Politopo complejo

En geometría , un politopo complejo es una generalización de un politopo en el espacio real a una estructura análoga en un espacio de Hilbert complejo , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria .

Un politopo complejo puede entenderse como una colección de puntos, líneas, planos, etc. complejos, donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, y así sucesivamente.

Sólo existen definiciones precisas para los politopos complejos regulares, que son configuraciones . Los politopos complejos regulares han sido completamente caracterizados y pueden describirse utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .

También se han descrito algunos politopos complejos que no son totalmente regulares.

Definiciones e introducción

La línea compleja tiene una dimensión con coordenadas reales y otra con coordenadas imaginarias . Se dice que al aplicar coordenadas reales a ambas dimensiones se obtienen dos dimensiones sobre los números reales. Un plano real, con el eje imaginario etiquetado como tal, se denomina diagrama de Argand . Por eso, a veces se lo denomina plano complejo. El espacio complejo de 2 dimensiones (también llamado a veces plano complejo) es, por tanto, un espacio de cuatro dimensiones sobre los números reales, y así sucesivamente en dimensiones superiores. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

Un politopo complejo n en un espacio n complejo es el análogo de un politopo real n en un espacio n real . Sin embargo, no existe un análogo complejo natural del ordenamiento de los puntos en una línea real (ni de las propiedades combinatorias asociadas). Por ello, un politopo complejo no puede verse como una superficie contigua y no limita un interior como lo hace un politopo real.

En el caso de los politopos regulares , se puede hacer una definición precisa utilizando la noción de simetría. Para cualquier politopo regular , el grupo de simetría (aquí un grupo de reflexión complejo , llamado grupo de Shephard ) actúa transitivamente sobre los flags , es decir, sobre las sucesiones anidadas de un punto contenido en una línea contenida en un plano, y así sucesivamente.

De manera más completa, digamos que una colección P de subespacios afines (o planos ) de un espacio unitario complejo V de dimensión n es un politopo complejo regular si cumple las siguientes condiciones: ^{[1] [2]}

• para cada −1 ≤ i < j < k ≤ n , si F es un plano en P de dimensión i y H es un plano en P de dimensión k tal que F ⊂ H entonces hay al menos dos planos G en P de dimensión j tales que F ⊂ G ⊂ H ;
• para cada i , j tales que −1 ≤ i < j − 2, j ≤ n , si F ⊂ G son planos de P de dimensiones i , j , entonces el conjunto de planos entre F y G es conexo, en el sentido de que se puede llegar desde cualquier miembro de este conjunto a cualquier otro mediante una secuencia de contenciones; y
• el subconjunto de transformaciones unitarias de V que fijan P son transitivas sobre las banderas F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n de planos de P (con F _i de dimensión i para todo i ).

(Aquí, un plano de dimensión −1 se toma como el conjunto vacío.) Por lo tanto, por definición, los politopos complejos regulares son configuraciones en el espacio unitario complejo.

Los politopos complejos regulares fueron descubiertos por Shephard (1952) y la teoría fue desarrollada posteriormente por Coxeter (1974).

Un politopo complejo existe en el espacio complejo de dimensión equivalente. Por ejemplo, los vértices de un polígono complejo son puntos en el plano complejo (un plano en el que cada punto tiene dos números complejos como coordenadas, que no debe confundirse con el plano de Argand de números complejos), y las aristas son líneas complejas que existen como subespacios (afines) del plano y se intersecan en los vértices. Por lo tanto, como espacio complejo unidimensional, a una arista se le puede dar su propio sistema de coordenadas, dentro del cual los puntos de la arista están representados cada uno por un solo número complejo. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

En un politopo complejo regular, los vértices incidentes en la arista están dispuestos simétricamente respecto de su centroide , que a menudo se utiliza como el origen del sistema de coordenadas de la arista (en el caso real, el centroide es simplemente el punto medio de la arista). La simetría surge de una reflexión compleja sobre el centroide; esta reflexión dejará la magnitud de cualquier vértice sin cambios, pero cambiará su argumento en una cantidad fija, moviéndolo a las coordenadas del siguiente vértice en orden. Por lo tanto, podemos suponer (después de una elección adecuada de la escala) que los vértices en la arista satisfacen la ecuación donde p es el número de vértices incidentes. Por lo tanto, en el diagrama de Argand de la arista, los puntos de vértice se encuentran en los vértices de un polígono regular centrado en el origen. ${\displaystyle x^{p}-1=0}$

Arriba se ilustran tres proyecciones reales del polígono complejo regular 4{4}2, con aristas a, b, c, d, e, f, g, h . Tiene 16 vértices, que para mayor claridad no se han marcado individualmente. Cada arista tiene cuatro vértices y cada vértice se encuentra sobre dos aristas, por lo tanto, cada arista se encuentra con otras cuatro aristas. En el primer diagrama, cada arista está representada por un cuadrado. Los lados del cuadrado no son partes del polígono, sino que se dibujan simplemente para ayudar a relacionar visualmente los cuatro vértices. Las aristas están dispuestas simétricamente. (Obsérvese que el diagrama parece similar a la proyección del plano de Coxeter B 4 del teseracto , pero es estructuralmente diferente).

