Engranaje epicicloidal

Dos engranajes montados de manera que el centro de un engranaje gira alrededor del centro del otro

Este tren de engranajes planetarios consta de un engranaje solar (amarillo), engranajes planetarios (azul) y un portador (verde) dentro de un engranaje anular (rojo).

Un tren de engranajes epicicloidales (también conocido como conjunto de engranajes planetarios ) es un conjunto de reducción de engranajes que consta de dos engranajes montados de manera que el centro de un engranaje (el "planeta") gira alrededor del centro del otro (el "sol"). Un portador conecta los centros de los dos engranajes y gira para llevar el o los engranajes planetarios alrededor del engranaje solar. Los engranajes planetarios y solares engranan de manera que sus círculos de paso giran sin deslizamiento. Si el engranaje solar se mantiene fijo, entonces un punto en el círculo de paso del engranaje planetario traza una curva epicicloide .

Un tren de engranajes epicicloidales se puede ensamblar de modo que el engranaje planetario gire en el interior del círculo de paso de un anillo de engranaje exterior, o engranaje anular, a veces llamado engranaje anular . Este ensamblaje de un planeta que engrana tanto con un engranaje solar como con un engranaje anular se denomina tren de engranajes planetarios . ^{[1] [2]} Al elegir mantener estacionario un componente u otro (el portaplanetarios, el engranaje anular o el engranaje solar), se pueden lograr tres relaciones de transmisión diferentes. ^[3]

Descripción general

Las marcas rojas muestran el desplazamiento relativo del engranaje solar y el portador, cuando el engranaje solar gira 180° en el sentido de las agujas del reloj y el engranaje anular se mantiene fijo.

El engranaje epicicloidal o engranaje planetario es un sistema de engranajes que consiste en uno o más engranajes o piñones externos o planetarios , que giran alrededor de un engranaje solar central o rueda solar . ^{[4] [5]} Normalmente, los engranajes planetarios están montados en un brazo o soporte móvil , que a su vez puede girar en relación con el engranaje solar. Los sistemas de engranajes epicicloidales también incorporan el uso de un engranaje anular externo o anillo , que engrana con los engranajes planetarios. Los engranajes planetarios (o engranajes epicicloidales) se clasifican típicamente como engranajes planetarios simples o compuestos. Los engranajes planetarios simples tienen un sol, un anillo, un soporte y un juego de planetas. Los engranajes planetarios compuestos involucran uno o más de los siguientes tres tipos de estructuras: planeta engranado (hay al menos dos planetas más engranados entre sí en cada tren planetario), planeta escalonado (existe una conexión de eje entre dos planetas en cada tren planetario) y estructuras de múltiples etapas (el sistema contiene dos o más juegos planetarios). En comparación con los engranajes planetarios simples, los engranajes planetarios compuestos tienen las ventajas de una mayor relación de reducción, una mayor relación par-peso y configuraciones más flexibles. ^[6]

Los ejes de todos los engranajes suelen ser paralelos, pero para casos especiales como los sacapuntas y los diferenciales , se pueden colocar en ángulo, introduciendo elementos de engranaje cónico (ver más abajo). Además, los ejes del sol, del portasatélites y del anillo suelen ser coaxiales .

Rueda de libros , de Le diverse et artifiose machine de Agostino Ramelli , 1588

También existe el engranaje epicicloidal, que consta de un planeta, un portador y dos planetas que engranan entre sí. Un planeta engrana con el engranaje planetario, mientras que el segundo planeta engrana con la corona dentada. En este caso, cuando el portador está fijo, la corona dentada gira en la misma dirección que el engranaje planetario, lo que proporciona una inversión de dirección en comparación con el engranaje epicicloidal estándar.

Historia

Alrededor del año 500 a. C., los griegos inventaron la idea de los epiciclos, círculos que se desplazaban en órbitas circulares. Con esta teoría, Claudio Ptolomeo , en el Almagesto del año 148 d. C., pudo aproximar las trayectorias planetarias observadas al cruzar el cielo. El mecanismo de Antikythera , del año 80 a. C., tenía un engranaje que podía reproducir con precisión la trayectoria elíptica de la Luna a través del cielo, e incluso corregir la precesión de nueve años de esa trayectoria. ^[7] (Los griegos interpretaron el movimiento que vieron, no como elíptico, sino como epicíclico).

