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Megagon

Un megágono o 1.000.000-gon (million-gon) es un polígono con un millón de lados ( mega- , del griego μέγας, que significa "grande", siendo un prefijo de unidad que denota un factor de un millón). [1] [2]

Megagono regular

Un megágono regular se representa con el símbolo de Schläfli {1.000.000} y se puede construir como un megágono truncado de 500.000, t{500.000}, un megágono truncado dos veces de 250.000, tt{250.000}, un megágono truncado tres veces de 125.000, ttt{125.000}, o un megágono truncado cuádruplemente de 62.500, tttt{62.500}, un megágono truncado quíntuplemente de 31.250, ttttt{31.250}, o un megágono truncado séxtuplemente de 15.625, tttttt{15.625}.

Un megágono regular tiene un ángulo interior de 179°59'58.704" o 3.14158637 radianes. [1] El área de un megágono regular con lados de longitud a está dada por

El perímetro de un megágono regular inscrito en el círculo unitario es:

que es muy cercano a 2π . De hecho, para un círculo del tamaño del ecuador de la Tierra , con una circunferencia de 40.075 kilómetros, una arista de un megágono inscrito en dicho círculo mediría algo más de 40 metros de largo. La diferencia entre el perímetro del megágono inscrito y la circunferencia de este círculo es inferior a 1/16 de milímetro. [3]

Como 1.000.000 = 2 6 × 5 6 , el número de lados no es un producto de primos de Fermat distintos y una potencia de dos. Por lo tanto, el megágono regular no es un polígono construible . De hecho, ni siquiera es construible con el uso de un trisector de ángulos, ya que el número de lados no es un producto de primos de Pierpont distintos ni un producto de potencias de dos y tres.

Aplicación filosófica

Al igual que el ejemplo del quiliágono de René Descartes , el polígono de un millón de lados se ha utilizado como ilustración de un concepto bien definido que no se puede visualizar. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

El megágono también se utiliza como ilustración de la convergencia de polígonos regulares a un círculo. [11]

Simetría

El megágono regular tiene simetría diedra Dih 1.000.000 , orden 2.000.000, representada por 1.000.000 de líneas de reflexión. Dih 1.000.000 tiene 48 subgrupos diédricos: (Dih 500.000 , Dih 250.000 , Dih 125.000 , Dih 62.500 , Dih 31.250 , Dih 15.625 ), (Dih 200.000 , Dih 100.000 , 50.000 Dih, 25.000 Dih, 12.500 Dih, 6.250 Dih , 3.125 Dih, ( 40.000 Dih , 20.000 Dih, 10.000 Dih, 5.000 Dih, 2.500 Dih, 1.250 Dih , Dih 625 ), ( 8.000 Dih, 4.000 Dih, 2.000 Dih , 1.000 Dih , 500 Dih, 250 Dih, 125 Dih, 1.600 Dih, 800 Dih , 400 Dih , 200 Dih , 100 Dih , 50 Dih , Dih 25 ), (Dih 320 , Dih 160 , Dih 80 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 ), y (Dih 64 , Dih 32 , Dih 16 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 , Dih 1 ). También tiene 49 simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z 1.000.000 , Z 500.000 , Z 250.000 , Z 125.000 , Z 62.500 , Z 31.250 , Z 15.625 ), (Z 200.000 , Z 100.000 , Z 50.000 , Z 25.000 , Z 12.500 , Z 6.250 , Z 3.125 ), (Z 40.000 , Z 20.000 , Z 10.000 , Z 5.000 , Z 2.500 , Z 1.250 , Z 625 ), (Z 8.000 , Z 4.000 , Z 2.000 , Z 1.000 , Z 500 , Z 250 , Z 125), (Z 1.600 , Z 800 , Z 400, Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 ), (Z 320 , Z 160 , Z 80 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 ), y ( Z 64 , Z 32 , Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 ), donde Z n representa la simetría rotacional π/ n radianes.

John Conway etiquetó estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [12] r2000000 representa simetría completa y a1 etiqueta ausencia de simetría. Da d (diagonal) con líneas simétricas a través de vértices, p con líneas simétricas a través de aristas (perpendicular), i con líneas simétricas a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad para definir megagonos irregulares. Solo el subgrupo g1000000 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Megagram

Un megagramo es un polígono estelar de un millón de lados . Existen 199.999 formas regulares [a] dadas por los símbolos de Schläfli de la forma {1000000/ n }, donde n es un número entero entre 2 y 500.000 que es coprimo con 1.000.000. También existen 300.000 figuras estelares regulares en los casos restantes.

Véase también

Notas

  1. ^ 199.999 = 500.000 casos − 1 (convexo) − 100.000 (múltiplos de 5) − 250.000 (múltiplos de 2) + 50.000 (múltiplos de 2 y 5)

Referencias

  1. ^ ab Darling, David (28 de octubre de 2004). El libro universal de las matemáticas: desde Abracadabra hasta las paradojas de Zenón. Wiley. pág. 249. ISBN 978-0-471-66700-1.
  2. ^ Dugopolski, Mark (1999). Álgebra universitaria y trigonometría. Addison-Wesley. pág. 505. ISBN 978-0-201-34712-8.
  3. ^ Tratado elemental del cálculo diferencial. Libros olvidados. pág. 45. ISBN 978-1-4400-6681-8.
  4. ^ McCormick, John Francis (1928). Metafísica escolástica: el ser, su división y sus causas. Loyola University Press. pág. 18.
  5. ^ Merrill, John Calhoun; Odell, S. Jack (1983). Filosofía y periodismo. Longman. pág. 47. ISBN 978-0-582-28157-8.
  6. ^ Hospers, John (1997). Introducción al análisis filosófico (4.ª ed.). Psychology Press. pág. 56. ISBN 978-0-415-15792-6.
  7. ^ Mandik, Pete (13 de mayo de 2010). Términos clave en la filosofía de la mente. A&C Black. pág. 26. ISBN 978-1-84706-349-6.
  8. ^ Kenny, Anthony (29 de junio de 2006). El auge de la filosofía moderna: una nueva historia de la filosofía occidental. OUP Oxford. pág. 124. ISBN 978-0-19-875277-6.
  9. ^ Balmes, Jaime Luciano (1856). Filosofía fundamental. Más triste. pag. 27.
  10. ^ Potter, Vincent G. (1994). Sobre la comprensión de la comprensión: una filosofía del conocimiento. Fordham University Press. pág. 86. ISBN 978-0-8232-1486-0.
  11. ^ Russell, Bertrand (2004). Historia de la filosofía occidental. Psychology Press. pág. 202. ISBN 978-0-415-32505-9.
  12. ^ Las simetrías de las cosas , Capítulo 20