El diagrama central abandona la simetría octogonal en favor de la claridad. Cada arista se muestra como una línea real y cada punto de encuentro de dos líneas es un vértice. La conectividad entre las distintas aristas es evidente.

El último diagrama da una idea de la estructura proyectada en tres dimensiones: los dos cubos de vértices son de hecho del mismo tamaño, pero se ven en perspectiva a diferentes distancias en la cuarta dimensión.

Politopos regulares complejos unidimensionales

Los 1-politopos complejos se representan en el plano de Argand como polígonos regulares para p = 2, 3, 4, 5 y 6, con vértices negros. El centroide de los p vértices se muestra en rojo. Los lados de los polígonos representan una aplicación del generador de simetría, que asigna cada vértice a la siguiente copia en sentido antihorario. Estos lados poligonales no son elementos de borde del politopo, ya que un 1-politopo complejo no puede tener bordes (a menudo es un borde complejo) y solo contiene elementos de vértice.

Un politopo unidimensional real existe como un segmento cerrado en la línea real , definido por sus dos puntos finales o vértices en la línea. Su símbolo de Schläfli es {} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

De manera análoga, un politopo 1 complejo existe como un conjunto de p puntos de vértice en la línea compleja . Estos pueden representarse como un conjunto de puntos en un diagrama de Argand ( x , y )= x + iy . Un politopo regular complejo unidimensional _p {} tiene p ( p ≥ 2) puntos de vértice dispuestos para formar un polígono regular convexo { p } en el plano de Argand. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

A diferencia de los puntos de la recta real, los puntos de la recta compleja no tienen un orden natural. Por lo tanto, a diferencia de los politopos reales, no se puede definir ningún interior. ^[5] A pesar de esto, los 1-politopos complejos se dibujan a menudo, como aquí, como un polígono regular acotado en el plano de Argand.

Una arista real se genera como la línea entre un punto y su imagen reflejada en un espejo. Una reflexión unitaria de orden 2 puede verse como una rotación de 180 grados alrededor de un centro. Una arista está inactiva si el punto generador está en la línea reflejada o en el centro.

Un politopo real regular unidimensional se representa mediante un símbolo de Schläfli vacío {}, o diagrama de Coxeter-Dynkin El punto o nodo del diagrama de Coxeter-Dynkin representa en sí mismo un generador de reflexión, mientras que el círculo alrededor del nodo significa que el punto generador no está en la reflexión, por lo que su imagen reflejada es un punto distinto de sí mismo. Por extensión, un politopo regular complejo unidimensional en tiene diagrama de Coxeter-Dynkin ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ , para cualquier entero positivo p , 2 o mayor, que contenga p vértices. p se puede suprimir si es 2. También se puede representar mediante un símbolo de Schläfli vacío _p {}, } _p {, {} _p o _p {2} ₁ . El 1 es un marcador de posición de notación, que representa una reflexión inexistente o un generador de identidad de período 1. (Un politopo 0, real o complejo es un punto y se representa como } { o ₁ {2} ₁ ).

La simetría se denota mediante el diagrama de Coxeter. , y puede describirse alternativamente en notación de Coxeter como _p [], [] _p o ] _p [, _p [2] ₁ o _p [1] _p . La simetría es isomorfa al grupo cíclico , orden p . ^[6] Los subgrupos de _p [] son ​​cualquier divisor entero d , _d [], donde d ≥2.

Un generador de operador unitario parase ve como una rotación de 2π/ p radianes en sentido antihorario y unaEl borde se crea mediante aplicaciones secuenciales de una única reflexión unitaria. Un generador de reflexión unitaria para un 1-politopo con p vértices es e ^{2π i / p} = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p ) . Cuando p = 2, el generador es e ^{π i} = –1, lo mismo que una reflexión puntual en el plano real.

En politopos de mayor complejidad, los politopos 1 forman aristas p . Una arista 2 es similar a una arista real ordinaria, en el sentido de que contiene dos vértices, pero no necesita existir en una línea real.

Polígonos regulares complejos

Mientras que los 1-politopos pueden tener p ilimitados , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de prisma doble _p {4} ₂ , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales), y los apeirógonos regulares infinitos también incluyen elementos de 6 aristas (aristas hexagonales).

Notaciones

Notación Schläfli modificada de Shephard

Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p ₁ -aristas, con un p ₂ -conjunto como figura de vértice y un grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p ₁ ( g ) p ₂ .

El número de vértices V es entonces g / p ₂ y el número de aristas E es g / p ₁ .

El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( p ₁ = 4) y dieciséis vértices ( p ₂ = 2). De esto podemos deducir que g = 32, lo que da el símbolo de Schläfli modificado 4(32)2.

Notación Schläfli modificada revisada de Coxeter

Una notación más moderna _{p 1} { q } _{p 2} se debe a Coxeter , ^[7] y se basa en la teoría de grupos. Como grupo de simetría, su símbolo es _{p 1} [ q ] _{p 2} .

