En neurociencia , la teoría clásica del cable utiliza modelos matemáticos para calcular la corriente eléctrica (y el voltaje que la acompaña ) a lo largo de las neuritas pasivas [a] , en particular las dendritas que reciben entradas sinápticas en diferentes sitios y momentos. Las estimaciones se realizan modelando las dendritas y los axones como cilindros compuestos de segmentos con capacitancias y resistencias combinadas en paralelo (ver Figura 1). La capacitancia de una fibra neuronal se produce porque las fuerzas electrostáticas actúan a través de la bicapa lipídica muy delgada (ver Figura 2). La resistencia en serie a lo largo de la fibra se debe a la resistencia significativa del axoplasma al movimiento de la carga eléctrica .
La teoría de cables en la neurociencia computacional tiene sus raíces en la década de 1850, cuando el profesor William Thomson (más tarde conocido como Lord Kelvin) comenzó a desarrollar modelos matemáticos de la descomposición de la señal en cables telegráficos submarinos (subacuáticos). Los modelos se parecían a las ecuaciones diferenciales parciales utilizadas por Fourier para describir la conducción del calor en un cable.
En la década de 1870, Hermann realizó los primeros intentos de modelar los potenciales electrotónicos neuronales , centrándose también en analogías con la conducción de calor. Sin embargo, fue Hoorweg quien descubrió por primera vez las analogías con los cables submarinos de Kelvin en 1898 y luego Hermann y Cremer quienes desarrollaron de forma independiente la teoría de cables para fibras neuronales a principios del siglo XX. Cole y Hodgkin (décadas de 1920 y 1930), Offner et al. (1940) y Rushton (1951) desarrollaron otras teorías matemáticas de la conducción de fibras nerviosas basadas en la teoría de cables.
La evidencia experimental de la importancia de la teoría de cables para modelar el comportamiento de los axones comenzó a surgir en la década de 1930 a partir del trabajo realizado por Cole, Curtis, Hodgkin, Sir Bernard Katz , Rushton, Tasaki y otros. Dos artículos clave de esta era son los de Davis y Lorente de Nó (1947) y Hodgkin y Rushton (1946).
En la década de 1950 se produjeron mejoras en las técnicas de medición de la actividad eléctrica de neuronas individuales . Así, la teoría del cable adquirió importancia para analizar los datos obtenidos a partir de registros intracelulares con microelectrodos y para analizar las propiedades eléctricas de las dendritas neuronales . Científicos como Coombs, Eccles , Fatt, Frank, Fuortes y otros recurrieron en gran medida a la teoría del cable para obtener información funcional sobre las neuronas y guiarse en el diseño de nuevos experimentos.
Más tarde, la teoría del cable con sus derivados matemáticos permitió que investigadores como Jack, Rall , Redman, Rinzel, Idan Segev, Tuckwell, Bell e Iannella exploraran modelos neuronales cada vez más sofisticados . Más recientemente, la teoría del cable se ha aplicado para modelar la actividad eléctrica en haces de neuronas en la materia blanca del cerebro. [1]
Nótese que existen varias convenciones de r m . Aquí r m y c m , como se introdujo anteriormente, se miden por unidad de longitud de membrana (por metro (m)). Por lo tanto, r m se mide en ohmios ·metros (Ω·m) y c m en faradios por metro (F/m). Esto contrasta con R m (en Ω·m 2 ) y C m (en F/m 2 ), que representan la resistencia y la capacitancia específicas respectivamente de una unidad de área de membrana (en m 2 ). Por lo tanto, si se conoce el radio, a , del axón, [b] entonces su circunferencia es 2 πa , y sus valores de r m y c m se pueden calcular como:
Estas relaciones tienen sentido intuitivamente, porque cuanto mayor es la circunferencia del axón, mayor es el área por la que la carga puede escapar a través de su membrana y, por lo tanto, menor es la resistencia de la membrana (dividiendo R m por 2 πa ); y más membrana disponible para almacenar carga (multiplicando C m por 2 πa ). La resistencia eléctrica específica , ρ l , del axoplasma permite calcular la resistencia intracelular longitudinal por unidad de longitud, r l , (en Ω·m −1 ) mediante la ecuación:
Cuanto mayor sea la sección transversal del axón, πa 2 , mayor será el número de caminos para que la carga fluya a través de su axoplasma y menor la resistencia axoplásmica.
Recientemente, varias vías importantes para ampliar la teoría clásica del cable han visto la introducción de estructuras endógenas para analizar los efectos de la polarización de proteínas dentro de las dendritas y diferentes distribuciones de entrada sináptica sobre la superficie dendrítica de una neurona.
Para entender mejor cómo se deriva la ecuación del cable, primero simplifiquemos aún más la neurona teórica y pretendamos que tiene una membrana perfectamente sellada ( r m = ∞) sin pérdida de corriente hacia el exterior y sin capacitancia ( c m = 0). Una corriente inyectada en la fibra [c] en la posición x = 0 se movería a lo largo del interior de la fibra sin cambios. Alejándonos del punto de inyección y utilizando la ley de Ohm ( V = IR ) podemos calcular el cambio de voltaje como:
donde el negativo es porque la corriente fluye hacia abajo por el gradiente de potencial.