En el tratado Sintaxis matemática (también conocido como Almagesto) del siglo II d. C. , Claudio Ptolomeo utilizó deferentes rotatorios y epiciclos que forman trenes de engranajes epicíclicos para predecir los movimientos de los planetas. Las predicciones precisas del movimiento del Sol, la Luna y los cinco planetas, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, a través del cielo suponían que cada uno seguía una trayectoria trazada por un punto en el engranaje planetario de un tren de engranajes epicíclicos. Esta curva se llama epitrocoide . [ ^{cita requerida ]}

El mecanismo de Antikythera , alrededor del año 80 a. C., utilizaba engranajes epicicloidales para ajustar la posición mostrada de la Luna en función de la elipticidad de su órbita e incluso de su precesión absideal . Dos engranajes enfrentados giraban alrededor de centros ligeramente diferentes; uno impulsaba al otro, no con dientes engranados, sino con un pasador insertado en una ranura del segundo. A medida que la ranura impulsaba el segundo engranaje, el radio de accionamiento cambiaba, lo que provocaba una aceleración y una desaceleración del engranaje impulsado en cada revolución. ^{[ cita requerida ]}

Ricardo de Wallingford , abad inglés del monasterio de St. Albans, describió más tarde el engranaje epicicloidal de un reloj astronómico en el siglo XIV. ^[8] En 1588, el ingeniero militar italiano Agostino Ramelli inventó la rueda de libros , un atril giratorio verticalmente que contenía un engranaje epicicloidal con dos niveles de engranajes planetarios para mantener la orientación adecuada de los libros. ^{[8] [9]}

El matemático e ingeniero francés Desargues diseñó y construyó el primer molino con dientes epicicloidales alrededor de  1650. ^[10]

Requisitos de no injerencia

Para que los dientes del engranaje planetario engranen correctamente con los engranajes solar y anular, suponiendo que los engranajes planetarios estén espaciados de manera uniforme, se debe satisfacer la siguiente ecuación: ${\displaystyle n_{\text{p}}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{s}}+N_{\text{r}}}{n_{\text{p}}}}=A}$

dónde

${\displaystyle N_{\text{s}},N_{\text{r}}}$son el número de dientes del engranaje solar y del engranaje anular , respectivamente y

${\displaystyle n_{\text{p}}}$es el número de engranajes planetarios en el conjunto y

${\displaystyle A}$es un numero entero

Si se va a crear un bastidor de soporte asimétrico con engranajes planetarios no equiangulares, por ejemplo para crear algún tipo de vibración mecánica en el sistema, se debe realizar el dentado de manera que la ecuación anterior cumpla con los "engranajes imaginarios". Por ejemplo, en el caso en que se pretenda que un bastidor de soporte contenga engranajes planetarios espaciados a 0°, 50°, 120° y 230°, se debe calcular como si en realidad hubiera 36 engranajes planetarios (10° equiangulares), en lugar de los cuatro reales.

Relaciones de velocidad de transmisión de engranajes epicicloidales convencionales

La relación de transmisión de un sistema de engranajes epicicloidales es un tanto poco intuitiva, en particular porque hay varias formas de convertir una rotación de entrada en una rotación de salida. Los cuatro componentes básicos del engranaje epicicloidal son:

• Engranaje solar : El engranaje central
• Bastidor portador : sostiene uno o más engranajes planetarios de forma simétrica y separada, todos engranados con el engranaje solar.
• Engranaje(s) planetario (s): Generalmente de dos a cuatro engranajes periféricos, todos del mismo tamaño, que engranan entre el engranaje solar y el engranaje anular.
• Engranaje anular , engranaje lunar , engranaje anular o engranaje anular : un anillo exterior con dientes orientados hacia adentro que engranan con el engranaje o los engranajes planetarios.

En este ejemplo, el portador (verde) se mantiene estacionario mientras que el engranaje planetario (amarillo) se utiliza como entrada. El análisis supone un módulo de diseño de engranajes común. Los engranajes planetarios (azules) giran en una relación determinada por la cantidad de dientes de cada engranaje. Aquí, la relación es ⁠−+27/ 18 ⁠ , o ⁠−+3/ 2 ⁠ ; lo que significa que cada engranaje planetario gira a ⁠3/ 2 ⁠ la velocidad del engranaje solar, en la dirección opuesta. No se muestra un engranaje de anillo exterior.