El grupo de simetría _{p 1} [ q ] _{p 2} está representado por 2 generadores R ₁ , R ₂ , donde: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Si q es par, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Si q es impar, (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . Cuando q es impar, p ₁ = p ₂ .

Para ₄ [4] ₂ tiene R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Para ₃ [5] ₃ tiene R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Diagramas de Coxeter-Dynkin

Coxeter también generalizó el uso de los diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos, por ejemplo, el polígono complejo _p { q } _r se representa mediantey el grupo de simetría equivalente, _p [ q ] _r , es un diagrama sin anilloLos nodos p y r representan espejos que producen imágenes p y r en el plano. Los nodos sin etiquetar en un diagrama tienen etiquetas 2 implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real es ₂ { q } ₂ o { q } o.

Una limitación: los nodos conectados por órdenes de ramificación impares deben tener órdenes de nodos idénticos. Si no es así, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos.yson ordinarios, mientrasEstá estrellado.

12 grupos de Shephard irreducibles

12 grupos de Shephard irreducibles con sus relaciones de índice de subgrupo. ^[8] Los subgrupos de índice 2 se relacionan eliminando una reflexión real:
_p [2 q ] ₂ → _p [ q ] _p , índice 2.
_p [4] _q → _p [ q ] _p , índice q .

_p [4] ₂ subgrupos: p=2,3,4...
_p [4] ₂ → [ p ], índice p
_p [4] ₂ → _p []× _p [], índice 2

Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en . Un polígono complejo regular, _p { q } _r o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, tiene p -aristas y r -figuras de vértices gonales . _p { q } _r es un politopo finito si ( p + r ) q > pr ( q -2).

Su simetría se escribe como _p [ q ] _r , llamado grupo de Shephard , análogo a un grupo de Coxeter , aunque también permite reflexiones unitarias .

Para los grupos no estelares, el orden del grupo _p [ q ] _r se puede calcular como . ^[9] ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

El número de Coxeter para _p [ q ] _r es , por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Se puede dibujar un polígono complejo regular en proyección ortogonal con simetría h -gonal. ${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$ ${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:

Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [ 5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ y ₃ [11] ₂ .

Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos:,,,,, y.

El polígono dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un polígono de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semisimetría _p [ q ] _p , por lo que un polígono regulares lo mismo que cuasirregular. Además, polígono regular con el mismo orden de nodos,, tienen una construcción alternada, permitiendo que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. ^[10]

El orden de grupo, g , se utiliza para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá g / r vértices y g / p aristas. Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.

Generadores de matrices

El grupo p [ q ] r ,, se puede representar mediante dos matrices: ^[11]

Con

k= ${\displaystyle {\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

Ejemplos

Enumeración de polígonos regulares complejos

Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos complejos regulares. ^[12]

Visualizaciones de polígonos regulares complejos

Los polígonos de la forma _p {2 r } _q se pueden visualizar mediante q conjuntos de colores de p -aristas. Cada p -arista se ve como un polígono regular, aunque no hay caras.

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos ₂ { r } _q

Los polígonos de la forma ₂ {4} _q se denominan ortoplexos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides 4D q - q , vértices conectados por 2 aristas.

• 
  ₂ {4} ₂ ,, con 4 vértices y 4 aristas
• 
  ₂ {4} ₃ ,, con 6 vértices y 9 aristas ^[13]
• 
  ₂ {4} ₄ ,, con 8 vértices y 16 aristas
• 
  ₂ {4} ₅ ,, con 10 vértices y 25 aristas
• 
  ₂ {4} ₆ ,, con 12 vértices y 36 aristas
• 
  ₂ {4} ₇ ,, con 14 vértices y 49 aristas
• 
  ₂ {4} ₈ ,, con 16 vértices y 64 aristas
• 
  ₂ {4} ₉ ,, con 18 vértices y 81 aristas
• 
  ₂ {4} ₁₀ ,, con 20 vértices y 100 aristas

Polígonos complejos _p {4} ₂

Los polígonos de la forma _p {4} ₂ se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas 4D p - p , vértices conectados por p-aristas. Los vértices se dibujan en verde y las p -aristas se dibujan en colores alternos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para las dimensiones impares para mover los vértices superpuestos desde el centro.

• 
  ₂ {4} ₂ ,o, con 4 vértices y 4 aristas de 2 caras
• 
  ₃ {4} ₂ ,o, con 9 vértices y 6 aristas triangulares ^[13]
• 
  ₄ {4} ₂ ,o, con 16 vértices y 8 aristas cuadradas de 4 lados
• 
  ₅ {4} ₂ ,o, con 25 vértices y 10 aristas de 5 lados (pentagonales)
• 
  ₆ {4} ₂ ,o, con 36 vértices y 12 aristas (hexagonales) de 6
• 
  ₇ {4} ₂ ,o, con 49 vértices y 14 aristas (heptagonales) de 7 lados
• 
  ₈ {4} ₂ ,o, con 64 vértices y 16 aristas de 8 caras (octagonales)
• 
  ₉ {4} ₂ ,o, con 81 vértices y 18 aristas de 9 lados (aneogonales)
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,o, con 100 vértices y 20 aristas decagonales de 10 puntos

Proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos _p {4} ₂ . Los duales ₂ {4} _p

se ven agregando vértices dentro de los bordes y agregando bordes en lugar de vértices.

