Material ortotrópico

En la ciencia de los materiales y la mecánica de sólidos , los materiales ortotrópicos tienen propiedades materiales en un punto particular que difieren a lo largo de tres ejes ortogonales , donde cada eje tiene una simetría rotacional doble . Estas diferencias direccionales en la resistencia se pueden cuantificar con la ecuación de Hankinson .

Son un subconjunto de materiales anisotrópicos , porque sus propiedades cambian cuando se miden desde diferentes direcciones.

Un ejemplo conocido de material ortotrópico es la madera . En la madera, se pueden definir tres direcciones perpendiculares entre sí en cada punto en el que las propiedades son diferentes. Es más rígida (y fuerte) a lo largo de la fibra (dirección axial), porque la mayoría de las fibrillas de celulosa están alineadas de esa manera. Por lo general, es menos rígida en la dirección radial (entre los anillos de crecimiento) y es intermedia en la dirección circunferencial. Esta anisotropía fue proporcionada por la evolución, ya que permite que el árbol se mantenga erguido.

Debido a que el sistema de coordenadas preferido es cilíndrico-polar, este tipo de ortotropía también se denomina ortotropía polar .

Otro ejemplo de material ortotrópico es la chapa metálica formada al comprimir secciones gruesas de metal entre rodillos pesados. Esto aplana y estira su estructura granular . Como resultado, el material se vuelve anisotrópico : sus propiedades difieren entre la dirección en la que se laminó y cada una de las dos direcciones transversales. Este método se utiliza con ventaja en vigas de acero estructural y en revestimientos de aluminio para aeronaves.

Si las propiedades ortotrópicas varían entre puntos dentro de un objeto, este posee tanto ortotropía como inhomogeneidad . Esto sugiere que la ortotropía es la propiedad de un punto dentro de un objeto y no del objeto en su totalidad (a menos que el objeto sea homogéneo). Los planos de simetría asociados también se definen para una pequeña región alrededor de un punto y no necesariamente tienen que ser idénticos a los planos de simetría de todo el objeto.

Los materiales ortotrópicos son un subconjunto de los materiales anisotrópicos ; sus propiedades dependen de la dirección en la que se miden. Los materiales ortotrópicos tienen tres planos/ejes de simetría. Un material isotrópico , por el contrario, tiene las mismas propiedades en todas las direcciones. Se puede demostrar que un material que tiene dos planos de simetría debe tener un tercero. Los materiales isotrópicos tienen un número infinito de planos de simetría.

Los materiales isótropos transversales son materiales ortotrópicos especiales que tienen un eje de simetría (cualquier otro par de ejes que sean perpendiculares al principal y ortogonales entre sí también son ejes de simetría). Un ejemplo común de material isótropo transversal con un eje de simetría es un polímero reforzado con fibras de vidrio o grafito paralelas. La resistencia y la rigidez de un material compuesto de este tipo normalmente serán mayores en una dirección paralela a las fibras que en la dirección transversal, y la dirección del espesor normalmente tiene propiedades similares a la dirección transversal. Otro ejemplo sería una membrana biológica, en la que las propiedades en el plano de la membrana serán diferentes de las de la dirección perpendicular. Se ha demostrado que las propiedades de los materiales ortotrópicos proporcionan una representación más precisa de la simetría elástica del hueso y también pueden dar información sobre la direccionalidad tridimensional de las propiedades del material a nivel de tejido del hueso.^[1]

Es importante tener en cuenta que un material que es anisotrópico en una escala de longitud puede ser isotrópico en otra escala de longitud (normalmente mayor). Por ejemplo, la mayoría de los metales son policristalinos con granos muy pequeños . Cada uno de los granos individuales puede ser anisotrópico, pero si el material en su conjunto comprende muchos granos orientados aleatoriamente, entonces sus propiedades mecánicas medidas serán un promedio de las propiedades en todas las orientaciones posibles de los granos individuales.

