Sistema local

Haz localmente constante de grupos abelianos en el espacio topológico

En matemáticas , un sistema local (o un sistema de coeficientes locales ) en un espacio topológico X es una herramienta de la topología algebraica que interpola entre la cohomología con coeficientes en un grupo abeliano fijo A y la cohomología general de haces en la que los coeficientes varían de un punto a otro. Los sistemas de coeficientes locales fueron introducidos por Norman Steenrod en 1943. ^[1]

Los sistemas locales son los componentes básicos de herramientas más generales, como las poleas construibles y perversas .

Definición

Sea X un espacio topológico . Un sistema local (de grupos/módulos/... abelianos) en X es un haz localmente constante (de grupos / módulos /... abelianos ) en X. En otras palabras, un haz es un sistema local si cada punto tiene un entorno abierto tal que el haz restringido es isomorfo a la gavillación de algún prehaz constante. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$

Definiciones equivalentes

Espacios conectados por caminos

Si X está conexo por trayectorias , ^{[ aclaración necesaria ]} un sistema local de grupos abelianos tiene el mismo tallo en cada punto. Existe una correspondencia biyectiva entre sistemas locales en X y homomorfismos de grupos ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$

y lo mismo ocurre con los sistemas locales de módulos. El mapa que da el sistema local se denomina representación monodromía de . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Prueba de equivalencia

Tomemos un sistema local y un bucle en x . Es fácil demostrar que cualquier sistema local en es constante. Por ejemplo, es constante. Esto da un isomorfismo , es decir, entre y sí mismo. A la inversa, dado un homomorfismo , considérese el haz constante en la cubierta universal de X . Las secciones invariantes de la transformada de baraja de dan un sistema local en X . De manera similar, las secciones ρ - equivariantes de la transformada de baraja dan otro sistema local en X : para un conjunto abierto suficientemente pequeño U , se define como ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{0}\simeq \Gamma ([0,1],{\mathcal {L}})\simeq (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)}$ ${\displaystyle {\underline {L}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle {\underline {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )_{U}\ =\ \left\{{\text{sections }}s\in {\underline {L}}_{\pi ^{-1}(U)}{\text{ with }}\theta \circ s=\rho (\theta )s{\text{ for all }}\theta \in {\text{ Deck}}({\widetilde {X}}/X)=\pi _{1}(X,x)\right\}}$

¿Dónde está la cobertura universal? ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$

Esto demuestra que (para X conexo por caminos) un sistema local es precisamente un haz cuyo retroceso a la cubierta universal de X es un haz constante.

Esta correspondencia puede actualizarse a una equivalencia de categorías entre la categoría de sistemas locales de grupos abelianos en X y la categoría de grupos abelianos dotados de una acción de (equivalentemente, -módulos). ^[2] ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X,x)]}$

Definición más fuerte de espacios no conectados

Una definición no equivalente más fuerte que funciona para X no conexo es la siguiente: un sistema local es un funtor covariante

${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)}$

del grupoide fundamental de a la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo , donde típicamente . Esto es equivalentemente los datos de una asignación a cada punto de un módulo junto con una representación de grupo tal que los diversos son compatibles con el cambio de punto base y el mapa inducido en grupos fundamentales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \pi _{1}(X,y)}$

Ejemplos

• Haces constantes como . Esta es una herramienta útil para calcular la cohomología ya que en buenas situaciones, existe un isomorfismo entre la cohomología de haces y la cohomología singular: ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

$${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$$

• Sea . Puesto que , existe una familia de sistemas locales en X correspondientes a las funciones : ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$$

• Secciones horizontales de fibrados vectoriales con una conexión plana. Si es un fibrado vectorial con conexión plana , entonces existe un sistema local dado por Por ejemplo, tomemos y , el fibrado trivial. Las secciones de E son n -tuplas de funciones en X , por lo que define una conexión plana en E , como lo hace para cualquier matriz de formas unitarias en X . Las secciones horizontales son entonces ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \nabla }$ $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$ ${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$ ${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$ ${\displaystyle \Theta }$
  $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$$es decir, las soluciones de la ecuación diferencial lineal . ${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$

  Si se extiende a una forma única en lo anterior, también definirá un sistema local en , por lo que será trivial ya que . Por lo tanto, para dar un ejemplo interesante, elija uno con un polo en 0 : ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$

  $${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$$En cuyo caso para , ${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$ $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$$

• Un mapa de recubrimiento de n láminas es un sistema local con fibras dadas por el conjunto . De manera similar, un fibrado con fibras discretas es un sistema local, porque cada camino se eleva de manera única hasta un elevador dado de su punto base. (La definición se ajusta para incluir sistemas locales con valores de conjunto de la manera obvia). ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

• Un sistema local de k -espacios vectoriales en X es equivalente a una representación k -lineal de . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

• Si X es una variedad, los sistemas locales son lo mismo que los módulos D , que además son módulos O_X coherentes (ver módulos O ).