• 
  ₃ {4} ₂ , ocon 9 vértices, 6 aristas de 3 lados en 2 conjuntos de colores
• 
  ₂ {4} ₃ ,con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
• 
  ₄ {4} ₂ ,ocon 16 vértices, 8 de 4 aristas en 2 conjuntos de colores y cuadrado relleno de 4 aristas
• 
  ₅ {4} ₂ ,ocon 25 vértices, 10 de 5 aristas en 2 conjuntos de colores

Otros polígonos complejos _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ ,o, con 24 vértices en negro y 16 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[14]
• 
  ₃ {8} ₂ ,o, con 72 vértices en negro y 48 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[15]

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos, _p { r } _p

Los polígonos de la forma _p { r } _p tienen el mismo número de vértices y aristas. También son autoduales.

• 
  ₃ {3} ₃ ,o, con 8 vértices en negro y 8 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[16]
• 
  ₃ {4} ₃ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 3 lados que se muestran en 3 conjuntos de colores, un conjunto lleno ^[17]
• 
  ₄ {3} ₄ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 4 lados que se muestran en 4 conjuntos de colores ^[17]
• 
  ₃ {5} ₃ ,o, con 120 vértices y 120 3 aristas ^[18]
• 
  ₅ {3} ₅ ,o, con 120 vértices y 120 aristas de 5 puntos ^[19]

Politopos complejos regulares

En general, un politopo complejo regular se representa por Coxeter como _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ... o diagrama de Coxeter..., que tiene simetría _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s ... o.... ^[20]

Existen infinitas familias de politopos complejos regulares que se dan en todas las dimensiones, generalizando los hipercubos y politopos cruzados en el espacio real. El "ortótopo generalizado" de Shephard generaliza el hipercubo; su símbolo es γ.^pn
_​= _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂ y diagrama...Su grupo de simetría tiene el diagrama _p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂ ; en la clasificación de Shephard–Todd, este es el grupo G( p , 1, n ) que generaliza las matrices de permutación con signo. Su politopo regular dual, el "politopo cruzado generalizado", se representa con el símbolo β^pn
_​= ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _p y diagrama.... ^[21]

Un politopo complejo regular unidimensional se representa como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, que tiene p vértices, y su representación real es un polígono regular , { p }. Coxeter también le da el símbolo γ^pág.
₁o β^pág.
₁como hipercubo generalizado unidimensional o politopo cruzado. Su simetría es _p [] o, un grupo cíclico de orden p . En un politopo superior, _p {} orepresenta un elemento de borde p , con un borde 2, {} o, que representa un borde real ordinario entre dos vértices. ^[21]

Un politopo complejo dual se construye intercambiando k y ( n -1- k )-elementos de un n -politopo. Por ejemplo, un polígono complejo dual tiene vértices centrados en cada arista, y las nuevas aristas están centradas en los vértices antiguos. Un vértice de v -valencia crea una nueva arista v , y las aristas e se convierten en vértices de e -valencia. ^[22] El dual de un politopo complejo regular tiene un símbolo invertido. Los politopos complejos regulares con símbolos simétricos, es decir , _p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p , etc. son autoduales .

Enumeración de poliedros regulares complejos

Algunos grupos de Shephard de rango 3 con sus órdenes de grupo y las relaciones de subgrupos reflexivos

Coxeter enumeró esta lista de poliedros complejos regulares no estelares en , incluidos los 5 sólidos platónicos en . ^[23] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Un poliedro complejo regular, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r o, tienecaras,bordes, y figuras de vértice .

Un poliedro regular complejo _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r requiere que tanto g ₁ = order( _p [ n ₁ ] _q ) como g ₂ = order( _q [ n ₂ ] _r ) sean finitos.

Dado g = orden ( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ), el número de vértices es g / g ₂ , y el número de caras es g / g ₁ . El número de aristas es g / pr .

Visualizaciones de poliedros complejos regulares

Proyecciones ortogonales 2D de poliedros complejos, _p { s } _t { r } _r

• 
  Real {3,3} ,otiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃ ,o, tiene 27 vértices, 72 aristas triples y 27 caras, con una cara resaltada en azul. ^[25]
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃ ,tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72 caras, con una cara resaltada en azul. ^[26]
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂ ,o, tiene 72 vértices, 216 3 aristas y 54 vértices, con una cara resaltada en azul. ^[27]

Octaedros generalizados

Los octaedros generalizados tienen una construcción regular comoy forma cuasirregular como. Todos los elementos son símplex .

