Postulados de la relatividad especial

Concepto en física

Albert Einstein derivó la teoría de la relatividad especial en 1905, ^[1] a partir de principios que ahora se denominan postulados de la relatividad especial . Se dice ^{[ ¿quién? ]} que la formulación de Einstein sólo requiere dos postulados , aunque su derivación implica algunas suposiciones más.

La idea de que la relatividad especial dependía sólo de dos postulados, ambos aparentemente derivados de la teoría y el experimento de la época, fue uno de los argumentos más convincentes para la corrección de la teoría (Einstein 1912: " Esta teoría es correcta en la medida en que los dos principios en los que se basa son correctos. Puesto que estos parecen ser correctos en gran medida, ... ") ^[2]

Postulados de la relatividad especial

1. Primer postulado ( principio de relatividad )

Las leyes de la física toman la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales .

2. Segundo postulado (invariancia de c )

Medida en cualquier sistema de referencia inercial, la luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. O bien: la velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor c en todos los sistemas de referencia inerciales.

La base de dos postulados para la relatividad especial es la que utilizó históricamente Einstein, y a veces es el punto de partida en la actualidad. Como Einstein mismo reconoció más tarde, la derivación de la transformación de Lorentz hace uso tácitamente de algunos supuestos adicionales, incluyendo la homogeneidad espacial, la isotropía y la falta de memoria . ^[3] Hermann Minkowski también utilizó implícitamente ambos postulados cuando introdujo la formulación del espacio de Minkowski , a pesar de que demostró que c puede verse como una constante del espacio-tiempo, y la identificación con la velocidad de la luz se deriva de la óptica. ^[4]

Derivaciones alternativas de la relatividad especial

Históricamente, Hendrik Lorentz y Henri Poincaré (1892-1905) derivaron la transformación de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell , que sirvieron para explicar el resultado negativo de todas las mediciones de deriva del éter. Por eso, el éter luminífero se vuelve indetectable de acuerdo con lo que Poincaré llamó el principio de relatividad (ver Historia de las transformaciones de Lorentz y Teoría del éter de Lorentz ). Un ejemplo más moderno de derivación de la transformación de Lorentz a partir de la electrodinámica (sin usar en absoluto el concepto histórico de éter) fue dado por Richard Feynman . ^[5]

George Francis FitzGerald ya formuló un argumento similar al de Einstein en 1889, en respuesta al experimento de Michelson-Morley, que parecía demostrar que ambos postulados eran ciertos. Escribió que una contracción de la longitud es "casi la única hipótesis que puede reconciliar" las aparentes contradicciones. Lorentz llegó independientemente a conclusiones similares y más tarde escribió que "la principal diferencia es que Einstein simplemente postula lo que nosotros hemos deducido".

A partir de estas derivaciones, se han propuesto muchas derivaciones alternativas, basadas en varios conjuntos de suposiciones. A menudo se ha argumentado (como por Vladimir Ignatowski en 1910, ^{[6] [7] [8]} o Philipp Frank y Hermann Rothe en 1911, ^{[9] [10]} y muchos otros en años posteriores ^[11] ) que una fórmula equivalente a la transformación de Lorentz, hasta un parámetro libre no negativo, se deduce simplemente del postulado de la relatividad en sí, sin postular primero la velocidad universal de la luz. ^[12] Estas formulaciones se basan en las diversas suposiciones mencionadas anteriormente, como la isotropía. El valor numérico del parámetro en estas transformaciones se puede determinar experimentalmente, al igual que los valores numéricos del par de parámetros c y la permitividad del vacío se dejan para determinar experimentalmente incluso cuando se utilizan los postulados originales de Einstein. La experimentación descarta la validez de las transformaciones galileanas. Cuando se han encontrado los valores numéricos tanto en el enfoque de Einstein como en otros, estos diferentes enfoques dan como resultado la misma teoría. ^{[ cita requerida ]}

Insuficiencia de los dos postulados estándar

La derivación de Einstein de 1905 no está completa. Se produce una ruptura en la lógica de Einstein cuando, después de haber establecido " la ley de la constancia de la velocidad de la luz " para el espacio vacío, invoca la ley en situaciones en las que el espacio ya no está vacío. ^[1] Para que la derivación se aplique a los objetos físicos se requiere un postulado adicional o "hipótesis de transición", que la geometría derivada para el espacio vacío también se aplica cuando un espacio está poblado. Esto equivaldría a afirmar que sabemos que la introducción de materia en una región, y su movimiento relativo, no tienen efecto sobre la geometría del haz de luz.

