El péndulo de Kater es un péndulo reversible de oscilación libre inventado por el físico y capitán del ejército británico Henry Kater en 1817, publicado el 29 de enero de 1818 [1] para su uso como instrumento gravímetro para medir la aceleración local de la gravedad . Su ventaja es que, a diferencia de los gravímetros de péndulo anteriores, no es necesario determinar el centro de gravedad y el centro de oscilación del péndulo , lo que permite una mayor precisión. Durante aproximadamente un siglo, hasta la década de 1930, el péndulo de Kater y sus diversos refinamientos siguieron siendo el método estándar para medir la fuerza de la gravedad de la Tierra durante los estudios geodésicos . Ahora se utiliza sólo para demostrar los principios del péndulo.
Se puede utilizar un péndulo para medir la aceleración de la gravedad g porque para oscilaciones estrechas su período de oscilación T depende sólo de g y su longitud L : [2]
Entonces, midiendo la longitud L y el período T de un péndulo, se puede calcular g .
El péndulo de Kater consta de una barra metálica rígida con dos puntos de pivote, uno cerca de cada extremo de la barra. Se puede suspender de cualquier pivote y girar. También tiene un peso ajustable que se puede mover hacia arriba y hacia abajo en la barra, o un pivote ajustable para ajustar los períodos de balanceo. En uso, se gira desde un pivote y se cronometra el período , y luego se le da la vuelta y se gira desde el otro pivote y se cronometra el período. El peso móvil (o pivote) se ajusta hasta que los dos períodos sean iguales. En este punto, el período T es igual al período de un péndulo simple "ideal" de longitud igual a la distancia entre los pivotes. A partir del período y la distancia medida L entre los pivotes, la aceleración de la gravedad se puede calcular con gran precisión a partir de la ecuación (1) anterior.
La aceleración debida a la gravedad por el péndulo de Kater viene dada por [3]
donde T 1 y T 2 son los períodos de tiempo de las oscilaciones cuando está suspendido de K 1 y K 2 respectivamente y ℓ 1 y ℓ 2 son las distancias de los filos de cuchillo K 1 y K 2 desde el centro de gravedad respectivamente.
La primera persona en descubrir que la gravedad variaba sobre la superficie terrestre fue el científico francés Jean Richer , quien en 1671 fue enviado en una expedición a Cayena , Guayana Francesa , por la Academia de Ciencias francesa , asignándole la tarea de realizar mediciones con un reloj de péndulo . A través de las observaciones que hizo al año siguiente, Richer determinó que el reloj marcaba las 2+1 ⁄ minutos por día más lento que en París, o lo que es lo mismo, la longitud de un péndulo con una oscilación de un segundo era 1+1 ⁄ 4 líneas de París, o 2,6 mm, más cortas que en París. [4] [5] Los científicos de la época se dieron cuenta, y Isaac Newton lo demostró en 1687, que esto se debía al hecho de que la Tierra no era una esfera perfecta sino ligeramente achatada ; era más espesa en el ecuador debido a la rotación de la Tierra. Como la superficie estaba más alejada del centro de la Tierra en Cayena que en París, la gravedad era más débil allí. Después de que se hizo ese descubrimiento, los péndulos de libre movimiento comenzaron a usarse como gravímetros de precisión , llevados en viajes a diferentes partes del mundo para medir la aceleración gravitacional local. La acumulación de datos geográficos sobre la gravedad dio lugar a modelos cada vez más precisos de la forma general de la Tierra.