• 
  Real {3,4} ,o, con 6 vértices, 12 aristas y 8 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,o, con 9 vértices, 27 aristas y 27 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,o, con 12 vértices, 48 ​​aristas y 64 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,o, con 15 vértices, 75 aristas y 125 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,o, con 18 vértices, 108 aristas y 216 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,o, con 21 vértices, 147 aristas y 343 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,o, con 24 vértices, 192 aristas y 512 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,o, con 27 vértices, 243 aristas y 729 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,o, con 30 vértices, 300 aristas y 1000 caras

Cubos generalizados

Los cubos generalizados tienen una construcción regular comoy construcción prismática como, un producto de tres 1-politopos p -gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

• 
  Real {4,3} ,otiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ ,otiene 27 vértices, 27 aristas triples y 9 caras ^[25]
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 64 vértices, 48 ​​aristas y 12 caras
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 125 vértices, 75 aristas y 15 caras
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 216 vértices, 108 aristas y 18 caras
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 343 vértices, 147 aristas y 21 caras
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 512 vértices, 192 aristas y 24 caras
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 729 vértices, 243 aristas y 27 caras
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 1000 vértices, 300 aristas y 30 caras

Enumeración de 4-politopos complejos regulares

Coxeter enumeró esta lista de 4-politopos complejos regulares no estelares en , incluidos los 6 4-politopos regulares convexos en . ^[23] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Visualizaciones de 4-politopos complejos regulares

• 
  Verdadero {3,3,3} ,, tenía 5 vértices, 10 aristas, 10 {3} caras y 5 {3,3} celdas
• 
  Real {3,4,3} ,, tenía 24 vértices, 96 aristas, 96 {3} caras y 24 {3,4} celdas
• 
  Real {5,3,3} ,, tenía 600 vértices, 1200 aristas, 720 {5} caras y 120 {5,3} celdas
• 
  Real {3,3,5} ,, tenía 120 vértices, 720 aristas, 1200 {3} caras y 600 {3,3} celdas
• 
  Politopo ingenioso ,, tiene 240 vértices, 2160 3 aristas, 2160 3{3}3 caras y 240 3{3}3{3}3 celdas

4-ortoplexes generalizados

Los 4-ortoplex generalizados tienen una construcción regular comoy forma cuasirregular como. Todos los elementos son símplex .

• 
  Real {3,3,4} ,o, con 8 vértices, 24 aristas, 32 caras y 16 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,o, con 12 vértices, 54 aristas, 108 caras y 81 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,o, con 16 vértices, 96 aristas, 256 caras y 256 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,o, con 20 vértices, 150 aristas, 500 caras y 625 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,o, con 24 vértices, 216 aristas, 864 caras y 1296 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,o, con 28 vértices, 294 aristas, 1372 caras y 2401 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,o, con 32 vértices, 384 aristas, 2048 caras y 4096 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,o, con 36 vértices, 486 aristas, 2916 caras y 6561 celdas
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,o, con 40 vértices, 600 aristas, 4000 caras y 10000 celdas

4 cubos generalizados

Los teseractos generalizados tienen una construcción regular comoy construcción prismática como, un producto de cuatro 1-politopos p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

• 
  Verdadero {4,3,3} ,o, con 16 vértices, 32 aristas, 24 caras y 8 celdas
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 81 vértices, 108 aristas, 54 caras y 12 celdas
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 256 vértices, 96 aristas, 96 caras y 16 celdas
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 625 vértices, 500 aristas, 150 caras y 20 celdas
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 1296 vértices, 864 aristas, 216 caras y 24 celdas
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 2401 vértices, 1372 aristas, 294 caras y 28 celdas
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 4096 vértices, 2048 aristas, 384 caras y 32 celdas
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 6561 vértices, 2916 aristas, 486 caras y 36 celdas
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,o, con 10000 vértices, 4000 aristas, 600 caras y 40 celdas

Enumeración de 5-politopos complejos regulares

Los politopos complejos regulares de 5 o más dígitos existen en tres familias: los símplex reales y los hipercubos generalizados y ortoplex . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

Visualizaciones de 5-politopos complejos regulares

5-ortoplexes generalizados

Los 5-ortoplexes generalizados tienen una construcción regular comoy forma cuasirregular como. Todos los elementos son símplex .

• 
  Verdadero {3,3,3,4} ,, con 10 vértices, 40 aristas, 80 caras, 80 celdas y 32 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,, con 15 vértices, 90 aristas, 270 caras, 405 celdas y 243 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,, con 20 vértices, 160 aristas, 640 caras, 1280 celdas y 1024 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,, con 25 vértices, 250 aristas, 1250 caras, 3125 celdas y 3125 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,, con 30 vértices, 360 aristas, 2160 caras, 6480 celdas, 7776 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,, con 35 vértices, 490 aristas, 3430 caras, 12005 celdas, 16807 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,, con 40 vértices, 640 aristas, 5120 caras, 20480 celdas, 32768 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,, con 45 vértices, 810 aristas, 7290 caras, 32805 celdas, 59049 4 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,, con 50 vértices, 1000 aristas, 10000 caras, 50000 celdas, 100000 4 caras

5 cubos generalizados

Los 5-cubos generalizados tienen una construcción regular comoy construcción prismática como, un producto de cinco 1-politopos p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

• 
  Verdadero {4,3,3,3} ,, con 32 vértices, 80 aristas, 80 caras, 40 celdas y 10 de 4 caras
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 243 vértices, 405 aristas, 270 caras, 90 celdas y 15 de 4 caras
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 1024 vértices, 1280 aristas, 640 caras, 160 celdas y 20 de 4 caras
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 3125 vértices, 3125 aristas, 1250 caras, 250 celdas y 25 4 caras
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 7776 vértices, 6480 aristas, 2160 caras, 360 celdas y 30 de 4 caras

Enumeración de 6-politopos complejos regulares

Visualizaciones de 6-politopos complejos regulares

6-ortoplexes generalizados

Los 6-ortoplexes generalizados tienen una construcción regular comoy forma cuasirregular como. Todos los elementos son símplex .