La relación de transmisión general de un conjunto de engranajes planetarios simple se puede calcular utilizando las dos ecuaciones siguientes, ^[1] que representan las interacciones sol-planeta y planeta-anillo respectivamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\text{s}}\,\omega _{\text{s}}+N_{\text{p}}\,\omega _{\text{p}}-\left(N_{\text{s}}+N_{\text{p}}\,\right)\,\omega _{\text{c}}&=0\\N_{\text{r}}\,\omega _{\text{r}}-N_{\text{p}}\,\omega _{\text{p}}-\left(N_{\text{r}}-N_{\text{p}}\right)\,\omega _{\text{c}}&=0\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \omega _{\text{r}},\omega _{\text{s}},\omega _{\text{p}},\omega _{\text{c}}}$son las velocidades angulares del engranaje anular , el engranaje solar , los engranajes planetarios y el bastidor portador respectivamente, y son el número de dientes del engranaje anular , el engranaje solar y cada engranaje planetario respectivamente. ${\displaystyle N_{\text{r}},N_{\text{s}},N_{\text{p}}}$

de lo cual podemos derivar lo siguiente:

${\displaystyle N_{\text{s}}\,\omega _{\text{s}}+N_{\text{r}}\,\omega _{\text{r}}=(N_{\text{s}}+N_{\text{r}})\,\omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{s}}={\frac {\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}{N_{\text{s}}}}\,\omega _{\text{c}}-{\frac {\,N_{\text{r}}\,}{N_{\text{s}}}}\omega _{\text{r}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{r}}={\frac {\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}{N_{\text{r}}}}\,\omega _{\text{c}}-{\frac {\,N_{\text{s}}\,}{N_{\text{r}}}}\,\omega _{\text{s}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{c}}={\frac {N_{\text{s}}}{\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}}\,\omega _{\text{s}}+{\frac {N_{\text{r}}}{\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}}\,\omega _{\text{r}}}$

y

${\displaystyle -{\frac {\,N_{\text{r}}\,}{N_{\text{s}}}}={\frac {\,\omega _{\text{s}}-\omega _{\text{c}}\,}{\omega _{\text{r}}-\omega _{\text{c}}}}}$

solo si ^[11] En muchos sistemas de engranajes epicicloidales, uno de estos tres componentes básicos se mantiene estacionario (por lo tanto, se establece para cualquier engranaje que esté estacionario); uno de los dos componentes restantes es una entrada , que proporciona energía al sistema, mientras que el último componente es una salida , que recibe energía del sistema. La relación entre la rotación de entrada y la rotación de salida depende de la cantidad de dientes en cada uno de los engranajes y de qué componente se mantiene estacionario. ${\displaystyle \omega _{\text{r}}\neq \omega _{\text{c}}~.}$ ${\displaystyle \omega _{\text{...}}=0}$

Alternativamente, en el caso especial donde el número de dientes en cada engranaje cumple con la relación, la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: ${\displaystyle \,N_{\text{r}}=N_{\text{s}}+2\,N_{\text{p}}\;,}$

${\displaystyle n\,\omega _{\text{s}}+(2+n)\,\omega _{\text{r}}-2(1+n)\,\omega _{\text{c}}=0}$

dónde

${\displaystyle n={\tfrac {\,N_{\text{s}}\,}{N_{\text{p}}}}\;}$es la relación de transmisión entre el sol y el planeta.

Estas relaciones se pueden utilizar para analizar cualquier sistema epicíclico, incluidos aquellos, como las transmisiones de vehículos híbridos, donde dos de los componentes se utilizan como entradas y el tercero proporciona la salida relativa a las dos entradas. ^[12]

En una disposición, el portador planetario (verde en el diagrama anterior) se mantiene estacionario y el engranaje solar (amarillo) se utiliza como entrada. En ese caso, los engranajes planetarios simplemente giran sobre sus propios ejes (es decir, giran) a una velocidad determinada por la cantidad de dientes en cada engranaje. Si el engranaje solar tiene dientes y cada engranaje planetario tiene dientes, entonces la relación es igual a Por ejemplo, si el engranaje solar tiene 24 dientes y cada planeta tiene 16 dientes, entonces la relación es ⁠− ${\displaystyle \,N_{\text{s}}\,}$ ${\displaystyle \,N_{\text{p}}\,}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\,N_{\text{s}}\,}{N_{\text{p}}}}\;.}$+24/ 16 ⁠ , o ⁠−+3/ 2 ⁠ ; esto significa que un giro en el sentido de las agujas del reloj del engranaje solar produce 1,5  giros en el sentido contrario a las agujas del reloj de cada uno de los engranajes planetarios alrededor de su eje.

