En matemáticas , un porcentaje (del latín per centum 'por cien') es un número o proporción expresado como una fracción de 100. A menudo se denota utilizando el signo de porcentaje (%), [1] aunque también se utilizan las abreviaturas pct. , pct y, a veces, pc . [2] Un porcentaje es un número adimensional (número puro), utilizado principalmente para expresar proporciones, pero el porcentaje es, no obstante, una unidad de medida en su ortografía y uso. [3]
Por ejemplo, el 45% (que se lee "cuarenta y cinco por ciento") es igual a la fracción 45/100 , la proporción 45:55 (o 45:100 cuando se compara con el total en lugar de la otra parte), o 0,45. Los porcentajes se utilizan a menudo para expresar una parte proporcional de un total.
(De manera similar, también se puede expresar un número como fracción de 1.000, utilizando el término " por mil " o el símbolo " ‰ ".)
Si el 50% del total de estudiantes de la clase son varones, eso significa que 50 de cada 100 estudiantes son varones. Si hay 500 estudiantes, entonces 250 de ellos son varones.
Un aumento de $0,15 sobre un precio de $2,50 es un aumento de una fracción de 0,15/2,50 = 0,06. Expresado en porcentaje, esto supone un aumento del 6%.
Si bien muchos valores porcentuales están entre 0 y 100, no existe ninguna restricción matemática y los porcentajes pueden adoptar otros valores. [4] Por ejemplo, es común referirse a 111% o −35%, especialmente para cambios porcentuales y comparaciones.
En la antigua Roma , mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos se hacían a menudo en fracciones en múltiplos de 1/100 . Por ejemplo, Augusto impuso un impuesto de 1/100 sobre los bienes vendidos en subastas conocidas como centesima rerum venalium . El cálculo con estas fracciones era equivalente al cálculo de porcentajes.
A medida que las denominaciones de dinero crecieron en la Edad Media , los cálculos con un denominador de 100 se volvieron cada vez más estándar, de modo que desde fines del siglo XV hasta principios del siglo XVI, se volvió común que los textos de aritmética incluyeran tales cálculos. Muchos de estos textos aplicaron estos métodos a las ganancias y pérdidas, las tasas de interés y la Regla de Tres . Para el siglo XVII, era estándar citar las tasas de interés en centésimas. [5]
El término "por ciento" se deriva del latín per centum , que significa "cien" o "por cien". [6] [7] El signo de "por ciento" evolucionó por la contracción gradual del término italiano per cento , que significa "por cien". El "per" se abreviaba a menudo como "p.", pero finalmente desapareció por completo. El "cento" se redujo a dos círculos separados por una línea horizontal, de donde se deriva el símbolo moderno "%". [8]
El valor porcentual se calcula multiplicando el valor numérico de la proporción por 100. Por ejemplo, para encontrar 50 manzanas como porcentaje de 1250 manzanas, primero se calcula la proporción .50/1250 = 0,04, y luego se multiplica por 100 para obtener 4%. El valor porcentual también se puede encontrar multiplicando primero en lugar de después, por lo que en este ejemplo, el 50 se multiplicaría por 100 para dar 5000, y este resultado se dividiría por 1250 para dar 4%.
Para calcular un porcentaje de un porcentaje, convierta ambos porcentajes a fracciones de 100 o a decimales y multiplíquelos. Por ejemplo, el 50 % de 40 % es:
No es correcto dividir por 100 y utilizar el signo de porcentaje al mismo tiempo; implicaría literalmente dividir por 10.000. Por ejemplo, 25% = 25/100 = 0,25 , no 25%/100 , que en realidad es 25⁄100/100 = 0,0025 . Un término como 100/100 % también sería incorrecto, ya que se leería como 1 por ciento, incluso si la intención fuera decir 100%.
Siempre que se habla de un porcentaje, es importante especificar a qué se refiere (es decir, cuál es el total que corresponde al 100%). El siguiente problema ilustra este punto.
En una universidad, el 60% de los estudiantes son mujeres y el 10% de ellos estudian informática. Si el 5% de las mujeres estudian informática, ¿qué porcentaje de estudiantes de informática son mujeres?
Se nos pide que calculemos la proporción de mujeres que se especializan en informática respecto de todos los estudiantes que se especializan en informática. Sabemos que el 60 % de todos los estudiantes son mujeres y, entre ellas, el 5 % se especializan en informática, por lo que concluimos que 60/100×5/100 = 3/100 o el 3% de todos los estudiantes son mujeres que se especializan en informática. Dividiendo esto por el 10% de todos los estudiantes que se especializan en informática, llegamos a la respuesta: 3%/10% = 30/100o el 30% de todos los estudiantes de ciencias de la computación son mujeres.
