Sistema por unidad

En el campo de análisis de sistemas de potencia de la ingeniería eléctrica , un sistema por unidad es la expresión de cantidades del sistema como fracciones de una cantidad unitaria base definida. Los cálculos se simplifican porque las cantidades expresadas como por unidad no cambian cuando se refieren de un lado de un transformador al otro. Esto puede ser una ventaja pronunciada en el análisis de sistemas de potencia donde se pueden encontrar grandes cantidades de transformadores. Además, tipos similares de aparatos tendrán las impedancias dentro de un rango numérico estrecho cuando se expresan como una fracción por unidad de la clasificación del equipo, incluso si el tamaño de la unidad varía ampliamente. La conversión de cantidades por unidad a voltios, ohmios o amperios requiere un conocimiento de la base a la que se referenciaron las cantidades por unidad. El sistema por unidad se utiliza en el flujo de potencia , la evaluación de cortocircuitos , los estudios de arranque de motores , etc.

La idea principal de un sistema por unidad es absorber grandes diferencias en valores absolutos en relaciones de base. De este modo, las representaciones de los elementos del sistema con valores por unidad se vuelven más uniformes.

Un sistema por unidad proporciona unidades para potencia , voltaje , corriente , impedancia y admitancia . Con la excepción de la impedancia y la admitancia, dos unidades cualesquiera son independientes y pueden seleccionarse como valores base; normalmente se eligen potencia y voltaje. Todas las cantidades se especifican como múltiplos de los valores base seleccionados. Por ejemplo, la potencia base puede ser la potencia nominal de un transformador , o quizás una potencia seleccionada arbitrariamente que hace que las cantidades de potencia en el sistema sean más convenientes. El voltaje base puede ser el voltaje nominal de un bus . Los diferentes tipos de cantidades se etiquetan con el mismo símbolo ( pu ); debe quedar claro si la cantidad es un voltaje, una corriente u otra unidad de medida.

Objetivo

Hay varias razones para utilizar un sistema por unidad:

Los aparatos similares (generadores, transformadores, líneas) tendrán impedancias y pérdidas por unidad similares expresadas en su propia clasificación, independientemente de su tamaño absoluto. Debido a esto, los datos por unidad se pueden verificar rápidamente para detectar errores importantes. Vale la pena investigar si hay errores potenciales en un valor por unidad que esté fuera del rango normal.
Los fabricantes normalmente especifican la impedancia de los aparatos en valores unitarios.
El uso de la constante se reduce en los cálculos trifásicos. $\textstyle {\sqrt {3}}$
Las cantidades por unidad son las mismas en ambos lados de un transformador, independientemente del nivel de voltaje.
Al normalizar las cantidades a una base común, se simplifican tanto los cálculos manuales como los automáticos.
Mejora la estabilidad numérica de los métodos de cálculo automático.
La representación de datos por unidad proporciona información importante sobre las magnitudes relativas.

El sistema por unidad se desarrolló para facilitar el análisis manual de los sistemas de energía. Aunque ahora el análisis de los sistemas de energía se realiza por computadora, los resultados suelen expresarse como valores por unidad sobre una base conveniente para todo el sistema.

Cantidades base

Generalmente se eligen valores base de potencia y voltaje. La potencia base puede ser la potencia nominal de un solo aparato, como un motor o un generador. Si se está estudiando un sistema, la potencia base suele elegirse como un número redondo conveniente, como 10 MVA o 100 MVA. El voltaje base se elige como el voltaje nominal del sistema. Todas las demás cantidades base se derivan de estas dos cantidades base. Una vez que se eligen la potencia base y el voltaje base, la corriente base y la impedancia base se determinan mediante las leyes naturales de los circuitos eléctricos. El valor base solo debe ser una magnitud, mientras que el valor por unidad es un fasor. Los ángulos de fase de potencia compleja, voltaje, corriente, impedancia, etc., no se ven afectados por la conversión a valores por unidad.

