En el estudio de politopos abstractos , un politopo quiral es un politopo que es lo más simétrico posible sin ser simétrico en espejo, formalizado en términos de la acción del grupo de simetría del politopo sobre sus banderas .
La definición más técnica de un politopo quiral es un politopo que tiene dos órbitas de banderas bajo su grupo de simetrías , con banderas adyacentes en diferentes órbitas. Esto implica que debe ser transitivo por vértices , transitivo por aristas y transitivo por caras , ya que cada vértice, arista o cara debe estar representado por banderas en ambas órbitas; sin embargo, no puede ser simétrico en espejo, ya que cada simetría especular del politopo intercambiaría algún par de banderas adyacentes. [1]
Para los fines de esta definición, el grupo de simetría de un politopo puede definirse de dos maneras diferentes: puede referirse a las simetrías de un politopo como un objeto geométrico (en cuyo caso el politopo se llama geométricamente quiral ) o puede referirse a las simetrías del politopo como una estructura combinatoria (los automorfismos de un politopo abstracto ). La quiralidad es significativa para ambos tipos de simetría, pero las dos definiciones clasifican diferentes politopos como quirales o no quirales. [2]
Los politopos geométricamente quirales son relativamente exóticos en comparación con los politopos regulares más comunes. No es posible que un politopo geométricamente quiral sea convexo, [3] y muchos politopos geométricamente quirales notables son sesgados .
En tres dimensiones, no es posible que un politopo geométricamente quiral tenga un número finito de caras finitas. Por ejemplo, el cubo romo es transitivo por vértices, pero sus banderas tienen más de dos órbitas, y no es transitivo por aristas ni por caras, por lo que no es lo suficientemente simétrico como para cumplir con la definición formal de quiralidad. Los poliedros cuasirregulares y sus duales, como el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico , proporcionan otro tipo interesante de casi error: tienen dos órbitas de banderas, pero son simétricos en espejo, y no todos los pares adyacentes de banderas pertenecen a órbitas diferentes. Sin embargo, a pesar de la inexistencia de poliedros tridimensionales quirales finitos, existen infinitos poliedros tridimensionales quirales oblicuos de tipos {4,6}, {6,4} y {6,6}. [2]
En cuatro dimensiones, existen politopos finitos geométricamente quirales. Un ejemplo es el cubo de Roli, un politopo oblicuo en el esqueleto del 4-cubo . [4] [5]