Tal afirmación sería problemática, ya que Einstein rechazó la noción de que un proceso como la propagación de la luz pudiera ser inmune a otros factores (1914: " No puede haber duda de que este principio es de gran importancia; y, sin embargo, no puedo creer en su validez exacta. Me parece increíble que el curso de cualquier proceso (por ejemplo, el de la propagación de la luz en el vacío) pueda concebirse como independiente de todos los demás eventos en el mundo. ") ^[13]

La inclusión de este "puente" como tercer postulado explícito también podría haber dañado la credibilidad de la teoría, ya que el índice de refracción y el efecto Fizeau habrían sugerido que la presencia y el comportamiento de la materia parecen influir en la propagación de la luz, contrariamente a la teoría. Si esta hipótesis del puente se hubiera formulado como tercer postulado, se podría haber afirmado que el tercer postulado (y, por lo tanto, la teoría) quedaban refutados por la evidencia experimental.

El sistema de 1905 como “teoría nula”

Sin una "hipótesis de puente" como tercer postulado, la derivación de 1905 está abierta a la crítica de que sus relaciones derivadas sólo pueden aplicarse en el vacío , es decir, en ausencia de materia.

La controvertida sugerencia de que la teoría de 1905, derivada de la suposición de que el espacio vacío existe, sólo podría aplicarse al espacio vacío, aparece en el libro de Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler " Física del espacio-tiempo " (Cuadro 3-1: " El principio de la relatividad se basa en el vacío "). ^[14]

Una sugerencia similar de que la reducción de la geometría de la RG al espacio-tiempo plano de la RG sobre pequeñas regiones puede ser "no física" (porque las regiones puntuales planas no pueden contener materia capaz de actuar como observadores físicos) fue reconocida pero rechazada por Einstein en 1914 (" Las ecuaciones de la nueva teoría de la relatividad se reducen a las de la teoría original en el caso especial donde g _μν puede considerarse constante... la única objeción que puede plantearse contra la teoría es que las ecuaciones que hemos establecido podrían, tal vez, estar vacías de cualquier contenido físico. Pero es poco probable que alguien piense en serio que esta objeción esté justificada en el presente caso "). ^[13]

Einstein volvió a tratar el problema en 1919 (" No está en absoluto establecido a priori que una transición límite de este tipo tenga algún significado posible. Porque si los campos gravitatorios juegan un papel esencial en la estructura de las partículas de materia, la transición al caso límite de g _μν constante perdería, para ellas, su justificación, porque, de hecho, con g _μν constante no podría haber partículas de materia. ") ^[15].

Un argumento adicional a favor de la no fisicalidad se puede extraer de la solución de Einstein al "problema del agujero" bajo la relatividad general, en la que Einstein rechaza la fisicalidad de las relaciones del sistema de coordenadas en el espacio verdaderamente vacío. ^[16]

Modelos relativistas alternativos

La teoría especial de Einstein no es la única teoría que combina una forma de constancia de la velocidad de la luz con el principio de relatividad. Una teoría similar a la propuesta por Heinrich Hertz (en 1890) ^[17] permite que la luz sea arrastrada completamente por todos los objetos, lo que da una c-constancia local para todos los observadores físicos . La posibilidad lógica de una teoría hertziana muestra que los dos postulados estándar de Einstein ( sin la hipótesis del puente) no son suficientes para permitirnos llegar de manera única a la solución de la relatividad especial (aunque la relatividad especial podría considerarse la solución más minimalista ).

Einstein estuvo de acuerdo en que la teoría de Hertz era lógicamente consistente (" Es sobre la base de esta hipótesis que Hertz desarrolló una electrodinámica de cuerpos en movimiento libre de contradicciones "), ^[18] pero la descartó por considerar que no concordaba bien con el resultado de Fizeau , dejando la relatividad especial como la única opción restante. Dado que la relatividad especial tampoco podía reproducir el resultado de Fizeau sin introducir reglas auxiliares adicionales (para abordar el diferente comportamiento de la luz en un medio particulado), tal vez no fuera una comparación justa.

Formulación matemática de los postulados

En la rigurosa formulación matemática de la relatividad especial, suponemos que el universo existe en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones M . Los puntos individuales en el espacio-tiempo se conocen como eventos ; los objetos físicos en el espacio-tiempo se describen mediante líneas de mundo (si el objeto es una partícula puntual) o láminas de mundo (si el objeto es más grande que un punto). La línea de mundo o lámina de mundo solo describe el movimiento del objeto; el objeto también puede tener varias otras características físicas como energía-momento , masa , carga , etc.