La rotación de los engranajes planetarios puede, a su vez, impulsar el engranaje anular (no representado en el diagrama), a una velocidad correspondiente a las relaciones de transmisión: Si el engranaje anular tiene dientes, entonces el anillo girará por vueltas por cada vuelta de los engranajes planetarios. Por ejemplo, si el engranaje anular tiene 64 dientes y los planetas 16 dientes, un giro en el sentido de las agujas del reloj de un engranaje planetario da como resultado ⁠ ${\displaystyle \,N_{\text{r}}\,}$ ${\displaystyle \,{\tfrac {\,N_{\text{p}}\,}{N_{\text{r}}}}\,}$16/ 64 ⁠ , o ⁠1/ 4 ⁠ giros en el sentido de las agujas del reloj del engranaje anular. Ampliando este caso del anterior:

• Un giro del engranaje solar da como resultado giros de los planetas. ${\displaystyle \,-{\tfrac {\,N_{\text{s}}\,}{N_{\text{p}}}}\,}$
• Una vuelta de un engranaje planetario da como resultado vueltas del engranaje anular. ${\displaystyle \,{\tfrac {\,N_{\text{p}}\,}{N_{\text{r}}}}\,}$

Entonces, con el portaplanetarios bloqueado, una vuelta del engranaje solar da como resultado vueltas del engranaje anular. ${\displaystyle \;-{\tfrac {\,N_{\text{s}}\,}{N_{\text{r}}}}\;}$

El engranaje anular también puede mantenerse fijo, con entrada proporcionada al portador de engranajes planetarios; la rotación de salida se produce entonces desde el engranaje solar. Esta configuración producirá un aumento en la relación de transmisión, igual a ${\displaystyle \;1+{\tfrac {\,N_{\text{r}}\,}{N_{\text{s}}}}={\tfrac {\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}{N_{\text{s}}}}~.}$

Si la corona dentada se mantiene fija y el engranaje solar se utiliza como entrada, el portasatélites será la salida. La relación de transmisión en este caso será que también se puede escribir como Esta es la relación de transmisión más baja que se puede lograr con un tren de engranajes epicicloidales. Este tipo de engranaje se utiliza a veces en tractores y equipos de construcción para proporcionar un alto par a las ruedas motrices. ${\displaystyle \,1/\left(1+{\tfrac {\,N_{\text{r}}\,}{N_{\text{s}}}}\right)={\tfrac {N_{\text{s}}}{\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}}\;,}$ ${\displaystyle \;N_{\text{s}}:N_{\text{s}}+N_{\text{r}}~.}$

En los engranajes de buje de bicicleta , el planeta suele estar fijo, fijado al eje o incluso mecanizado directamente sobre él. El portaengranajes planetarios se utiliza como entrada. En este caso, la relación de transmisión se da simplemente por El número de dientes del engranaje planetario es irrelevante. ${\displaystyle {\tfrac {\,N_{\text{s}}+N_{\text{r}}\,}{N_{\text{r}}}}~.}$

Planetas compuestos de un buje de bicicleta Sturmey-Archer AM (corona dentada quitada)

Aceleraciones de engranajes epicicloidales estándar

De las fórmulas anteriores, también podemos derivar las aceleraciones del sol, del anillo y del portador, que son:

${\displaystyle \alpha _{\text{s}}={\frac {{\text{N}}_{\text{s}}+{\text{N}}_{\text{r}}}{{\text{N}}_{\text{s}}}}\alpha _{\text{c}}-{\frac {{\text{N}}_{\text{r}}}{{\text{N}}_{\text{s}}}}\alpha _{\text{r}}}$

${\displaystyle \alpha _{\text{r}}={\frac {{\text{N}}_{\text{s}}+{\text{N}}_{\text{r}}}{{\text{N}}_{\text{r}}}}\alpha _{\text{c}}-{\frac {{\text{N}}_{\text{s}}}{{\text{N}}_{\text{r}}}}\alpha _{\text{s}}}$

${\displaystyle \alpha _{\text{c}}={\frac {{\text{N}}_{\text{s}}}{{\text{N}}_{\text{s}}+{\text{N}}_{\text{r}}}}\alpha _{\text{s}}+{\frac {{\text{N}}_{\text{r}}}{{\text{N}}_{\text{s}}+{\text{N}}_{\text{r}}}}\alpha _{\text{r}}}$