• Si la conexión no es plana (es decir, su curvatura no es cero), entonces el transporte paralelo de una fibra F_x sobre x alrededor de un bucle contráctil basado en x _0 puede dar un automorfismo no trivial de F_x , por lo que no necesariamente se pueden definir haces localmente constantes para conexiones no planas.

• La conexión de Gauss-Manin es un ejemplo destacado de una conexión cuyas secciones horizontales se estudian en relación con la variación de las estructuras de Hodge .

Cohomología

Hay varias formas de definir la cohomología de un sistema local, llamada cohomología con coeficientes locales , que se vuelven equivalentes bajo suposiciones suaves en X.

• Dado un haz localmente constante de grupos abelianos en X , tenemos los grupos de cohomología del haz con coeficientes en . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Dado un haz localmente constante de grupos abelianos en X , sea el grupo de todas las funciones f que asignan cada n -símplex singular a una sección global del haz de imagen inversa . Estos grupos pueden convertirse en un complejo de cocadena con diferenciales construidos como en la cohomología singular habitual. Defina como la cohomología de este complejo. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle f(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$

• El grupo de cadenas n singulares en la cubierta universal de X tiene una acción de por transformaciones de mazo . Explícitamente, una transformación de mazo lleva un n -símplex singular a . Entonces, dado un grupo abeliano L equipado con una acción de , se puede formar un complejo de cocadena a partir de los grupos de homomorfismos -equivariantes como se indicó anteriormente. Defina como la cohomología de este complejo. ${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

Si X es paracompacto y localmente contráctil , entonces . ^[3] Si es el sistema local correspondiente a L , entonces hay una identificación compatible con las diferenciales, ^[4] por lo que . ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

Generalización

Los sistemas locales tienen una generalización leve a haces construibles : un haz construible en un espacio topológico conectado por caminos locales es un haz tal que existe una estratificación de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

donde es un sistema local. Estos se encuentran típicamente tomando la cohomología del empuje hacia adelante derivado para alguna función continua . Por ejemplo, si observamos los puntos complejos del morfismo ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(stf(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

Luego las fibras sobre

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

son la curva plana suave dada por , pero las fibras sobre son . Si tomamos el empuje hacia adelante derivado, entonces obtenemos un haz construible. Sobre tenemos los sistemas locales ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

Mientras tanto tenemos los sistemas locales ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

donde es el género de la curva plana (que es ). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$

Aplicaciones

La cohomología con coeficientes locales en el módulo correspondiente al recubrimiento de orientación se puede utilizar para formular la dualidad de Poincaré para variedades no orientables: ver Dualidad de Poincaré torcida .

Véase también

• Secuencia espectral de Leray
• Conexión Gauss-Manin
• Módulo D
• Homología de intersección
• Gavilla perversa

Referencias

1. Steenrod, Norman E. (1943). "Homología con coeficientes locales". Anales de Matemáticas . 44 (4): 610–627. doi :10.2307/1969099. MR  0009114.
2. Milne, James S. (2017). Introducción a las variedades de Shimura . Proposición 14.7.
3. Bredon, Glen E. (1997). Sheaf Theory , segunda edición, Graduate Texts in Mathematics, vol. 25, Springer-Verlag . Capítulo III, Teorema 1.1.
4. Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica , Cambridge University Press . Sección 3.H.

Enlaces externos

• "Qué es realmente un sistema local". Stack Exchange .
• Schnell, Christian. "Computación de la cohomología de sistemas locales" (PDF) .Se analiza el cálculo de la cohomología con coeficientes en un sistema local utilizando el complejo de Rham retorcido.
• Williamson, Geordie . "Una guía ilustrada de las gavillas perversas" (PDF) .
• MacPherson, Robert (15 de diciembre de 1990). "Homología de intersección y haces perversos" (PDF) .
• El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. "Sistemas locales y haces construibles" (PDF) .