• 
  Verdadero {3,3,3,3,4} ,, con 12 vértices, 60 aristas, 160 caras, 240 celdas, 192 de 4 caras y 64 de 5 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,, con 18 vértices, 135 aristas, 540 caras, 1215 celdas, 1458 de 4 caras y 729 de 5 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,, con 24 vértices, 240 aristas, 1280 caras, 3840 celdas, 6144 de 4 caras y 4096 de 5 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,, con 30 vértices, 375 aristas, 2500 caras, 9375 celdas, 18750 de 4 caras y 15625 de 5 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,, con 36 vértices, 540 aristas, 4320 caras, 19440 celdas, 46656 de 4 caras y 46656 de 5 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,, con 42 vértices, 735 aristas, 6860 caras, 36015 celdas, 100842 4-caras, 117649 5-caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,, con 48 vértices, 960 aristas, 10240 caras, 61440 celdas, 196608 4 caras, 262144 5 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,, con 54 vértices, 1215 aristas, 14580 caras, 98415 celdas, 354294 4-caras, 531441 5-caras
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,, con 60 vértices, 1500 aristas, 20000 caras, 150000 celdas, 600000 de 4 caras, 1000000 de 5 caras

6 cubos generalizados

Los 6-cubos generalizados tienen una construcción regular comoy construcción prismática como, un producto de seis 1-politopos p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

• 
  Verdadero {3,3,3,3,3,4} ,, con 64 vértices, 192 aristas, 240 caras, 160 celdas, 60 de 4 caras y 12 de 5 caras
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 729 vértices, 1458 aristas, 1215 caras, 540 celdas, 135 de 4 caras y 18 de 5 caras
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 4096 vértices, 6144 aristas, 3840 caras, 1280 celdas, 240 de 4 caras y 24 de 5 caras
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, con 15625 vértices, 18750 aristas, 9375 caras, 2500 celdas, 375 de 4 caras y 30 de 5 caras

Enumeración de aperiótopos complejos regulares

Coxeter enumeró esta lista de apeirótopos o panales complejos regulares no estelares. ^[28]

Para cada dimensión hay 12 apeirótopos simbolizados como δ^{p , rn}
₊₁existe en cualquier dimensión , o si p = q = 2. Coxeter los llama panales cúbicos generalizados para n > 2. ^[29] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Cada uno tiene recuentos de elementos proporcionales dados como:

k-caras = , donde y n ! denota el factorial de n . ${\displaystyle {n \choose k}p^{n-k}r^{k}}$ ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$

1-politopos complejos regulares

El único 1-politopo complejo regular es _∞ {}, oSu representación real es un apeirógono , {∞}, o.

Apeirogonos complejos regulares

Algunos subgrupos de los grupos de Shephard apeirogonales

11 apeirógonos complejos _p { q } _r con los interiores de las aristas coloreados en azul claro y las aristas alrededor de un vértice coloreadas individualmente. Los vértices se muestran como pequeños cuadrados negros. Las aristas se ven como polígonos regulares de p lados y las figuras de vértices son r -gonales.

Un apeirógono cuasirregulares una mezcla de dos apeirógonos regularesy, visto aquí con bordes azules y rosas.tiene un solo color de bordes porque q es impar, lo que lo convierte en una cubierta doble.

Los apeirógonos complejos de rango 2 tienen simetría _p [ q ] _r , donde 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Coxeter los expresa como δ^{p , r}
₂donde q está restringido a satisfacer q = 2/(1 – ( p + r )/ pr ) . ^[30]

Hay 8 soluciones:

Hay dos soluciones excluidas, q impar y p y r desiguales : ₁₀ [5] ₂ y ₁₂ [3] ₄ , o y .

Un apeirógono complejo regular _p { q } _r tiene p -aristas y figuras de vértices r -gonales. El apeirógono dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un apeirógono de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semisimetría _p [ q ] _p , por lo que un apeirógono regulares lo mismo que cuasirregular. ^[31]

Los apeirógonos se pueden representar en el plano de Argand y comparten cuatro disposiciones de vértices diferentes. Los apeirógonos de la forma ₂ { q } _r tienen una disposición de vértices como { q /2, p }. La forma _p { q } ₂ tiene una disposición de vértices como r{ p , q /2}. Los apeirógonos de la forma _p {4} _r tienen disposiciones de vértices { p , r }.