Dejando que Δ x tienda hacia cero y teniendo incrementos infinitamente pequeños de x , se puede escribir ( 4 ) como:
o
Volver a introducir r m en la imagen es como hacer agujeros en una manguera de jardín. Cuantos más agujeros, más rápido escapará el agua de la manguera y menos agua viajará desde el principio de la manguera hasta el final. De manera similar, en un axón, parte de la corriente que viaja longitudinalmente a través del axoplasma escapará a través de la membrana.
Si i m es la corriente que escapa a través de la membrana por unidad de longitud, m, entonces la corriente total que escapa a lo largo de y unidades debe ser y·i m . Por lo tanto, el cambio de corriente en el axoplasma, Δ i l , a la distancia, Δ x , desde la posición x = 0 se puede escribir como:
o, utilizando incrementos continuos, infinitesimalmente pequeños:
Se puede expresar con otra fórmula, incluyendo la capacitancia. La capacitancia provocará un flujo de carga (una corriente) hacia la membrana del lado del citoplasma. Esta corriente se suele denominar corriente de desplazamiento (aquí se denota como ). El flujo solo se producirá mientras no se haya alcanzado la capacidad de almacenamiento de la membrana. Se puede expresar entonces como:
donde es la capacitancia de la membrana y es el cambio de voltaje a lo largo del tiempo. La corriente que pasa por la membrana ( ) se puede expresar como:
y porque la siguiente ecuación se puede derivar si no se agrega corriente adicional desde un electrodo:
donde representa el cambio por unidad de longitud de la corriente longitudinal.
Combinando las ecuaciones ( 6 ) y ( 11 ) se obtiene una primera versión de una ecuación de cable:
que es una ecuación diferencial parcial (EDP) de segundo orden .
Mediante una simple reorganización de la ecuación ( 12 ) (ver más adelante) es posible hacer que aparezcan dos términos importantes, a saber, la constante de longitud (a veces denominada constante de espacio) denotada por y la constante de tiempo denotada por . Las siguientes secciones se centran en estos términos.
La constante de longitud (lambda) es un parámetro que indica hasta qué punto una corriente estacionaria influirá en el voltaje a lo largo del cable. Cuanto mayor sea el valor de , más lejos fluirá la carga. La constante de longitud se puede expresar como:
Cuanto mayor sea la resistencia de la membrana, r m , mayor será el valor de , y más corriente permanecerá dentro del axoplasma para viajar longitudinalmente a través del axón. Cuanto mayor sea la resistencia axoplásmica, , menor será el valor de , más difícil será para la corriente viajar a través del axoplasma, y menos tiempo podrá viajar la corriente. Es posible resolver la ecuación ( 12 ) y llegar a la siguiente ecuación (que es válida en condiciones de estado estable, es decir, cuando el tiempo se acerca al infinito):
Donde es la despolarización en (punto de inyección de corriente), e es la constante exponencial (valor aproximado 2,71828) y es el voltaje a una distancia dada x desde x = 0. Cuando entonces
y
lo que significa que cuando medimos a distancia obtenemos
Por lo tanto siempre es 36,8 por ciento de .
Los neurocientíficos suelen estar interesados en saber con qué rapidez cambia el potencial de membrana, , de un axón en respuesta a los cambios en la corriente inyectada en el axoplasma. La constante de tiempo, , es un índice que proporciona información sobre ese valor. se puede calcular como:
Cuanto mayor sea la capacitancia de la membrana, más corriente se necesita para cargar y descargar un trozo de membrana y más tiempo llevará este proceso. Cuanto mayor sea la resistencia de la membrana , más difícil será que una corriente induzca un cambio en el potencial de membrana. Por lo tanto, cuanto mayor sea, más lento puede viajar el impulso nervioso. Eso significa que el potencial de membrana (voltaje a través de la membrana) se retrasa más con respecto a las inyecciones de corriente. Los tiempos de respuesta varían de 1 a 2 milisegundos en las neuronas que procesan información que necesita una alta precisión temporal a 100 milisegundos o más. Un tiempo de respuesta típico es de alrededor de 20 milisegundos.
Si multiplicamos la ecuación ( 12 ) por en ambos lados del signo igual obtenemos:
y reconocer en el lado izquierdo y en el lado derecho. La ecuación del cable ahora se puede escribir en su forma quizás más conocida:
Esta es una ecuación de calor 1D o ecuación de difusión para la cual se han desarrollado muchos métodos de solución, como las funciones de Green y los métodos de Fourier.
También es un caso degenerado especial de la ecuación del Telegrapher , donde la inductancia se desvanece y la velocidad de propagación de la señal es infinita.