El propósito de utilizar un sistema por unidad es simplificar la conversión entre diferentes transformadores. Por lo tanto, es apropiado ilustrar los pasos para encontrar valores por unidad para voltaje e impedancia. Primero, supongamos que la potencia base ( S _base ) de cada extremo de un transformador se vuelve la misma. Una vez que cada S se establece en la misma base, el voltaje base y la impedancia base para cada transformador se pueden obtener fácilmente. Luego, los números reales de impedancias y voltajes se pueden sustituir en la definición de cálculo por unidad para obtener las respuestas para el sistema por unidad. Si se conocen los valores por unidad, los valores reales se pueden obtener multiplicando por los valores base.

Por convención, se adoptan las dos reglas siguientes para las cantidades base:

El valor de potencia base es el mismo para todo el sistema de energía en cuestión.
La relación de las bases de voltaje en cada lado de un transformador se selecciona para que sea la misma que la relación de los voltajes nominales del transformador.

Con estas dos reglas, la impedancia por unidad permanece invariable cuando se la refiere de un lado al otro de un transformador. Esto permite eliminar el transformador ideal de un modelo de transformador.

Relación entre unidades

La relación entre unidades en un sistema por unidad depende de si el sistema es monofásico o trifásico .

Monofásico

Suponiendo que los valores base independientes son potencia y voltaje, tenemos:

P_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

V_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

Alternativamente, el valor base de la potencia puede darse en términos de potencia reactiva o aparente , en cuyo caso tenemos, respectivamente,

Q_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

S_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

El resto de unidades se pueden derivar de potencia y voltaje mediante las ecuaciones , , y ( ley de Ohm ), siendo representadas por . Tenemos: $S=IV$ $P=S\cos(\phi )$ $Q=S\sin(\phi )$ ${\underline {V}}={\underline {I}}{\underline {Z}}$ ${\estilo de visualización Z}$ ${\underline {Z}}=R+jX=Z\cos(\phi )+jZ\sin(\phi )$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{I_{\text{base}}V_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Trifásico

La potencia y el voltaje se especifican de la misma manera que en los sistemas monofásicos. Sin embargo, debido a las diferencias en lo que estos términos suelen representar en los sistemas trifásicos, las relaciones para las unidades derivadas son diferentes. En concreto, la potencia se expresa como potencia total (no por fase) y el voltaje es el voltaje de línea a línea. En los sistemas trifásicos, las ecuaciones y también se cumplen. La potencia aparente ahora es igual a $P=S\cos(\phi )$ $Q=S\sin(\phi )$ $S$ $S_{\text{base}}={\sqrt {3}}V_{\text{base}}I_{\text{base}}$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Ejemplo de por unidad

Como ejemplo de cómo se utiliza el factor por unidad, considere un sistema de transmisión de energía trifásico que maneja potencias del orden de 500 MW y utiliza una tensión nominal de 138 kV para la transmisión. Seleccionamos arbitrariamente y utilizamos la tensión nominal de 138 kV como tensión base . Entonces tenemos: $S_{\mathrm {base} }=500\,\mathrm {MVA}$ $V_{\mathrm {base} }$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=2.09\,\mathrm {kA}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=38.1\,\Omega

Y_{\mathrm {base} }={\frac {1}{Z_{\mathrm {base} }}}=26.3\,\mathrm {mS}

Si, por ejemplo, el voltaje real medido en uno de los buses es 136 kV, tenemos:

V_{\mathrm {pu} }={\frac {V}{V_{\mathrm {base} }}}={\frac {136\,\mathrm {kV} }{138\,\mathrm {kV} }}=0.9855\,\mathrm {pu}

Fórmulas del sistema por unidad

La siguiente tabulación de fórmulas de sistemas por unidad está adaptada del Manual de sistemas de energía industrial de Beeman .