Relaciones de par de engranajes epicicloidales estándar

En los engranajes epicicloidales, se deben conocer dos velocidades para determinar la tercera velocidad. Sin embargo, en una condición de estado estable, solo se debe conocer un par para determinar los otros dos pares. Las ecuaciones que determinan el par son:

${\displaystyle \tau _{r}=\tau _{s}{\frac {N_{r}}{N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{r}=-\tau _{c}{\frac {N_{r}}{N_{r}+N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}=-\tau _{r}{\frac {N_{r}+N_{s}}{N_{r}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}=-\tau _{s}{\frac {N_{r}+N_{s}}{N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{s}=\tau _{r}{\frac {N_{s}}{N_{r}}}}$

${\displaystyle \tau _{s}=-\tau _{c}{\frac {N_{s}}{N_{r}+N_{s}}}}$

donde: — Par de torsión del anillo (anillo), — Par de torsión del sol, — Par de torsión del portador. Para los tres, estos son los pares de torsión aplicados al mecanismo (pares de torsión de entrada). Los pares de torsión de salida tienen el signo inverso de los pares de torsión de entrada. Estas relaciones de pares de torsión se pueden derivar utilizando la ley de conservación de la energía. Aplicada a una sola etapa, esta ecuación se expresa como: ${\displaystyle \tau _{r}}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle \tau _{r}\omega _{r}+\tau _{c}\omega _{c}+\tau _{s}\omega _{s}=0}$

En los casos en que los engranajes están acelerando, o para tener en cuenta la fricción, estas ecuaciones deben modificarse.

Relación de tren de transporte fija

Un método conveniente para determinar las distintas relaciones de velocidad disponibles en un tren de engranajes planetarios comienza considerando la relación de velocidad del tren de engranajes cuando el portador se mantiene fijo. Esto se conoce como la relación del tren de portadores fijos. ^[2]

En el caso de un tren de engranajes planetarios simple formado por un portador que soporta un engranaje planetario engranado con un engranaje solar y un engranaje anular, la relación del tren de engranajes del portador fijo se calcula como la relación de velocidad del tren de engranajes formado por los engranajes solar, planetario y anular en el portador fijo. Esto viene dado por

${\displaystyle R={\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

En este cálculo, el engranaje planetario es un engranaje loco.

La fórmula fundamental del tren de engranajes planetarios con un portador giratorio se obtiene reconociendo que esta fórmula sigue siendo válida si las velocidades angulares de los engranajes solar, planetario y anular se calculan en relación con la velocidad angular del portador. Esto se convierte en:

${\displaystyle R={\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}.}$

Esta fórmula proporciona una forma sencilla de determinar las relaciones de velocidad para el tren de engranajes planetarios simples en diferentes condiciones:

1. El portador se mantiene fijo, ω _c = 0,

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=R,\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

2. El engranaje anular se mantiene fijo, ω _r = 0,

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{-\omega _{c}}}=R,\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{c}}}=1-R,\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{c}}}=1+{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

3. El engranaje solar se mantiene fijo, ω _s = 0,

${\displaystyle {\frac {-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}=R,\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {\omega _{r}}{\omega _{c}}}=1-{\frac {1}{R}},\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{r}}{\omega _{c}}}=1+{\frac {N_{s}}{N_{r}}}.}$

Cada una de las relaciones de velocidad disponibles para un tren de engranajes planetarios simple se puede obtener utilizando frenos de banda para sujetar y liberar el portador, el planetario o los engranajes anulares según sea necesario. Esto proporciona la estructura básica para una transmisión automática .

Diferencial de engranajes rectos

Un diferencial de engranajes rectos construido mediante el acoplamiento de los engranajes planetarios de dos trenes de engranajes epicicloidales coaxiales. La carcasa es el soporte de este tren de engranajes planetarios.

Un diferencial de engranajes rectos se construye a partir de dos trenes de engranajes epicicloidales coaxiales idénticos ensamblados con un solo portador de modo que sus engranajes planetarios estén acoplados. Esto forma un tren de engranajes planetarios con una relación de tren de portadores fija R  = −1.

En este caso, la fórmula fundamental para el tren de engranajes planetarios da como resultado:

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}=-1,}$

o

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{2}}(\omega _{s}+\omega _{r}).}$

Por tanto, la velocidad angular del portador de un diferencial de engranajes rectos es el promedio de las velocidades angulares de los engranajes solar y anular.