Los péndulos se usaban tan universalmente para medir la gravedad que, en la época de Kater, la fuerza de gravedad local generalmente no se expresaba por el valor de la aceleración g ahora utilizada, sino por la longitud en ese lugar del péndulo de segundos , un péndulo con un período. de dos segundos, por lo que cada movimiento dura un segundo. Se puede ver en la ecuación (1) que para un péndulo de segundos, la longitud es simplemente proporcional a g :
En la época de Kater, el período T de los péndulos podía medirse con mucha precisión cronometrándolos con relojes de precisión ajustados por el paso de las estrellas sobre nuestras cabezas. Antes del descubrimiento de Kater, la precisión de las mediciones de g estaba limitada por la dificultad de medir con precisión el otro factor L , la longitud del péndulo. L en la ecuación (1) anterior era la longitud de un 'péndulo simple' matemático ideal que consiste en una masa puntual que oscila en el extremo de una cuerda sin masa. Sin embargo, la "longitud" de un péndulo real, un cuerpo rígido oscilante, conocido en mecánica como péndulo compuesto , es más difícil de definir. En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens en su análisis matemático de los péndulos, Horologium Oscillatorium , demostró que un péndulo real tenía el mismo período que un péndulo simple con una longitud igual a la distancia entre el punto de pivote y un punto llamado centro de oscilación , que está ubicado debajo del centro de gravedad del péndulo y depende de la distribución de masa a lo largo del péndulo. El problema era que no había manera de encontrar con precisión la ubicación del centro de oscilación en un péndulo real. En teoría, podría calcularse a partir de la forma del péndulo si las piezas metálicas tuvieran una densidad uniforme, pero la calidad metalúrgica y las habilidades matemáticas de la época no permitían realizar el cálculo con precisión.
Para solucionar este problema, la mayoría de los primeros investigadores de la gravedad, como Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) y Jean-Charles de Borda (1792), aproximaron un péndulo simple utilizando una esfera de metal suspendida por una luz. cable. Si el alambre tenía una masa insignificante, el centro de oscilación estaba cerca del centro de gravedad de la esfera. Pero incluso encontrar con precisión el centro de gravedad de la esfera fue difícil. Además, este tipo de péndulo no era inherentemente muy preciso. La esfera y el alambre no se balanceaban hacia adelante y hacia atrás como una unidad rígida, porque la esfera adquiría un ligero momento angular durante cada movimiento. Además, el alambre se estiró elásticamente durante la oscilación del péndulo, cambiando L ligeramente durante el ciclo.
Sin embargo, en Horologium Oscillatorium , Huygens también había demostrado que el punto de pivote y el centro de oscilación eran intercambiables. Es decir, si un péndulo se suspende boca abajo de su centro de oscilación, tiene el mismo período de oscilación y el nuevo centro de oscilación es el antiguo punto de pivote. La distancia entre estos dos puntos conjugados era igual a la longitud de un péndulo simple con el mismo período.
Como parte de un comité designado por la Royal Society en 1816 para reformar las medidas británicas, la Cámara de los Comunes había contratado a Kater para determinar con precisión la longitud del péndulo de segundos en Londres. [6] Se dio cuenta de que el principio de Huygens podía usarse para encontrar el centro de oscilación, y por tanto la longitud L , de un péndulo rígido (compuesto). Si un péndulo se colgara boca abajo desde un segundo punto de pivote que pudiera ajustarse hacia arriba y hacia abajo en la varilla del péndulo, y el segundo pivote se ajustara hasta que el péndulo tuviera el mismo período que cuando oscilaba hacia arriba desde el primer pivote, el segundo pivote estaría en el centro de oscilación y la distancia entre los dos puntos de pivote sería L.
Kater no fue la primera en tener esta idea. [7] [8] El matemático francés Gaspard de Prony propuso por primera vez un péndulo reversible en 1800, pero su trabajo no se publicó hasta 1889. En 1811, Friedrich Bohnenberger lo descubrió nuevamente, pero Kater lo inventó de forma independiente y fue el primero en ponerlo en práctica.
Kater construyó un péndulo que constaba de una varilla de latón de unos 2 metros de largo, 1+1 ⁄ 2 pulgadas de ancho y un octavo de pulgada de espesor, con un peso (d) en un extremo. [1] [9] Para un pivote de baja fricción utilizó un par de hojas cortas triangulares unidas a la varilla. En uso, el péndulo se colgaba de un soporte en la pared, sostenido por los bordes de las hojas de los cuchillos que descansaban sobre placas planas de ágata. El péndulo tenía dos de estos pivotes de hoja de cuchillo (a) , uno frente al otro, aproximadamente a un metro (40 pulgadas) de distancia, de modo que una oscilación del péndulo tomó aproximadamente un segundo cuando estaba colgado de cada pivote.
