Cada sección plana de un paraboloide por un plano paralelo al eje de simetría es una parábola. El paraboloide es hiperbólico si cada dos secciones del plano es una hipérbola o dos líneas que se cruzan (en el caso de una sección por un plano tangente). El paraboloide es elíptico si cada dos secciones del plano no vacío es una elipse o un solo punto (en el caso de una sección por un plano tangente). Un paraboloide es elíptico o hiperbólico.
De manera equivalente, un paraboloide puede definirse como una superficie cuádrica que no es un cilindro y tiene una ecuación implícita cuya parte de grado dos puede factorizarse sobre los números complejos en dos factores lineales diferentes. El paraboloide es hiperbólico si los factores son reales; elíptica si los factores son conjugados complejos .
Un paraboloide elíptico tiene forma de copa ovalada y tiene un punto máximo o mínimo cuando su eje es vertical. En un sistema de coordenadas adecuado con tres ejes x , y y z , se puede representar mediante la ecuación [1]
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Un paraboloide hiperbólico (no confundir con hiperboloide ) es una superficie doblemente reglada con forma de silla de montar . En un sistema de coordenadas adecuado, un paraboloide hiperbólico se puede representar mediante la ecuación [2] [3]
xyx = 0y = 0
Cualquier paraboloide (elíptico o hiperbólico) es una superficie de traslación , pues puede ser generada por una parábola en movimiento dirigida por una segunda parábola.
Si a = b , un paraboloide elíptico es un paraboloide circular o paraboloide de revolución . Es una superficie de revolución que se obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje.
Un paraboloide circular contiene círculos. Esto también es cierto en el caso general (ver sección Circular ).
En el eje de un paraboloide circular, hay un punto llamado foco (o punto focal ), de modo que, si el paraboloide es un espejo, la luz (u otras ondas) de una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo. , paralelo al eje del paraboloide. Esto también funciona al revés: un haz de luz paralelo al eje del paraboloide se concentra en el punto focal. Para obtener una prueba, consulte Parábola § Prueba de la propiedad reflectante .
Por lo tanto, la forma de un paraboloide circular se usa ampliamente en astronomía para reflectores parabólicos y antenas parabólicas.
La superficie de un líquido en rotación también es un paraboloide circular. Se utiliza en telescopios de espejo líquido y en la fabricación de espejos telescópicos sólidos (ver horno giratorio ).
Los rayos paralelos que llegan a un espejo parabólico circular se reflejan hacia el punto focal, F , o viceversa.
reflector parabólico
Girando agua en un vaso.
paraboloide hiperbólico
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada : contiene dos familias de líneas mutuamente oblicuas . Las rectas de cada familia son paralelas a un plano común, pero no entre sí. Por tanto, el paraboloide hiperbólico es una conoide .
Estas propiedades caracterizan a los paraboloides hiperbólicos y se utilizan en una de las definiciones más antiguas de paraboloides hiperbólicos: un paraboloide hiperbólico es una superficie que puede generarse por una línea en movimiento que es paralela a un plano fijo y cruza dos líneas oblicuas fijas .
Esta propiedad simplifica la fabricación de un paraboloide hiperbólico a partir de una variedad de materiales y para diversos propósitos, desde techos de concreto hasta bocadillos. En particular, los snacks fritos Pringles se parecen a un paraboloide hiperbólico truncado. [4]
Una sección plana de un paraboloide hiperbólico con ecuación
una recta , si el plano es paralelo al eje z y tiene una ecuación de la forma ,
una parábola , si el plano es paralelo al eje z y la sección no es una línea,
un par de rectas que se cruzan , si el plano es tangente ,
una hipérbola , en caso contrario.
Ejemplos en arquitectura
Los techos a dos aguas son a menudo paraboloides hiperbólicos, ya que se construyen fácilmente a partir de secciones rectas de material. Algunos ejemplos:
Se necesita un cálculo más complejo para encontrar el diámetro del plato medido a lo largo de su superficie . A esto a veces se le llama "diámetro lineal" y equivale al diámetro de una lámina de material plana y circular, generalmente metal, que tiene el tamaño adecuado para cortarla y doblarla para hacer el plato. Dos resultados intermedios son útiles en el cálculo: P = 2 F (o el equivalente: P =R 2/2D) y Q = √ P 2 + R 2 , donde F , D y R se definen como anteriormente. El diámetro del plato, medido a lo largo de la superficie, viene dado por
El volumen del plato, la cantidad de líquido que podría contener si el borde fuera horizontal y el vértice en el fondo (por ejemplo, la capacidad de un wok paraboloidal ), viene dado por
^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass ; Frank R. Giordiano (2005). Cálculo de Thomas 11ª ed . Pearson Education, Inc. pág. 892.ISBN 0-321-18558-7.
^ ab Weisstein, Eric W. "Paraboloide hiperbólico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Cálculo de Thomas 11ª ed . Pearson Education, Inc. pág. 896.ISBN0-321-18558-7.
^ Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2011), Cálculo: primeros trascendentales, Jones & Bartlett Publishers, pág. 649, ISBN9781449644482.
enlaces externos
Medios relacionados con el paraboloide en Wikimedia Commons