Incluyendo nodos afines, y , hay 3 soluciones infinitas más: _∞ [2] _∞ , _∞ [4] ₂ , _∞ [3] ₃ , y ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$,, yEl primero es un subgrupo de índice 2 del segundo. Los vértices de estos apeirógonos existen en . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

Apeiroedros complejos regulares

Existen 22 apeiroedros complejos regulares de la forma _p { a } _q { b } _r . 8 son autoduales ( p = r y a = b ), mientras que 14 existen como pares de politopos duales. Tres son completamente reales ( p = q = r =2).

Coxeter simboliza a 12 de ellos como δ^{p , r}
₃o _p {4} ₂ {4} _r es la forma regular del producto aperiótopo δ^{p , r}
₂× δ^{p , r}
₂o _p { q } _r × _p { q } _r , donde q se determina a partir de p y r .

es lo mismo que, así como, para p , r = 2,3,4,6. También=. ^[33]

3-apeirotopos complejos regulares

Hay 16 aperiótopos complejos regulares en . Coxeter expresa 12 de ellos mediante δ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$^{p , r}
₃donde q está restringido a satisfacer q = 2/(1 – ( p + r )/ pr ) . Estos también pueden descomponerse como aperiótopos de producto:=El primer caso es el panal cúbico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Regular complex 4-apeirotopes

There are 15 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$. Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r
₄ where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ tesseractic honeycomb. The 16-cell honeycomb and 24-cell honeycomb are real solutions. The last solution is generated has Witting polytope elements.

Regular complex 5-apeirotopes and higher

There are only 12 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ or higher,^[35] expressed δ^p,r
_n where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed a product of n apeirogons: ... = ... . The first case is the real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ hypercube honeycomb.

van Oss polygon

A red square van Oss polygon in the plane of an edge and center of a regular octahedron.

A van Oss polygon is a regular polygon in the plane (real plane ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, or unitary plane ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$) in which both an edge and the centroid of a regular polytope lie, and formed of elements of the polytope. Not all regular polytopes have Van Oss polygons.

For example, the van Oss polygons of a real octahedron are the three squares whose planes pass through its center. In contrast a cube does not have a van Oss polygon because the edge-to-center plane cuts diagonally across two square faces and the two edges of the cube which lie in the plane do not form a polygon.

Infinite honeycombs also have van Oss apeirogons. For example, the real square tiling and triangular tiling have apeirogons {∞} van Oss apeirogons.^[36]

If it exists, the van Oss polygon of regular complex polytope of the form _p{q}_r{s}_t... has p-edges.

Non-regular complex polytopes

Product complex polytopes

Some complex polytopes can be represented as Cartesian products. These product polytopes are not strictly regular since they'll have more than one facet type, but some can represent lower symmetry of regular forms if all the orthogonal polytopes are identical. For example, the product _p{}×_p{} or of two 1-dimensional polytopes is the same as the regular _p{4}₂ or . More general products, like _p{}×_q{} have real representations as the 4-dimensional p-q duoprisms. The dual of a product polytope can be written as a sum _p{}+_q{} and have real representations as the 4-dimensional p-q duopyramid. The _p{}+_p{} can have its symmetry doubled as a regular complex polytope ₂{4}_p or .

Similarly, a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ complex polyhedron can be constructed as a triple product: _p{}×_p{}×_p{} or is the same as the regular generalized cube, _p{4}₂{3}₂ or , as well as product _p{4}₂×_p{} or .^[37]

Quasiregular polygons

A quasiregular polygon is a truncation of a regular polygon. A quasiregular polygon contains alternate edges of the regular polygons and . The quasiregular polygon has p vertices on the p-edges of the regular form.

Quasiregular apeirogons

There are 7 quasiregular complex apeirogons which alternate edges of a regular apeirogon and its regular dual. The vertex arrangements of these apeirogon have real representations with the regular and uniform tilings of the Euclidean plane. The last column for the 6{3}6 apeirogon is not only self-dual, but the dual coincides with itself with overlapping hexagonal edges, thus their quasiregular form also has overlapping hexagonal edges, so it can't be drawn with two alternating colors like the others. The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: =

Quasiregular polyhedra

Example truncation of 3-generalized octahedron, ₂{3}₂{4}₃, , to its rectified limit, showing outlined-green triangles faces at the start, and blue ₂{4}₃, , vertex figures expanding as new faces.

Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a rectification (a complete truncation) of a regular polyhedron. Vertices are created mid-edge of the regular polyhedron and faces of the regular polyhedron and its dual are positioned alternating across common edges.

For example, a p-generalized cube, , has p³ vertices, 3p² edges, and 3p p-generalized square faces, while the p-generalized octahedron, , has 3p vertices, 3p² edges and p³ triangular faces. The middle quasiregular form p-generalized cuboctahedron, , has 3p² vertices, 3p³ edges, and 3p+p³ faces.

Also the rectification of the Hessian polyhedron , is , a quasiregular form sharing the geometry of the regular complex polyhedron .