Al analizar el diferencial de engranajes rectos, el uso del término engranaje anular es una forma conveniente de distinguir los engranajes solares de los dos trenes de engranajes epicicloidales. Los engranajes anulares normalmente son fijos en la mayoría de las aplicaciones, ya que esta disposición tendrá una buena capacidad de reducción. El segundo engranaje solar cumple la misma función que el engranaje anular de un tren de engranajes planetarios simple, pero claramente no tiene el engranaje interno acoplado que es típico de un engranaje anular. ^[1]

Relación de transmisión del engranaje epicicloidal invertido

Animaciones CSS de engranajes epicicloidales con corona dentada de 56 dientes bloqueada (1), engranaje solar de 24 dientes bloqueado (2), portador con engranajes planetarios de 16 dientes bloqueados (3) y transmisión directa (4) – los números indican la velocidad angular relativa

Algunos trenes de engranajes epicicloidales emplean dos engranajes planetarios que engranan entre sí. Uno de estos planetas engrana con el engranaje solar y el otro con el engranaje anular. Esto da como resultado relaciones diferentes generadas por el planetario y también hace que el engranaje solar gire en la misma dirección que el engranaje anular cuando el portasatélites está estacionario. La ecuación fundamental se convierte en:

No se pudo analizar (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión Math no se puede conectar a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (R - 1) \omega_\text{c} = R \omega_\text{r} - \omega_\text{s}}

dónde ${\displaystyle R=-N_{\text{r}}/N_{\text{s}}}$

Lo que resulta en:

${\displaystyle \omega _{\text{r}}=\omega _{\text{s}}(1/R)}$Cuando el portador está bloqueado,

${\displaystyle \omega _{\text{r}}=\omega _{\text{c}}(R-1)/R}$Cuando el sol está bloqueado,

${\displaystyle \omega _{\text{s}}=-\omega _{\text{c}}(R-1)}$cuando el engranaje anular está bloqueado.

Engranajes planetarios compuestos

Serie de planetas escalonados del buje de bicicleta con engranajes internos Rohloff Speedhub, con la serie de planetas más pequeña engranando con la rueda solar y la serie de planetas más grande engranando con el engranaje anular

"Engranaje planetario compuesto" es un concepto general y se refiere a cualquier engranaje planetario que involucra uno o más de los siguientes tres tipos de estructuras: planeta engranado (hay al menos dos o más planetas engranados entre sí en cada tren planetario), planeta escalonado (existe una conexión de eje entre dos planetas en cada tren planetario) y estructuras de múltiples etapas (el sistema contiene dos o más conjuntos planetarios).

Algunos diseños utilizan "planetas escalonados" que tienen dos engranajes de diferentes tamaños en cada extremo de un eje común. El extremo pequeño se acopla al sol, mientras que el extremo grande se acopla al engranaje anular. Esto puede ser necesario para lograr cambios de paso más pequeños en la relación de transmisión cuando el tamaño general del paquete es limitado. Los planetas compuestos tienen "marcas de sincronización" (o "fase relativa de engrane de engranaje" en términos técnicos). Las condiciones de montaje de los engranajes planetarios compuestos son más restrictivas que los engranajes planetarios simples, ^[13] y deben ensamblarse en la orientación inicial correcta entre sí, o sus dientes no se acoplarán simultáneamente al sol y al engranaje anular en los extremos opuestos del planeta, lo que genera un funcionamiento muy irregular y una vida útil corta. En 2015, se desarrolló una variante basada en tracción del diseño de "planeta escalonado" en la Universidad Tecnológica de Delft, ^[14] que se basa en la compresión de los elementos del planeta escalonado para lograr la transmisión de par. El uso de elementos de tracción elimina la necesidad de "marcas de sincronización", así como las condiciones de montaje restrictivas que se encuentran típicamente. Los engranajes planetarios compuestos pueden lograr fácilmente una relación de transmisión mayor con un volumen igual o menor. Por ejemplo, los engranajes planetarios compuestos con dientes en una relación de 2:1 con un engranaje de anillo de 50T darían el mismo efecto que un engranaje de anillo de 100T, pero con la mitad del diámetro real.

Se pueden colocar más unidades de engranajes planetarios y solares en serie en la misma carcasa (donde el eje de salida de la primera etapa se convierte en el eje de entrada de la siguiente etapa) lo que proporciona una relación de transmisión mayor (o menor). Así es como funcionan la mayoría de las transmisiones automáticas . En algunos casos, varias etapas pueden incluso compartir el mismo engranaje anular que se puede extender a lo largo de la transmisión o incluso ser una parte estructural de la carcasa de cajas de cambios más pequeñas.

