Paquete de vectores planos

En matemáticas , se dice que un fibrado vectorial es plano si está dotado de una conexión lineal con curvatura que desaparece , es decir, una conexión plana .

Cohomología de De Rham de un fibrado vectorial plano

Sea un fibrado vectorial plano, y la derivada covariante asociada a la conexión plana en E. ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \nabla :\Gamma (X,E)\to \Gamma \left(X,\Omega _{X}^{1}\otimes E\right)}$

Sea el espacio vectorial (de hecho, un haz de módulos sobre ) de formas diferenciales en X con valores en E . La derivada covariante define un endomorfismo de grado 1 d , la diferencial de , y la condición de planitud es equivalente a la propiedad . ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}(E)=\Omega _{X}^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}(E)}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$

En otras palabras, el espacio vectorial graduado es un complejo de cocadena . Su cohomología se denomina cohomología de De Rham de E o cohomología de De Rham con coeficientes torcidos por el sistema de coeficientes local E. ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}(E)}$

Trivializaciones planas

Se dice que una trivialización de un fibrado vectorial plano es plana si la forma de conexión se anula en esta trivialización. Una definición equivalente de fibrado plano es la elección de un atlas trivializador con funciones de transición localmente constantes.

Ejemplos

• Los fibrados lineales triviales pueden tener varias estructuras de fibrado plano. Un ejemplo es el fibrado trivial sobre con las formas de conexión 0 y . Los campos vectoriales paralelos son constantes en el primer caso y proporcionales a las determinaciones locales de la raíz cuadrada en el segundo. ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\},}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {dz}{z}}}$
• El fibrado lineal canónico real de una variedad diferencial M es un fibrado lineal plano, llamado fibrado de orientación . Sus secciones son formas de volumen . ${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {top} }M}$
• Una variedad de Riemann es plana si y sólo si su conexión de Levi-Civita le da a su fibrado vectorial tangente una estructura plana.

Véase también

• Formas diferenciales con valores vectoriales
• Sistema local , la noción más general de un haz localmente constante.
• Carácter de orientación , una forma característica relacionada con el haz de líneas de orientación, útil para formular la dualidad de Poincaré torcida
• Grupo de Picard cuyo componente conexo, la variedad jacobiana , es el espacio de módulos de fibrados de líneas planas algebraicas.
• Monodromía , o representaciones del grupo fundamental por transporte paralelo en fibrados planos.
• Holonomía , el obstáculo a la planitud.