Ortotropía en física

Relaciones materiales anisotrópicas

El comportamiento material se representa en las teorías físicas mediante relaciones constitutivas . Una amplia clase de comportamientos físicos se puede representar mediante modelos materiales lineales que toman la forma de un tensor de segundo orden . El tensor material proporciona una relación entre dos vectores y se puede escribir como

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

donde son dos vectores que representan magnitudes físicas y es el tensor material de segundo orden. Si expresamos la ecuación anterior en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas ortonormales , podemos escribir $\mathbf {d},\mathbf {f}$ ${\boldsymbol {K}}$

f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.

En la relación anterior se ha supuesto la suma de índices repetidos . En forma matricial tenemos

{\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

En la siguiente tabla se enumeran ejemplos de problemas físicos que se ajustan a la plantilla anterior. ^[2]

Condición para la simetría del material

La matriz material tiene simetría con respecto a una transformación ortogonal dada ( ) si no cambia cuando se la somete a esa transformación. Para que las propiedades del material sean invariables bajo dicha transformación, necesitamos ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ ${\boldsymbol {A}}$

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

Por lo tanto, la condición para la simetría material es (utilizando la definición de una transformación ortogonal)

{\boldsímbolo {K}}={\boldsímbolo {A}}^{-1}\cdot {\boldsímbolo {K}}\cdot {\boldsímbolo {A}}={\boldsímbolo {A}}^{T}\cdot {\boldsímbolo {K}}\cdot {\boldsímbolo {A}}

Las transformaciones ortogonales se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante una matriz dada por $3\times 3$ ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma matricial como

{\underline {\underline {\boldsímbolo {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsímbolo {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsímbolo {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsímbolo {A}}}}

Propiedades de los materiales ortotrópicos

Un material ortotrópico tiene tres planos de simetría ortogonales . Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormales tal que los ejes coincidan con las normales a los tres planos de simetría, las matrices de transformación son

{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

Se puede demostrar que si la matriz de un material es invariante bajo la reflexión sobre dos planos ortogonales, entonces también es invariante bajo la reflexión sobre el tercer plano ortogonal. ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$

Consideremos la reflexión sobre el plano. Entonces tenemos ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}$ ${\estilo de visualización 1-2\,}$

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}

La relación anterior implica que . Consideremos ahora una reflexión sobre el plano. Entonces tenemos $K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0$ ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}$ $1-3\,$

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

Esto implica que . Por lo tanto, las propiedades materiales de un material ortotrópico se describen mediante la matriz $K_{12}=K_{21}=0$

${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}$

Ortotropía en elasticidad lineal

Elasticidad anisotrópica

En elasticidad lineal , la relación entre la tensión y la deformación depende del tipo de material considerado. Esta relación se conoce como ley de Hooke . Para materiales anisotrópicos, la ley de Hooke se puede escribir como ^[3]

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}

donde es el tensor de tensión , es el tensor de deformación y es el tensor de rigidez elástica . Si los tensores en la expresión anterior se describen en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas ortonormales , podemos escribir ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\mathsf {c}}$

\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }

donde se ha supuesto la suma sobre índices repetidos. Dado que los tensores de tensión y deformación son simétricos , y dado que la relación tensión-deformación en elasticidad lineal se puede derivar de una función de densidad de energía de deformación , las siguientes simetrías se cumplen para materiales elásticos lineales

c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.

Debido a las simetrías anteriores, la relación tensión-deformación para materiales elásticos lineales se puede expresar en forma matricial como

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Una representación alternativa en notación Voigt es

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

La matriz de rigidez en la relación anterior satisface la simetría de puntos . ^[4] ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$

Condición para la simetría del material

La matriz de rigidez satisface una condición de simetría dada si no cambia cuando se la somete a la transformación ortogonal correspondiente . La transformación ortogonal puede representar simetría con respecto a un punto , un eje o un plano . Las transformaciones ortogonales en elasticidad lineal incluyen rotaciones y reflexiones, pero no transformaciones de cambio de forma y pueden representarse, en coordenadas ortonormales, mediante una matriz dada por ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ $3\times 3$ ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$

{\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

En notación Voigt, la matriz de transformación del tensor de tensión se puede expresar como una matriz dada por ^[4] $6\times 6$ ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}$