Durante la Segunda Guerra Mundial , se desarrolló una variante especial de engranaje epicicloidal para los equipos de radar portátiles , donde se necesitaba una relación de reducción muy alta en un paquete pequeño. Este tenía dos engranajes de anillo exteriores, cada uno de la mitad del grosor de los otros engranajes. Uno de estos dos engranajes de anillo se mantenía fijo y tenía un diente menos que el otro. Por lo tanto, varias vueltas del engranaje "solar" hacían que los engranajes "planetarios" completaran una sola revolución, lo que a su vez hacía que el engranaje de anillo giratorio girara con un solo diente como un mecanismo cicloidal . ^{[ cita requerida ]}

División de poder

Más de un miembro de un sistema puede servir como salida. Como ejemplo, la entrada está conectada al engranaje anular, el engranaje solar está conectado a la salida y el portasatélites está conectado a la salida a través de un convertidor de par . Se utilizan engranajes locos entre el engranaje solar y los planetas para hacer que el engranaje solar gire en la misma dirección que el engranaje anular cuando el portasatélites está estacionario. A baja velocidad de entrada, debido a la carga en la salida, el sol estará estacionario y el portasatélites girará en la dirección del engranaje anular. Dada una carga lo suficientemente alta, la turbina del convertidor de par permanecerá estacionaria, la energía se disipará y la bomba del convertidor de par se deslizará. Si la velocidad de entrada se aumenta para superar la carga, la turbina del convertidor hará girar el eje de salida. Debido a que el convertidor de par en sí mismo es una carga en el portasatélites, se ejercerá una fuerza sobre el engranaje solar. Tanto el portasatélites como el engranaje solar extraen energía del sistema y la aplican al eje de salida. ^[15]

Ventajas

Mecanismo de un sacapuntas con un engranaje anular fijo y un portasatélites giratorio como entrada. Los engranajes planetarios se extienden hasta convertirse en cuchillas cilíndricas que giran alrededor del lápiz colocado sobre el eje solar. Los ejes de los engranajes planetarios se unen en el ángulo de afilado del lápiz.

Los trenes de engranajes planetarios proporcionan una alta densidad de potencia en comparación con los trenes de engranajes de ejes paralelos estándar. Ofrecen una reducción en el volumen, múltiples combinaciones cinemáticas, reacciones puramente torsionales y ejes coaxiales. Las desventajas incluyen altas cargas en los cojinetes, requisitos de lubricación constante, inaccesibilidad y complejidad de diseño. ^{[16] [17]}

La pérdida de eficiencia en un tren de engranajes planetarios suele ser de alrededor del 3 % por etapa. Este tipo de eficiencia garantiza que una gran proporción (alrededor del 97 %) de la energía que se ingresa se transmita a través de la caja de cambios, en lugar de desperdiciarse en pérdidas mecánicas dentro de la caja de cambios.

La carga en un tren de engranajes planetarios se comparte entre varios planetas, por lo que la capacidad de torsión aumenta considerablemente. Cuantos más planetas haya en el sistema, mayor será la capacidad de carga y mayor la densidad de torsión.

El tren de engranajes planetarios también proporciona estabilidad gracias a una distribución uniforme de la masa y una mayor rigidez rotacional. El par aplicado radialmente a los engranajes de un tren de engranajes planetarios se transmite radialmente por el engranaje, sin presión lateral sobre los dientes del engranaje.

En una aplicación típica, la potencia de accionamiento se conecta al engranaje solar. A continuación, el engranaje solar acciona los engranajes planetarios ensamblados con el anillo de engranaje externo para que funcionen. Todo el conjunto del sistema de engranajes planetarios gira sobre su propio eje y a lo largo del anillo de engranaje externo, donde el eje de salida conectado al portador planetario logra el objetivo de reducción de velocidad. Se puede lograr una relación de reducción más alta duplicando los engranajes de múltiples etapas y los engranajes planetarios que pueden funcionar dentro del mismo engranaje de anillo.