Other complex polytopes with unitary reflections of period two

Other nonregular complex polytopes can be constructed within unitary reflection groups that don't make linear Coxeter graphs. In Coxeter diagrams with loops Coxeter marks a special period interior, like or symbol (1₁ 1 1)³, and group [1 1 1]³.^[38][39] These complex polytopes have not been systematically explored beyond a few cases.

The group is defined by 3 unitary reflections, R₁, R₂, R₃, all order 2: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R₃R₁)³ = (R₁R₂R₃R₁)^p = 1. The period p can be seen as a double rotation in real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

As with all Wythoff constructions, polytopes generated by reflections, the number of vertices of a single-ringed Coxeter diagram polytope is equal to the order of the group divided by the order of the subgroup where the ringed node is removed. For example, a real cube has Coxeter diagram , with octahedral symmetry order 48, and subgroup dihedral symmetry order 6, so the number of vertices of a cube is 48/6=8. Facets are constructed by removing one node furthest from the ringed node, for example for the cube. Vertex figures are generated by removing a ringed node and ringing one or more connected nodes, and for the cube.

Coxeter represents these groups by the following symbols. Some groups have the same order, but a different structure, defining the same vertex arrangement in complex polytopes, but different edges and higher elements, like and with p≠3.^[40]

Coxeter calls some of these complex polyhedra almost regular because they have regular facets and vertex figures. The first is a lower symmetry form of the generalized cross-polytope in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$. The second is a fractional generalized cube, reducing p-edges into single vertices leaving ordinary 2-edges. Three of them are related to the finite regular skew polyhedron in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

Coxeter defines other groups with anti-unitary constructions, for example these three. The first was discovered and drawn by Peter McMullen in 1966.^[42]

Visualizations

• 
  (1 1 1₁⁴)⁴, has 42 vertices, 168 edges and 112 triangular faces, seen in this 14-gonal projection.
• 
  (1⁴ 1⁴ 1₁)⁽³⁾, has 56 vertices, 168 edges and 84 square faces, seen in this 14-gonal projection.
• 
  (1 1 2₂)⁴, has 80 vertices, 640 edges, 1280 triangular faces and 640 tetrahedral cells, seen in this 20-gonal projection.^[43]

See also

• Quaternionic polytope

Notes

1. Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups. Mathematische Annalen. March 2002, Volume 322, Issue 3, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
2. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 115
3. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 11.3 Petrie Polygon, a simple h-gon formed by the orbit of the flag (O₀,O₀O₁) for the product of the two generating reflections of any nonstarry regular complex polygon, p₁{q}p₂.
4. Complex Regular Polytopes,11.1 Regular complex polygons p.103
5. Shephard, 1952; "It is from considerations such as these that we derive the notion of the interior of a polytope, and it will be seen that in unitary space where the numbers cannot be so ordered such a concept of interior is impossible. [Para break] Hence ... we have to consider unitary polytopes as configurations."
6. Coxeter, Regular Complex polytopes, p. 96
7. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. xiv
8. Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III
9. Lehrer & Taylor 2009, p. 87
10. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
11. Complex Polytopes, 8.9 The Two-Dimensional Case, p. 88
12. Regular Complex Polytopes, Coxeter, pp. 177-179
13. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
14. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 109
15. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 111
16. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 30 diagram and p. 47 indices for 8 3-edges
17. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
18. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 48
19. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 49
20. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 116–140.
21. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119.
22. Complex Regular Polytopes, p.29
23. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
24. Coxeter, Kaleidoscopes — Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Paper 25 Surprising relationships among unitary reflection groups, p. 431.
25. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
26. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 126
27. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 125
28. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. p. 180.
29. Complex regular polytope, p.174
30. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. p. 111, 136.
31. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
32. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 11.6 Apeirogons, pp. 111-112
33. Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.140
34. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 139-140
35. Complex Regular Polytopes, p.146
36. Complex Regular Polytopes, p.141
37. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119, 138.
38. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Chapter 14, Almost regular polytopes, pp. 156–174.
39. Coxeter, Groups Generated by Unitary Reflections of Period Two, 1956
40. Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423
41. Coxeter, Grupos generados por reflexiones unitarias del período dos (1956), Tabla III: Algunos politopos complejos, p.413
42. Coxeter, Complex Regular Polytopes, (1991), 14.6 Dos poliedros de McMullen con 84 caras cuadradas, pp.166-171
43. Coxeter, Politopos regulares complejos, págs. 172-173

Referencias

• Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), esp pp 67–80.
• Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
• Shephard, GC; Politopos complejos regulares , Proc. London Math. Soc. Serie 3, vol. 2, (1952), págs. 82–97.
• GC Shephard , JA Todd, Grupos de reflexión unitaria finitos , Revista canadiense de matemáticas. 6(1954), 274-304, doi :10.4153/CJM-1954-028-3
• Gustav I. Lehrer y Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups , Cambridge University Press, 2009

Lectura adicional

• F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson y Asia Ivić Weiss, editores: Kaleidoscopes — Selected Writings of HSM Coxeter. , Documento 25, Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , pág. 415-425, John Wiley, 1995, ISBN 0-471-01003-0 
• McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0Capítulo 9 Grupos unitarios y formas hermíticas , págs. 289–298