Además de los eventos y objetos físicos, existe una clase de marcos de referencia inerciales . Cada marco de referencia inercial proporciona un sistema de coordenadas para los eventos en el espacio-tiempo M. Además, este marco de referencia también proporciona coordenadas para todas las demás características físicas de los objetos en el espacio-tiempo; por ejemplo, proporcionará coordenadas para el momento y la energía de un objeto, coordenadas para un campo electromagnético , etc. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}$ ${\displaystyle (E_{1},E_{2},E_{3},B_{1},B_{2},B_{3})}$

Suponemos que, dados dos marcos de referencia inerciales cualesquiera, existe una transformación de coordenadas que convierte las coordenadas de un marco de referencia a las coordenadas de otro marco de referencia. Esta transformación no solo proporciona una conversión para las coordenadas del espacio-tiempo , sino que también proporcionará una conversión para todas las demás coordenadas físicas, como una ley de conversión para el momento y la energía , etc. (En la práctica, estas leyes de conversión se pueden manejar de manera eficiente utilizando las matemáticas de los tensores ). ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}$

También asumimos que el universo obedece a una serie de leyes físicas. Matemáticamente, cada ley física puede expresarse con respecto a las coordenadas dadas por un sistema de referencia inercial mediante una ecuación matemática (por ejemplo, una ecuación diferencial ) que relaciona las distintas coordenadas de los distintos objetos en el espacio-tiempo. Un ejemplo típico son las ecuaciones de Maxwell . Otro es la primera ley de Newton .

1. Primer postulado ( Principio de relatividad )

En las transiciones entre sistemas de referencia inerciales, las ecuaciones de todas las leyes fundamentales de la física permanecen invariantes en cuanto a su forma, mientras que todas las constantes numéricas que entran en estas ecuaciones conservan sus valores. Por lo tanto, si una ley física fundamental se expresa con una ecuación matemática en un sistema inercial, debe expresarse mediante una ecuación idéntica en cualquier otro sistema inercial, siempre que ambos sistemas estén parametrizados con gráficos del mismo tipo. (La salvedad sobre los gráficos se relaja si empleamos conexiones para escribir la ley en una forma covariante).

2. Segundo postulado (Invariancia de c )

Existe una constante absoluta con la siguiente propiedad. Si A , B son dos eventos que tienen coordenadas y en un sistema inercial , y tienen coordenadas y en otro sistema inercial , entonces ${\displaystyle 0<c<\infty }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$ ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$ ${\displaystyle F'}$

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}=c(s-t)\quad }$ si y sólo si . ${\displaystyle \quad {\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}=c(s'-t')}$

De manera informal, el Segundo Postulado afirma que los objetos que viajan a una velocidad c en un sistema de referencia necesariamente viajarán a una velocidad c en todos los sistemas de referencia. Este postulado es un subconjunto de los postulados que sustentan las ecuaciones de Maxwell en la interpretación que se les da en el contexto de la relatividad especial. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell se basan en varios otros postulados, algunos de los cuales ahora se sabe que son falsos (por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar los atributos cuánticos de la radiación electromagnética).

El segundo postulado puede utilizarse para implicar una versión más fuerte de sí mismo, a saber, que el intervalo espacio-temporal es invariante ante cambios del sistema de referencia inercial. En la notación anterior, esto significa que

${\displaystyle c^{2}(s-t)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}$

${\displaystyle =c^{2}(s'-t')^{2}-(x'_{1}-y'_{1})^{2}-(x'_{2}-y'_{2})^{2}-(x'_{3}-y'_{3})^{2}}$

para dos eventos cualesquiera A , B . Esto a su vez puede usarse para deducir las leyes de transformación entre marcos de referencia; véase transformación de Lorentz .

Los postulados de la relatividad especial pueden expresarse de manera muy sucinta utilizando el lenguaje matemático de las variedades pseudo-riemannianas . El segundo postulado es entonces una afirmación de que el espacio-tiempo de cuatro dimensiones M es una variedad pseudo-riemanniana equipada con una métrica g de signatura (1,3), que está dada por la métrica de Minkowski cuando se mide en cada marco de referencia inercial. Esta métrica se considera como una de las cantidades físicas de la teoría; por lo tanto, se transforma de cierta manera cuando se cambia el marco de referencia, y puede usarse legítimamente para describir las leyes de la física. El primer postulado es una afirmación de que las leyes de la física son invariantes cuando se representan en cualquier marco de referencia para el que g está dado por la métrica de Minkowski. Una ventaja de esta formulación es que ahora es fácil comparar la relatividad especial con la relatividad general , en la que se cumplen los mismos dos postulados pero se descarta el supuesto de que se requiere que la métrica sea Minkowski.

La teoría de la relatividad galileana es el caso límite de la relatividad especial en el límite (al que a veces se hace referencia como el límite no relativista ). En esta teoría, el primer postulado permanece inalterado, pero el segundo postulado se modifica para: ${\displaystyle c\to \infty }$

Si A , B son dos eventos que tienen coordenadas y en un marco inercial , y tienen coordenadas y en otro marco inercial , entonces . Además, si , entonces ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$ ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle s-t=s'-t'}$ ${\displaystyle s-t=s'-t'=0}$

${\displaystyle \quad {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}}$.