Este ejemplo está estrechamente relacionado con el concepto de probabilidad condicional .
Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, invertir expresiones no cambia el resultado; por ejemplo, el 50% de 20 es 10 y el 20% de 50 es 10.
El cálculo de porcentajes se realiza y se enseña de diferentes maneras según los requisitos previos y las exigencias. De esta manera, se pueden obtener las fórmulas habituales con proporciones, lo que les ahorra tener que recordarlas. En el llamado cálculo mental, la pregunta intermedia suele ser qué es (a qué corresponde) el 100% o el 1%.
Ejemplo:
42 kg son 7%. ¿Cuánto es (corresponde a) 100%?
Se dan W (porcentaje) y p % (porcentaje).
Buscamos G (valor básico).
Debido a que el uso es inconsistente, no siempre queda claro en el contexto a qué se refiere un porcentaje. Cuando se habla de un "aumento del 10 %" o una "disminución del 10 %" en una cantidad, la interpretación habitual es que se refiere al valor inicial de esa cantidad. Por ejemplo, si un artículo tiene un precio inicial de $200 y el precio aumenta un 10 % (un aumento de $20), el nuevo precio será $220. Nótese que este precio final es el 110 % del precio inicial (100 % + 10 % = 110 %).
Algunos otros ejemplos de cambios porcentuales :
En general, un cambio de x por ciento en una cantidad da como resultado una cantidad final que es 100 + x por ciento de la cantidad original (equivalentemente, (1 + 0,01 x ) veces la cantidad original).
Los cambios porcentuales aplicados secuencialmente no se suman de la manera habitual. Por ejemplo, si el aumento del 10% en el precio considerado anteriormente (en el artículo de $200, lo que eleva su precio a $220) es seguido por una disminución del 10% en el precio (una disminución de $22), entonces el precio final será $198, no el precio original de $200. La razón de esta aparente discrepancia es que los dos cambios porcentuales (+10% y -10%) se miden en relación con diferentes valores iniciales ($200 y $220, respectivamente), y por lo tanto no se "anulan".
En general, si un aumento de x por ciento es seguido por una disminución de x por ciento, y la cantidad inicial era p , la cantidad final es p (1 + 0.01 x )(1 − 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) 2 ) ; por lo tanto, el cambio neto es una disminución general de x por ciento de x por ciento (el cuadrado del cambio porcentual original cuando se expresa como un número decimal). Por lo tanto, en el ejemplo anterior, después de un aumento y una disminución de x = 10 por ciento , la cantidad final, $198, fue 10% de 10%, o 1%, menos que la cantidad inicial de $200. El cambio neto es el mismo para una disminución de x por ciento, seguida de un aumento de x por ciento; la cantidad final es p (1 - 0.01 x )(1 + 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) 2 ) .
Esto se puede ampliar para un caso en el que no se tiene el mismo cambio porcentual. Si la cantidad inicial p lleva a un cambio porcentual x , y el segundo cambio porcentual es y , entonces la cantidad final es p (1 + 0,01 x )(1 + 0,01 y ) . Para cambiar el ejemplo anterior, después de un aumento de x = 10 por ciento y una disminución de y = −5 por ciento , la cantidad final, $209, es 4,5% más que la cantidad inicial de $200.
Como se muestra arriba, los cambios porcentuales se pueden aplicar en cualquier orden y tienen el mismo efecto.
En el caso de las tasas de interés , una forma muy común pero ambigua de decir que una tasa de interés aumentó del 10% anual al 15% anual, por ejemplo, es decir que la tasa de interés aumentó un 5%, lo que teóricamente podría significar que aumentó del 10% anual al 10,5% anual. Es más claro decir que la tasa de interés aumentó 5 puntos porcentuales (pp). La misma confusión entre los diferentes conceptos de porcentaje(age) y puntos porcentuales puede potencialmente causar un gran malentendido cuando los periodistas informan sobre los resultados electorales, por ejemplo, expresando tanto los nuevos resultados como las diferencias con los resultados anteriores como porcentajes. Por ejemplo, si un partido obtiene el 41% de los votos y se dice que esto es un aumento del 2,5%, ¿significa eso que el resultado anterior fue del 40% (ya que 41 = 40 × (1 + 2.5/100 ) ) o 38,5% (ya que 41 =38,5 + 2,5)?
En los mercados financieros, es común referirse a un aumento de un punto porcentual (por ejemplo, del 3% anual al 4% anual) como un aumento de "100 puntos básicos".
