Pirámide pentagonal

Pirámide con base de pentágono

En geometría , una pirámide pentagonal es una pirámide con una base pentagonal y cinco caras triangulares, con un total de seis caras. Se clasifica como un sólido de Johnson si todas las aristas tienen la misma longitud, formando caras triangulares equiláteras y una base pentagonal regular . La pirámide pentagonal se puede encontrar en muchos poliedros, incluida su construcción. También se presenta en la estereoquímica en la geometría molecular piramidal pentagonal .

Propiedades

Una pirámide pentagonal tiene seis vértices, diez aristas y seis caras. Una de sus caras es un pentágono , una base de la pirámide; las otras cinco son triángulos . ^[2] Cinco de las aristas forman el pentágono conectando sus cinco vértices, y las otras cinco aristas se conocen como aristas laterales de la pirámide, y se encuentran en el sexto vértice llamado ápice . ^[3] Se dice que una pirámide pentagonal es regular si su base está circunscrita a un círculo que forma un pentágono regular , y se dice que es recta si su altura está erigida perpendicularmente al centro de la base. ^[4]

Al igual que otras pirámides rectas con un polígono regular como base, esta pirámide tiene simetría piramidal de grupo cíclico : la pirámide se deja invariante por rotaciones de uno, dos, tres y cuatro en cinco de una vuelta completa alrededor de su eje de simetría , la línea que conecta el vértice con el centro de la base. También es simétrica en espejo con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. ^[1] Puede representarse como el gráfico de rueda , lo que significa que su esqueleto puede interpretarse como un pentágono en el que sus cinco vértices conectan un vértice en el centro llamado vértice universal . ^[5] Es autodual , lo que significa que su poliedro dual es la propia pirámide pentagonal. ^[6] ${\displaystyle C_{5\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle W_{5}}$

Modelo 3D de una pirámide pentagonal

Cuando todas las aristas tienen la misma longitud, las cinco caras triangulares son equiláteras y la base es un pentágono regular. Debido a que esta pirámide sigue siendo convexa y todas sus caras son polígonos regulares , se clasifica como el segundo sólido de Johnson . ^[7] El ángulo diedro entre dos caras triangulares adyacentes es de aproximadamente 138,19° y el que hay entre la cara triangular y la base es de 37,37°. ^[1] Es un poliedro elemental , lo que significa que no se puede separar por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares. ^[8] Dado que es la longitud de todas las aristas de la pirámide pentagonal. El área de la superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. Por lo tanto, el área de la superficie de una pirámide pentagonal es la suma del área de los cuatro triángulos y un pentágono. El volumen de cada pirámide es igual a un tercio del área de su base multiplicada por su altura. Es decir, el volumen de una pirámide pentagonal es un tercio del producto de la altura por el área de la pirámide pentagonal. ^[9] En el caso del sólido de Johnson con longitud de arista , su área superficial y volumen son: ^[10] ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\approx 3.88554a^{2},\\V&={\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}a^{3}\approx 0.30150a^{3}.\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

Las pirámides pentagonales se pueden encontrar en un pequeño dodecaedro estrellado.

Las pirámides pentagonales se pueden encontrar como componentes de muchos poliedros. Unir su base a la cara pentagonal de otro poliedro es un ejemplo del proceso de construcción conocido como aumento , y unirlo a prismas o antiprismas se conoce como elongación o giroelongación , respectivamente. ^[11] Ejemplos de poliedros son el pentakisdodecaedro que se construye a partir del dodecaedro uniendo la base de pirámides pentagonales a cada cara pentagonal, el pequeño dodecaedro estrellado que se construye a partir de un dodecaedro regular estrellado por pirámides pentagonales y el icosaedro regular que se construye a partir de un antiprisma pentagonal uniendo dos pirámides pentagonales a sus bases pentagonales. ^[12] Algunos sólidos de Johnson se construyen aumentando pirámides pentagonales o aumentando otras formas con pirámides pentagonales: pirámide pentagonal alargada , pirámide pentagonal giroelongada , bipirámide pentagonal , bipirámide pentagonal alargada , dodecaedro aumentado , dodecaedro parabiaumentado , dodecaedro metabiaumentado y dodecaedro triaumentado . ^[13] De manera relacionada, la eliminación de una pirámide pentagonal de los poliedros es un ejemplo conocido como disminución ; el icosaedro metabidiminado y el icosaedro tridiminuto son los ejemplos en los que sus construcciones comienzan eliminando pirámides pentagonales de un icosaedro regular. ^[14] ${\displaystyle J_{9}}$ ${\displaystyle J_{11}}$ ${\displaystyle J_{13}}$ ${\displaystyle J_{16}}$ ${\displaystyle J_{58}}$ ${\displaystyle J_{59}}$ ${\displaystyle J_{60}}$ ${\displaystyle J_{61}}$ ${\displaystyle J_{62}}$ ${\displaystyle J_{63}}$

En estereoquímica , un grupo de átomos puede tener una geometría piramidal pentagonal . Esta molécula tiene un elemento del grupo principal con un par solitario activo, que puede describirse mediante un modelo que predice la geometría de las moléculas conocida como teoría VSEPR . ^[15] Un ejemplo de una molécula con esta estructura incluye el carbonato de jaula nido CB ₅ H ₉ . ^[16]

Referencias

Notas

1. Johnson (1966).
2. • Ball y Coxeter (1987), pág. 130
   • Grgić y otros (2022), pág. 476
3. Smith (2000), pág. 98.
4. • Calter y Calter (2011), pág. 198
   • Polya (1954), pág. 138
5. Pisanski y Servatius (2013), pág. 21.
6. Wohlleben (2019), pág. 485–486.
7. Uehara (2020), pág. 62.
8. • Hartshorne (2000), pág. 464
   • Johnson (1966)
9. Calter y Calter (2011), pág. 198.
10. Berman (1971).
11. Slobodan, Obradović y Ðukanović (2015).
12. • Çolak y Gelişgen (2015)
    • Kappraff (2001), pág. 309
    • Silvester (2001), págs. 140-141
13. Rajwade (2001), págs. 84-88. Véase la Tabla 12.3, donde denota el prisma de lados y denota el antiprisma de lados . ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$
14. Gailiunas (2001).
15. Petrucci, Harwood y Herring (2002), pág. 414.
16. Macartney (2017), pág. 482.

Obras citadas

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Pirámide pentagonal" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .
• Poliedros de realidad virtual www.georgehart.com: La enciclopedia de poliedros ( modelo VRML )