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

La transformación del tensor de deformación tiene una forma ligeramente diferente debido a la elección de la notación. Esta matriz de transformación es

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

Se puede demostrar que . ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}$

Las propiedades elásticas de un continuo son invariantes bajo una transformación ortogonal si y sólo si ^[4] ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$
${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

Matrices de rigidez y flexibilidad en elasticidad ortotrópica

Un material elástico ortotrópico tiene tres planos de simetría ortogonales . Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormales tal que los ejes coincidan con las normales a los tres planos de simetría, las matrices de transformación son

{\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

Podemos demostrar que si la matriz de un material elástico lineal es invariante bajo la reflexión sobre dos planos ortogonales, entonces también es invariante bajo la reflexión sobre el tercer plano ortogonal. ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$

Si consideramos la reflexión sobre el plano, entonces tenemos ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}$ $1-2\,$

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}

Entonces el requisito implica que ^[4] ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}

El requisito anterior sólo se puede satisfacer si

C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.

Consideremos ahora la reflexión sobre el plano. En ese caso ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}$ $1-3\,$

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}

Usando nuevamente la condición de invariancia, obtenemos el requisito adicional de que

C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0~.

No se puede obtener más información porque la reflexión sobre el tercer plano de simetría no es independiente de las reflexiones sobre los planos que ya hemos considerado. Por lo tanto, la matriz de rigidez de un material elástico lineal ortotrópico se puede escribir como

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}$

La inversa de esta matriz se escribe comúnmente como ^[5]

{\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}

donde es el módulo de Young a lo largo del eje , es el módulo de corte en la dirección en el plano cuya normal está en la dirección , y es el coeficiente de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección cuando se aplica una extensión en la dirección . ${E}_{\rm {i}}\,$ $i$ $G_{\rm {ij}}\,$ $j$ $i$ $\nu _{\rm {ij}}\,$ $j$ $i$

Límites de los módulos de materiales elásticos ortotrópicos

La relación deformación-tensión para materiales elásticos lineales ortotrópicos se puede escribir en notación Voigt como

{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\underline {\underline {\mathsf {S}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}

donde la matriz de cumplimiento está dada por ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$

{\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}

La matriz de cumplimiento es simétrica y debe ser definida positiva para que la densidad de energía de deformación sea positiva. Esto implica, a partir del criterio de Sylvester , que todos los menores principales de la matriz son positivos, ^[6] es decir,

\Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0

donde es la submatriz principal de . ${\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}$ $k\times k$ ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$

Entonces,

{\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}

Podemos demostrar que este conjunto de condiciones implica que ^[7]

S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0

E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0

Sin embargo, no se pueden establecer límites inferiores similares para los valores de los coeficientes de Poisson . ^[6] $\nu _{ij}$

Véase también

Referencias

^ Geraldes DM et al, 2014, Un estudio comparativo de la adaptación ósea ortotrópica e isotrópica en el fémur , International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering , Volumen 30, Número 9, páginas 873–889, DOI: 10.1002/cnm.2633, http://onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full
^ Milton, GW, 2002, La teoría de los compuestos , Cambridge University Press.
^ Lekhnitskii, SG, 1963, Teoría de la elasticidad de un cuerpo elástico anisotrópico , Holden-Day Inc.
^ abcd Slawinski, MA, 2010, Ondas y rayos en continuos elásticos: 2.ª ed. , World Scientific. [1]
^ Boresi, A. P, Schmidt, RJ y Sidebottom, OM, 1993, Mecánica avanzada de materiales , Wiley.
^ ab Ting, TCT y Chen, T., 2005, El coeficiente de Poisson para materiales elásticos anisotrópicos no puede tener límites, QJ Mech. Appl. Math., 58(1), págs. 73-82.
^ Ting, TCT (1996), "Definición positiva de constantes elásticas anisotrópicas", Matemáticas y mecánica de sólidos , 1 (3): 301–314, doi : 10.1177/108128659600100302, S2CID 122747373.

Lectura adicional

Ecuaciones de modelado de ortotropía de la sección del manual de Matlib OOFEM .
Ley de Hooke para materiales ortotrópicos