El método de movimiento de una estructura de engranajes planetarios es diferente de los engranajes paralelos tradicionales. Los engranajes tradicionales se basan en una pequeña cantidad de puntos de contacto entre dos engranajes para transferir la fuerza motriz. En este caso, toda la carga se concentra en unas pocas superficies de contacto, lo que hace que los engranajes se desgasten rápidamente y, a veces, se agrieten. Pero el reductor de velocidad planetario tiene múltiples superficies de contacto de engranajes con un área más grande que puede distribuir la carga de manera uniforme alrededor del eje central. Varias superficies de engranajes comparten la carga, incluida cualquier carga de impacto instantánea, de manera uniforme, lo que las hace más resistentes a los daños causados ​​por un par mayor. Las piezas de la carcasa y los cojinetes también tienen menos probabilidades de sufrir daños debido a una carga elevada, ya que solo los cojinetes del portasatélites experimentan una fuerza lateral significativa debido a la transmisión del par, las fuerzas radiales se oponen entre sí y están equilibradas, y las fuerzas axiales solo surgen cuando se utilizan engranajes helicoidales.

Impresión 3D

Animación de un conjunto de engranajes para imprimir. Leyenda: eje impulsor y engranaje planetario (verde), engranaje anular (gris oscuro), engranajes planetarios (azul), eje impulsado y portador (rojo).

Los engranajes planetarios se han vuelto populares en la impresión 3D por diferentes razones. Las cajas de engranajes planetarios pueden proporcionar una gran relación de transmisión en un paquete pequeño y liviano. Algunas personas instalan dichas cajas de engranajes para obtener impresiones 3D más precisas al reducir el movimiento de sus motores paso a paso.

Un motor con reducción de velocidad debe girar más lejos y más rápido para producir el mismo movimiento de salida en la impresora 3D, lo que resulta ventajoso si no se ve compensado por la menor velocidad de movimiento. Si el motor paso a paso tiene que girar más lejos, también tiene que dar más pasos para mover la impresora una distancia determinada; por lo tanto, el motor paso a paso con reducción de velocidad tiene un tamaño de paso mínimo más pequeño que el mismo motor paso a paso sin caja de cambios. Si bien la reducción de velocidad mejora la precisión en el movimiento unidireccional, agrega holgura al sistema y, por lo tanto, reduce su precisión de posicionamiento absoluta.

Un uso popular de los sistemas de engranajes planetarios impresos en 3D es como juguetes para niños. ^{[ cita requerida ]} Dado que los engranajes en espiga son fáciles de imprimir en 3D, se ha vuelto muy popular imprimir en 3D un sistema de engranajes planetarios en espiga móviles para enseñar a los niños cómo funcionan los engranajes. Una ventaja de los engranajes en espiga es que no se caen del anillo y no necesitan una placa de montaje, lo que permite ver claramente las partes móviles.

Galería

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  Engranajes epicicloidales, planetarios compuestos y de anillo partido de un posicionador de espejo retrovisor de automóvil. La relación entre el engranaje solar de entrada y el engranaje de anillo negro de salida es de -5/352.
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  Engranajes reductores en el motor de turbina de gas Pratt & Whitney Canada PT6 .
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  Uno de los tres juegos de tres engranajes dentro del portasatélites de una transmisión Ford FMX Ravigneaux

Véase también

• Engranaje hipocicloidal
• Mecanismo de Antikythera : antigua computadora astronómica mecánica
• Transmisión continuamente variable (CVT)
• Transmisión cicloidal
• Epicicloide
• Ford Modelo T – tenía una transmisión planetaria de 2 velocidades.
• Caja de cambios
• Impulsión armónica
• Engranaje de buje , para bicicletas, etc.
• Transmisión continuamente variable NuVinci
• Engranaje planetario Ravigneaux
• Mecanismo de engranajes Lepelletier
• Rohloff Speedhub : caja de cambios para buje de bicicleta con 14 relaciones
• Engranaje planetario Simpson
• Sturmey Archer : primer gran fabricante de bujes de bicicleta que utiliza engranajes planetarios
• Uni Wheel : una rueda que incorpora un sistema de engranajes planetarios

Referencias

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Enlaces externos

• Biblioteca digital de modelos cinemáticos para el diseño (KMODDL), películas y fotografías de cientos de modelos de sistemas mecánicos en funcionamiento en Cornell.
• "Animación de engranajes epicicloidales en formato SVG"
• "Animación de engranajes epicicloidales"
• El "dispositivo de división de potencia"
• El "Tutorial interactivo de engranajes planetarios"
• Caja de cambios del Prius
• Caja de engranajes planetarios
• Atajos para analizar engranajes planetarios Archivado el 25 de febrero de 2021 en Wayback Machine