Curva plana trazada por un punto de un círculo que gira alrededor de otro círculo.
En geometría , una epicicloide (también llamada hipercicloide ) [1] es una curva plana que se produce al trazar la trayectoria de un punto elegido en la circunferencia de un círculo —llamado epiciclo— que rueda sin deslizarse alrededor de un círculo fijo. Es un tipo particular de ruleta .
Una epicicloide con un radio menor (R2) de 0 es un círculo. Ésta es una forma degenerada.
Ecuaciones
Si el círculo más pequeño tiene radio y el círculo más grande tiene radio , entonces las ecuaciones paramétricas de la curva pueden estar dadas por:
o:
Esto se puede escribir de una forma más concisa usando números complejos como [2]
dónde
el ángulo
el círculo más pequeño tiene radio , y
el círculo más grande tiene radio .
Área
(Suponiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande). Cuando es un número entero positivo, el área de esta epicicloide es
Significa que la epicicloide es más grande que el círculo estacionario original.
Si es un número entero positivo, entonces la curva es cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas afiladas).
Cuente las rotaciones de la animación para ver p y q.
Si es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y forma un subconjunto denso del espacio entre el círculo más grande y un círculo de radio .
La distancia desde el origen hasta el punto del círculo pequeño varía hacia arriba y hacia abajo según
Suponemos que la posición de es lo que queremos resolver, es el ángulo desde el punto tangencial al punto en movimiento y es el ángulo desde el punto inicial al punto tangencial.
Como no hay deslizamiento entre los dos ciclos, entonces tenemos que
Por la definición de ángulo (que es la velocidad del arco sobre el radio), entonces tenemos que
y
.
De estas dos condiciones obtenemos la identidad.
.
Al calcular, obtenemos la relación entre y , que es
.
En la figura, vemos claramente la posición del punto en el círculo pequeño.