En la mayoría de las formas del inglés , porcentaje suele escribirse como dos palabras ( percent ), aunque porcentaje y percentil se escriben como una sola palabra. [9] En inglés americano , porcentaje es la variante más común [10] (pero por mil se escribe como dos palabras).
A principios del siglo XX, existía una forma abreviada con puntos " por ciento ", en oposición a " por ciento ". La forma " por ciento " todavía se usa en el lenguaje altamente formal que se encuentra en ciertos documentos como los acuerdos de préstamos comerciales (en particular aquellos sujetos a, o inspirados por, el derecho consuetudinario), así como en las transcripciones del Hansard de los procedimientos parlamentarios británicos. El término se ha atribuido al latín per centum . [11] El símbolo de porcentaje (%) evolucionó a partir de un símbolo que abrevia el italiano per cento . En algunos otros idiomas, se usa en su lugar la forma procent o prosent . Algunos idiomas usan tanto una palabra derivada de porcentaje como una expresión en ese idioma que significa lo mismo, por ejemplo, el rumano procent y la sută (por lo tanto, 10% puede leerse o, a veces, escribirse diez por [cada] cien , de manera similar con el inglés uno de cada diez ). Otras abreviaturas son más raras, pero a veces se ven.
Las guías de gramática y estilo a menudo difieren en cuanto a cómo deben escribirse los porcentajes. Por ejemplo, se suele sugerir que la palabra porcentaje (o por ciento) se escriba con todas las letras en todos los textos, como en "1 por ciento" y no "1%". Otras guías prefieren que la palabra se escriba con todas las letras en los textos humanísticos, pero que se utilice el símbolo en los textos científicos. La mayoría de las guías coinciden en que siempre se escriban con un número, como en "5 por ciento" y no "cinco por ciento", con la única excepción de que se escriban al principio de una oración: "Al diez por ciento de todos los escritores les encantan las guías de estilo". También se deben utilizar decimales en lugar de fracciones, como en "3,5 por ciento de la ganancia" y no " 3 ".+1 ⁄ 2 por ciento de la ganancia". Sin embargo, los títulos de los bonos emitidos por gobiernos y otros emisores utilizan la forma fraccionaria, por ejemplo " 3+1 ⁄ 2 % Préstamo sin garantía Acciones 2032 Serie 2". (Cuando las tasas de interés son muy bajas, se incluye el número 0 si la tasa de interés es inferior al 1%, por ejemplo, " 0+3 ⁄ 4 % de acciones en tesorería", no " 3 ⁄ 4 % de acciones en tesorería". También se acepta ampliamente el uso del símbolo de porcentaje (%) en material tabular y gráfico.
De acuerdo con la práctica común inglesa, las guías de estilo, como el Manual de estilo de Chicago , generalmente establecen que el número y el signo de porcentaje se escriben sin ningún espacio entre ellos. [12] Sin embargo, el Sistema Internacional de Unidades y la norma ISO 31-0 requieren un espacio. [13] [14]
La palabra "porcentaje" suele ser un nombre inapropiado en el contexto de las estadísticas deportivas, cuando el número al que se hace referencia se expresa como una proporción decimal, no como un porcentaje: " Shaquille O'Neal de los Phoenix Suns lideró la NBA con un porcentaje de tiros de campo (FG%) de .609 durante la temporada 2008-09". (O'Neal acertó el 60,9% de sus tiros, no el 0,609%). Del mismo modo, el porcentaje de victorias de un equipo, la fracción de partidos que ha ganado el club, también suele expresarse como una proporción decimal; un equipo que tiene un porcentaje de victorias de .500 ha ganado el 50% de sus partidos. La práctica probablemente esté relacionada con la forma similar en que se expresan los promedios de bateo .
Como "porcentaje" se utiliza para describir la pendiente , la inclinación de una carretera o ferrocarril , cuya fórmula es 100 × elevar/correr que también podría expresarse como la tangente del ángulo de inclinación por 100. Esta es la relación de las distancias que un vehículo avanzaría verticalmente y horizontalmente, respectivamente, al subir o bajar una pendiente, expresada en porcentaje.
El porcentaje también se utiliza para expresar la composición de una mezcla en porcentaje de masa y porcentaje molar .
Si bien en 1961 todavía era bastante común que los periodistas estadounidenses escribieran "porcentaje" o "porcentaje" (con menor frecuencia), esta última variante ortográfica parece ser ahora la única posible.
La definición del diccionario de porcentaje en Wikcionario