En matemáticas , un elemento (o miembro ) de un conjunto es cualquiera de los objetos distintos que pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo, dado un conjunto llamado A que contiene los primeros cuatro números enteros positivos ( ), se podría decir que "3 es un elemento de A ", expresado en notación como .
Escribir significa que los elementos del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Los conjuntos de elementos de A , por ejemplo , son subconjuntos de A .
Los conjuntos pueden ser elementos en sí mismos. Por ejemplo, considere el conjunto . Los elementos de B no son 1, 2, 3 y 4. Más bien, hay solo tres elementos de B , a saber, los números 1 y 2, y el conjunto .
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo , verde y azul .
En términos lógicos, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P x = y ] : x ∈ 𝔇 y ) . [ aclaración necesaria ]
La relación "es un elemento de", también llamada pertenencia al conjunto , se denota con el símbolo "∈".
significa que " x es un elemento de A ". [1] Las expresiones equivalentes son " x es un miembro de A ", " x pertenece a A ", " x está en A " y " x se encuentra en A ". Las expresiones " A incluye a x " y " A contiene a x " también se utilizan para indicar la pertenencia a un conjunto, aunque algunos autores las utilizan para indicar en cambio " x es un subconjunto de A ". [2] El lógico George Boolos instó encarecidamente a que "contiene" se utilice solo para la pertenencia, e "incluye" solo para la relación de subconjunto. [3]
Para la relación ∈ , la relación inversa ∈ T puede escribirse
que significa " A contiene o incluye x ".
La negación de la pertenencia a un conjunto se denota con el símbolo "∉".
significa que " x no es un elemento de A ".
El símbolo ∈ fue utilizado por primera vez por Giuseppe Peano, en su obra de 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita . [4] Aquí escribió en la página X:
Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …
lo que significa
El símbolo ∈ significa . Por lo tanto, a ∈ b se lee como a es un cierto b; …
El símbolo en sí es una letra griega minúscula estilizada épsilon ("ϵ"), la primera letra de la palabra ἐστί , que significa "es". [4]
Utilizando los conjuntos definidos anteriormente, es decir, A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} y C = {rojo, verde, azul}, las siguientes afirmaciones son verdaderas:
El número de elementos de un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad ; informalmente, este es el tamaño de un conjunto. [5] En los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto A es 4, mientras que la cardinalidad del conjunto B y el conjunto C son ambos 3. Un conjunto infinito es un conjunto con un número infinito de elementos, mientras que un conjunto finito es un conjunto con un número finito de elementos. Los ejemplos anteriores son ejemplos de conjuntos finitos. Un ejemplo de un conjunto infinito es el conjunto de números enteros positivos {1, 2, 3, 4, ...} .
Como relación , la pertenencia a un conjunto debe tener un dominio y un rango. Convencionalmente, el dominio se denomina universo y se denota por U. El rango es el conjunto de subconjuntos de U, llamado conjunto potencia de U y denotado por P( U ). Por lo tanto, la relación es un subconjunto de U × P( U ) . La relación inversa es un subconjunto de P( U ) × U.