En transformadores

Se puede demostrar que los voltajes, corrientes e impedancias en un sistema por unidad tendrán los mismos valores ya sea que se refieran al primario o al secundario de un transformador . ^[1]^{: 85}

Por ejemplo, en el caso del voltaje, podemos demostrar que los voltajes por unidad de los dos lados del transformador, lado 1 y lado 2, son los mismos. Aquí, los voltajes por unidad de los dos lados son E _1pu y E _2pu respectivamente.

{\begin{aligned}E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{base2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(Fuente: Conferencias sobre sistemas de energía de Alexandra von Meier, UC Berkeley)

E ₁ y E ₂ son los voltajes de los lados 1 y 2 en voltios. N ₁ es el número de vueltas que tiene la bobina del lado 1. N ₂ es el número de vueltas que tiene la bobina del lado 2. V _base1 y V _base2 son los voltajes de base de los lados 1 y 2.

V_{\text{base1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}

Para la corriente, podemos demostrar que las corrientes por unidad de los dos lados son las mismas a continuación.

{\begin{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(Fuente: Conferencias sobre sistemas de energía de Alexandra von Meier, UC Berkeley)

donde I _1,pu e I _2,pu son las corrientes por unidad de los lados 1 y 2 respectivamente. En este caso, las corrientes de base I _base1 e I _base2 están relacionadas de manera opuesta a como lo están V _base1 y V _base2 , es decir

{\begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}&=S_{\text{base2}}\\V_{\text{base2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}

La razón de esta relación es la conservación de energía.

S _base1 = S _base2

La pérdida de cobre a plena carga de un transformador en forma unitaria es igual al valor unitario de su resistencia:

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{full-load copper loss}}\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{base}}}}\\&={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\end{aligned}}$

Por lo tanto, puede ser más útil expresar la resistencia en forma de unidad, ya que también representa la pérdida de cobre a plena carga. ^[1]^{: 86}

Como se indicó anteriormente, existen dos grados de libertad dentro del sistema por unidad que permiten al ingeniero especificar cualquier sistema por unidad. Los grados de libertad son la elección del voltaje base ( V _base ) y la potencia base ( S _base ). Por convención, se elige una única potencia base ( S _base ) para ambos lados del transformador y su valor es igual a la potencia nominal del transformador. Por convención, en realidad se eligen dos voltajes base diferentes, V _base1 y V _base2, que son iguales a los voltajes nominales para cada lado del transformador. Al elegir las cantidades base de esta manera, el transformador se puede eliminar de manera efectiva del circuito como se describió anteriormente. Por ejemplo:

Tomemos un transformador de 10 kVA y 240/100 V. El lado secundario tiene una impedancia igual a 1∠0° Ω. La impedancia base en el lado secundario es igual a:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{\text{base,2}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Esto significa que la impedancia por unidad en el lado secundario es 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu Cuando esta impedancia se refiere al otro lado, la impedancia se convierte en:

${\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right)^{2}\times {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}$

La impedancia base para el lado primario se calcula de la misma manera que la del secundario:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{\text{base,1}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Esto significa que la impedancia por unidad es 5,76∠0° Ω / 5,76 Ω = 1∠0° pu, que es la misma que cuando se calcula desde el otro lado del transformador, como sería de esperar.

Otra herramienta útil para analizar transformadores es tener la fórmula de cambio de base que permite al ingeniero pasar de una impedancia base con un conjunto de voltaje base y potencia base a otra impedancia base para un conjunto diferente de voltaje base y potencia base. Esto resulta especialmente útil en aplicaciones de la vida real donde un transformador con un voltaje secundario de 1,2 kV puede estar conectado al lado primario de otro transformador cuyo voltaje nominal es de 1 kV. La fórmula es la que se muestra a continuación.

${\begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{base,new}}}}=Z_{\text{pu,old}}\times \left({\frac {V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}}\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned}}$

Referencias

^ ab Sen, PC (1997). Principios de máquinas eléctricas y electrónica de potencia . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-02295-4.

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