Kater descubrió que hacer que uno de los pivotes fuera ajustable provocaba imprecisiones, lo que dificultaba mantener el eje de ambos pivotes exactamente paralelo. En lugar de ello, fijó permanentemente las hojas de los cuchillos a la varilla y ajustó los períodos del péndulo mediante un pequeño peso móvil (b,c) en el eje del péndulo. Dado que la gravedad sólo varía como máximo un 0,5% sobre la Tierra, y en la mayoría de los lugares mucho menos, el peso sólo tuvo que ajustarse ligeramente. Mover el peso hacia uno de los pivotes disminuyó el período de suspensión de ese pivote y aumentó el período de suspensión del otro pivote. Esto también tenía la ventaja de que la medición precisa de la separación entre los pivotes sólo debía realizarse una vez.
Para usarlo, el péndulo se colgó de un soporte en una pared, con los pivotes de la hoja del cuchillo apoyados en dos pequeñas placas de ágata horizontales, frente a un reloj de péndulo de precisión para cronometrar el período. Primero se giró desde un pivote y las oscilaciones se cronometraron, luego se le dio la vuelta y se giró desde el otro pivote y las oscilaciones se cronometraron nuevamente. El peso pequeño (b) se ajustó con el tornillo de ajuste y el proceso se repitió hasta que el péndulo tuvo el mismo período cuando oscilaba desde cada pivote. Al poner el período medido T y la distancia medida entre las palas de pivote L en la ecuación del período (1), g podría calcularse con mucha precisión.
Kater realizó 12 ensayos. [1] Midió el período de su péndulo con mucha precisión utilizando el péndulo del reloj por el método de las coincidencias ; cronometrando el intervalo entre las coincidencias cuando los dos péndulos oscilaban en sincronismo. Midió la distancia entre las palas pivotantes con un microscopio comparador, con una precisión de 10 −4 pulgadas (2,5 μm). Al igual que con otras mediciones de la gravedad del péndulo, tuvo que aplicar pequeñas correcciones al resultado debido a una serie de factores variables:
Dio su resultado como la longitud del péndulo de segundos . Después de las correcciones, descubrió que la longitud media del péndulo de segundos solares en Londres, al nivel del mar, a 62 °F (17 °C), oscilando en el vacío, era de 39,1386 pulgadas. Esto equivale a una aceleración gravitacional de 9,81158 m/s 2 . La mayor variación de sus resultados con respecto a la media fue de 0,00028 pulgadas (7,1 μm). Esto representó una precisión de medición de la gravedad de 0,7×10 −5 (7 miligales ).
En 1824, el Parlamento británico hizo de la medición de Kater del péndulo de segundos el estándar oficial de respaldo de longitud para definir el patio en caso de que el prototipo del patio fuera destruido. [10] [11] [12] [13]
El gran aumento en la precisión de la medición de la gravedad hecho posible por el péndulo de Kater estableció la gravimetría como una parte regular de la geodesia . Para que fuera útil, era necesario encontrar la ubicación exacta (latitud y longitud) de la 'estación' donde se tomaba una medición de la gravedad, por lo que las mediciones con péndulo pasaron a formar parte de la topografía . Los péndulos de Kater se utilizaron en los grandes estudios geodésicos históricos de gran parte del mundo que se realizaron durante el siglo XIX. En particular, los péndulos de Kater se utilizaron en el Gran Estudio Trigonométrico de la India.
Los péndulos reversibles siguieron siendo el método estándar utilizado para las mediciones de la gravedad absoluta hasta que fueron reemplazados por los gravímetros de caída libre en la década de 1950. [14]
Cronometrar repetidamente cada período de un péndulo de Kater y ajustar los pesos hasta que fueran iguales consumía mucho tiempo y era propenso a errores. Friedrich Bessel demostró en 1826 que esto era innecesario. Siempre que los períodos medidos desde cada pivote, T 1 y T 2 , tengan valores similares, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular a partir de ellos: [15]
Aquí y están las distancias de los dos pivotes desde el centro de gravedad del péndulo. La distancia entre los pivotes, , se puede medir con gran precisión. y , y por tanto su diferencia , no se pueden medir con una precisión comparable. Se encuentran equilibrando el péndulo sobre el filo de un cuchillo para encontrar su centro de gravedad y midiendo las distancias de cada uno de los pivotes desde el centro de gravedad. Sin embargo, debido a que es mucho más pequeño que , el segundo término a la derecha en la ecuación anterior es pequeño en comparación con el primero, por lo que no es necesario determinarlo con gran precisión y el procedimiento de equilibrio descrito anteriormente es suficiente para dar resultados precisos. .
