En teoría de números , dado un entero positivo n y un entero a coprimo con n , el orden multiplicativo de a módulo n es el entero positivo más pequeño k tal que . [1]
En otras palabras, el orden multiplicativo de a módulo n es el orden de a en el grupo multiplicativo de las unidades en el anillo de los números enteros módulo n .
El orden de un módulo n a veces se escribe como . [2]
Las potencias de 4 módulo 7 son las siguientes:
El entero positivo más pequeño k tal que 4 k ≡ 1 (mod 7) es 3, por lo que el orden de 4 (mod 7) es 3.
Incluso sin saber que estamos trabajando en el grupo multiplicativo de los números enteros módulo n , podemos demostrar que a en realidad tiene un orden al notar que las potencias de a solo pueden tomar un número finito de valores diferentes módulo n , por lo que de acuerdo con el principio del palomar debe haber dos potencias, digamos s y t y sin pérdida de generalidad s > t , tales que a s ≡ a t (mod n ). Como a y n son coprimos , a tiene un elemento inverso a −1 y podemos multiplicar ambos lados de la congruencia con a − t , obteniendo a s − t ≡ 1 (mod n ).
El concepto de orden multiplicativo es un caso especial del orden de los elementos de un grupo . El orden multiplicativo de un número a módulo n es el orden de a en el grupo multiplicativo cuyos elementos son los residuos módulo n de los números coprimos con n , y cuya operación de grupo es la multiplicación módulo n . Este es el grupo de unidades del anillo Z n ; tiene φ ( n ) elementos, siendo φ la función totiente de Euler , y se denota como U ( n ) o U ( Z n ).
Como consecuencia del teorema de Lagrange , el orden de a (mod n ) siempre divide a φ ( n ). Si el orden de a es en realidad igual a φ ( n ), y por lo tanto tan grande como sea posible, entonces a se denomina raíz primitiva módulo n . Esto significa que el grupo U ( n ) es cíclico y la clase de residuo de a lo genera .
El orden de a (mod n ) también divide a λ( n ), un valor de la función de Carmichael , lo cual es una afirmación aún más fuerte que la divisibilidad de φ ( n ).