La teoría física dada por la mecánica clásica y la gravedad newtoniana es consistente con la relatividad galileana, pero no con la relatividad especial. Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la relatividad galileana a menos que se postule la existencia de un éter físico. En varios casos, las leyes de la física en la relatividad especial (como la ecuación ) se pueden deducir combinando los postulados de la relatividad especial con la hipótesis de que las leyes de la relatividad especial se aproximan a las leyes de la mecánica clásica en el límite no relativista. ${\displaystyle E=mc^{2}}$

Notas

1. Einstein, Albert (1905). "Zur elektrodynamik bewegter körper" [Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento]. Annalen der Physik . 17 (10): 891–921. Código bibliográfico : 1905AnP...322..891E. doi : 10.1002/andp.19053221004 .
2. Einstein, A. (1912). "Relativität und Gravitation. Erwiderung auf eine Bemerkung von M. Abraham" [Relatividad y Gravitación: Respuesta a un comentario de M. Abraham]. Annalen der Physik . 343 (10): 1059-1064. Código bibliográfico : 1912AnP...343.1059E. doi : 10.1002/andp.19123431014. ISSN  0003-3804. S2CID  120162895.
3. Albert Einstein, Documento Morgan, 1921
4. Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
   • Varias traducciones al inglés en Wikisource: Espacio y Tiempo.
5. Feynman, RP (1970), "21–6. Los potenciales para una carga que se mueve con velocidad constante; la fórmula de Lorentz", The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, Lectura: Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-02115-3
6. Ignatowsky, Wv (1910). "Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip"  . Physikalische Zeitschrift . 11 : 972–976.

   • Algunas observaciones generales sobre el principio de relatividad

7. Ignatowsky, Wv (1911). "Das Relativitätsprinzip"  . Archiv der Mathematik und Physik . 18 : 17–40.
8. Ignatowsky, Wv (1911). "Eine Bemerkung zu meiner Arbeit:" Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip""  . Physikalische Zeitschrift . 12 : 779.
9. Frank, Philipp & Rothe, Hermann (1910), "Über die Transformation der Raum-Zeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme", Annalen der Physik , 339 (5): 825–855, Bibcode :1911AnP...339..825F , doi :10.1002/andp.19113390502

   • Sobre la transformación de las coordenadas espacio-temporales de sistemas estacionarios a sistemas móviles

10. Frank, Philipp y Rothe, Hermann (1912). "Zur Herleitung der Lorentztransformación". Physikalische Zeitschrift . 13 : 750–753.
11. Baccetti, Valentina; Tate, Kyle; Visser, Matt (2012), "Marcos inerciales sin el principio de relatividad", Journal of High Energy Physics , 2012 (5): 119, arXiv : 1112.1466 , Bibcode :2012JHEP...05..119B, doi :10.1007/JHEP05(2012)119, S2CID  118695037; Véanse las referencias 5 a 25 del mismo.
12. Morin, David (2008). Introducción a la mecánica clásica: con problemas y soluciones. Cambridge University Press. pág. 549. ISBN 978-1-139-46837-4.Capítulo “Relatividad sin c” página 549
13. Einstein, Albert (1914). "Prinzipielles zur verallgemeinerten Relativitätstheorie und Gravitationstheorie" [Sobre los fundamentos de la teoría de la relatividad generalizada y la teoría de la gravitación]. Physikalische Zeitschrift (en alemán). 15 : 176–180. Código bibliográfico : 1914PhyZ...15..176E.
14. Taylor, Edwin F. (1992). Física del espacio-tiempo: Introducción a la relatividad especial. John Archibald Wheeler (segunda edición). Nueva York, NY: Freeman. pp. 56–57. ISBN 0-7167-2327-1.OCLC 25165077  .
15. Einstein, Alberto (1916). "¿Spielen Gravitationsfelder im Aufber der Materiellen Elementarteilchen eine Wesentliche Rolle?" [¿Los campos gravitacionales juegan un papel esencial en la estructura de las partículas elementales de la materia?]. Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften, Berlín (en alemán). - : 349–356.
16. Norton, JD (1993). "Covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa". Informes sobre el progreso en física . 56 (7): 791–858. Bibcode :1993RPPh...56..791N. doi :10.1088/0034-4885/56/7/001. S2CID  250902085.
17. Hercios, H. (1890). "Ueber die Grundgleichungen der Electrodynamik für bewegte Körper" [Sobre las ecuaciones básicas de electrodinámica para cuerpos en movimiento]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 277 (11): 369–399. Código bibliográfico : 1890AnP...277..369H. doi : 10.1002/andp.18902771102.
18. Einstein, Albert (1910). «El principio de relatividad y sus consecuencias en la física moderna». Archives des sciences physiques et naturelles (en alemán). 29 : 5–28, 125–1.