Paquete normal

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , un fibrado normal es un tipo particular de fibrado vectorial , complementario al fibrado tangente , y que proviene de una incrustación (o inmersión ).

Definición

Variedad de Riemann

Sea una variedad de Riemann y una subvariedad de Riemann . Definamos, para un dado , un vector que sea normal a siempre que para todo (de modo que sea ortogonal a ). El conjunto de todos estos se denomina entonces espacio normal a en . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g(n,v)=0}$ ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$

Así como el espacio total del fibrado tangente a una variedad se construye a partir de todos los espacios tangentes a la variedad, el espacio total del fibrado normal ^[1] a se define como ${\displaystyle \mathrm {N} S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$.

El fibrado conormal se define como el fibrado dual del fibrado normal. Puede realizarse naturalmente como un subfibrado del fibrado cotangente .

Definición general

De manera más abstracta, dada una inmersión (por ejemplo, una incrustación), se puede definir un fibrado normal de N en M , tomando en cada punto de N , el espacio cociente del espacio tangente en M por el espacio tangente en N . Para una variedad de Riemann se puede identificar este cociente con el complemento ortogonal, pero en general no se puede (tal elección es equivalente a una sección de la proyección ). ${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle V\to V/W}$

Así, el fibrado normal es en general un cociente del fibrado tangente del espacio ambiente restringido al subespacio.

Formalmente, el fibrado normal ^[2] a N en M es un fibrado cociente del fibrado tangente en M : se tiene la secuencia exacta corta de fibrados vectoriales en N :

${\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}$

donde es la restricción del fibrado tangente en M a N (propiamente, la retirada del fibrado tangente en M a un fibrado vectorial en N mediante la función ). La fibra del fibrado normal en se denomina espacio normal en (de en ). ${\displaystyle TM\vert _{i(N)}}$ ${\displaystyle i^{*}TM}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$ ${\displaystyle p\in N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Paquete conormal

Si es una subvariedad suave de una variedad , podemos elegir coordenadas locales alrededor de tales que esté definida localmente por ; entonces con esta elección de coordenadas ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle p\in Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

y el haz ideal se genera localmente por . Por lo tanto, podemos definir un emparejamiento no degenerado ${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

que induce un isomorfismo de haces . Podemos reformular este hecho introduciendo el fibrado conormal definido mediante la sucesión exacta conormal ${\displaystyle T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }}$ ${\displaystyle T_{X/Y}^{*}}$

${\displaystyle 0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$,

entonces , es decir, las secciones del fibrado conormal son los vectores cotangentes que se desvanecen en . ${\displaystyle T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TY}$

Cuando es un punto, entonces el haz ideal es el haz de gérmenes suaves que se desvanecen en y el isomorfismo se reduce a la definición del espacio tangente en términos de gérmenes de funciones suaves en ${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}}$.

Paquete normal estable

Las variedades abstractas tienen un fibrado tangente canónico , pero no tienen un fibrado normal: solo una incrustación (o inmersión) de una variedad en otra produce un fibrado normal. Sin embargo, dado que toda variedad puede incrustarse en , por el teorema de incrustación de Whitney , toda variedad admite un fibrado normal, dada dicha incrustación. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

En general, no hay una elección natural de incrustación, pero para un M dado , dos incrustaciones cualesquiera en para un N suficientemente grande son homotópicas regulares y, por lo tanto, inducen el mismo fibrado normal. La clase resultante de fibrados normales (es una clase de fibrados y no un fibrado específico porque N podría variar) se denomina fibrado normal estable . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

Fibrado dual a tangente

El fibrado normal es dual al fibrado tangente en el sentido de la teoría K : por la secuencia exacta corta anterior,

${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=[TM]}$

en el grupo de Grothendieck . En caso de una inmersión en , el fibrado tangente del espacio ambiente es trivial (ya que es contráctil, por lo tanto paralelizable ), por lo que , y por lo tanto . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=0}$ ${\displaystyle [T_{M/N}]=-[TN]}$

Esto es útil en el cálculo de clases características y permite demostrar límites inferiores en la sumergibilidad e incrustabilidad de variedades en el espacio euclidiano .

Para variedades simplécticas

Supóngase que una variedad está embebida en una variedad simpléctica , de modo que el pullback de la forma simpléctica tiene rango constante en . Entonces se puede definir el fibrado normal simpléctico a X como el fibrado vectorial sobre X con fibras ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}$

donde denota la incrustación. Nótese que la condición de rango constante asegura que estos espacios normales encajen entre sí para formar un fibrado. Además, cualquier fibra hereda la estructura de un espacio vectorial simpléctico. ^[3] ${\displaystyle i:X\rightarrow M}$

Por el teorema de Darboux , la incrustación de rango constante está determinada localmente por . El isomorfismo ${\displaystyle i^{*}(TM)}$

${\displaystyle i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },}$

La existencia de fibrados vectoriales simplécticos implica que el fibrado normal simpléctico ya determina localmente la incrustación de rango constante. Esta característica es similar al caso de Riemann. ${\displaystyle X}$

Referencias

1. John M. Lee, Variedades de Riemann, una introducción a la curvatura , (1997) Springer-Verlag Nueva York, Textos de posgrado en matemáticas 176 ISBN  978-0-387-98271-7
2. Tammo tom Dieck , Topología algebraica , (2010) EMS Textbooks in Mathematics ISBN 978-3-03719-048-7 
3. Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X