Por lo tanto, el péndulo no tiene por qué ser ajustable en absoluto, puede ser simplemente una varilla con dos pivotes. Siempre que cada pivote esté cerca del centro de oscilación del otro, de modo que los dos períodos estén cerca, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular con la ecuación (2), y la gravedad se puede calcular a partir de T y L. con (1).
Además, Bessel demostró que si el péndulo se hiciera con una forma simétrica, pero con peso interno en un extremo, el error causado por los efectos de la resistencia del aire se anularía. Además, se podría anular otro error causado por el diámetro finito de los bordes de la cuchilla de pivote intercambiando los bordes de la cuchilla.
Bessel no construyó tal péndulo, pero en 1864 Adolf Repsold, bajo contrato con la Comisión Geodésica Suiza, desarrolló un péndulo simétrico de 56 cm de largo con palas pivotantes intercambiables, con un período de aproximadamente 3 ⁄ 4 segundos. El péndulo Repsold fue utilizado ampliamente por las agencias geodésicas suiza y rusa, y en el Survey of India . Otros péndulos de este diseño ampliamente utilizados fueron fabricados por Charles Peirce y C. Defforges.
La Conferencia Europea de Medición del Arco de 1875 abordó el mejor instrumento que se podía utilizar para determinar la gravedad. La asociación se decidió a favor del péndulo de reversión y se decidió rehacer en Berlín, en la estación donde Friedrich Wilhelm Bessel hizo sus famosas mediciones, la determinación de la gravedad mediante dispositivos de diversos tipos utilizados en diferentes países, con el fin de comparar ellos y así tener la ecuación de sus escalas, después de una discusión en profundidad en la que participó un estudioso estadounidense, Charles Sanders Peirce . [16] De hecho, como la figura de la Tierra podía inferirse de las variaciones de la longitud del péndulo en segundos , la dirección del Servicio Costero de los Estados Unidos instruyó a Charles Sanders Peirce en la primavera de 1875 a viajar a Europa con el fin de realizar experimentos con el péndulo para estaciones iniciales para operaciones de este tipo, a fin de poner en comunicación las determinaciones de las fuerzas de gravedad en América con las de otras partes del mundo; y también con el fin de hacer un estudio cuidadoso de los métodos para realizar estas investigaciones en los diferentes países de Europa. [17]
La determinación de la gravedad mediante el péndulo reversible estaba sujeta a dos tipos de errores. Por un lado la resistencia del aire y por otro los movimientos que las oscilaciones del péndulo impartían a su plano de suspensión. Estos movimientos fueron particularmente importantes en el aparato diseñado por los hermanos Repsold según las indicaciones de Bessel, porque el péndulo tenía una gran masa para contrarrestar el efecto de la viscosidad del aire. Mientras Emile Plantamour realizaba una serie de experimentos con este dispositivo, Adolph Hirsch encontró una manera de demostrar los movimientos del plano de suspensión del péndulo mediante un ingenioso proceso de amplificación óptica. Isaac-Charles Élisée Cellérier, matemático ginebrino y Charles Sanders Peirce desarrollarían de forma independiente una fórmula de corrección que permitiera utilizar las observaciones realizadas con este tipo de gravímetro. [18] [19]
Presidente de la Comisión Permanente de Medición del Arco Europeo de 1874 a 1886, Carlos Ibáñez Ibáñez de Ibero se convirtió en el primer presidente de la Asociación Geodésica Internacional (1887-1891) tras la muerte de Johann Jacob Baeyer . Bajo la presidencia de Ibáñez, la Asociación Geodésica Internacional adquirió una dimensión global con la adhesión de Estados Unidos , México , Chile , Argentina y Japón . Como resultado del trabajo de la Asociación Geodésica Internacional, en 1901, Friedrich Robert Helmert encontró, principalmente mediante gravimetría, parámetros del elipsoide notablemente cercanos a la realidad. [20] [21] [22] [23]
péndulo.
