación se convierte en:

Para una distribución de carga y corriente dada, ρ ( r , t ) y j ( r , t ) , las soluciones de estas ecuaciones en unidades SI son: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

es el tiempo retardado . Esto a veces también se expresa con

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

donde los corchetes tienen el propósito de indicar que el tiempo debe evaluarse en el tiempo retardado. Por supuesto, dado que las ecuaciones anteriores son simplemente la solución a una ecuación diferencial no homogénea , cualquier solución a la ecuación homogénea puede agregarse a estas para satisfacer las condiciones de contorno . Estas soluciones homogéneas en general representan ondas que se propagan desde fuentes fuera del límite.

Cuando se evalúan las integrales anteriores para casos típicos, por ejemplo, de una corriente (o carga) oscilante, se descubre que dan un componente de campo magnético que varía según r ⁻² (el campo de inducción) y un componente que disminuye según r ⁻¹ (el campo de radiación). ^{[ aclaración necesaria ]}

Libertad de medición

Cuando se aplana a una forma unitaria (en notación tensorial, ), el cuadripotencial (normalmente escrito como un vector o, en notación tensorial) se puede descomponer ^{[ aclaración necesaria ]} a través del teorema de descomposición de Hodge como la suma de una forma exacta , una coexacta y una armónica, ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

Hay libertad de calibre en A, ya que de las tres formas en esta descomposición, solo la forma coexacta tiene algún efecto sobre el tensor electromagnético.

${\displaystyle F=dA}$.

Las formas exactas son cerradas, al igual que las formas armónicas sobre un dominio apropiado, por lo que y , siempre. Por lo tanto, independientemente de lo que sean y , nos quedamos simplemente con ${\displaystyle dd\alpha =0}$ ${\displaystyle d\gamma =0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle F=d\delta \beta }$.

En el espacio plano infinito de Minkowski, toda forma cerrada es exacta. Por lo tanto, el término se anula. Toda transformación de calibre de puede escribirse así: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\Rightarrow A+d\alpha }$.

Véase también

• Cuatro vectores
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Ecuaciones de Jefimenko
• Campo de gluones
• Efecto Aharonov-Bohm

Referencias

1. Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
3. IS Grant, WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2.ª ed.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.

• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª edición) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3.ª edición) . Nueva York: Wiley. ISBN. 0-471-30932-X.