Optimización de topología

Método matemático para optimizar la disposición de materiales en determinadas condiciones

La optimización topológica es un método matemático que optimiza la disposición de los materiales dentro de un espacio de diseño determinado, para un conjunto determinado de cargas , condiciones de contorno y restricciones , con el objetivo de maximizar el rendimiento del sistema. La optimización topológica es diferente de la optimización de la forma y la optimización del tamaño en el sentido de que el diseño puede alcanzar cualquier forma dentro del espacio de diseño, en lugar de tener que lidiar con configuraciones predefinidas.

La formulación convencional de optimización topológica utiliza un método de elementos finitos (FEM) para evaluar el rendimiento del diseño. El diseño se optimiza utilizando técnicas de programación matemática basadas en gradientes , como el algoritmo de criterios de optimalidad y el método de asíntotas móviles , o algoritmos no basados ​​en gradientes, como los algoritmos genéticos .

La optimización topológica tiene una amplia gama de aplicaciones en la ingeniería aeroespacial, mecánica, bioquímica y civil. Actualmente, los ingenieros utilizan principalmente la optimización topológica a nivel de concepto de un proceso de diseño . Debido a las formas libres que se producen de forma natural, el resultado suele ser difícil de fabricar. Por ese motivo, el resultado que surge de la optimización topológica suele estar ajustado para su fabricación. Añadir restricciones a la formulación con el fin de aumentar la capacidad de fabricación es un campo de investigación activo. En algunos casos, los resultados de la optimización topológica se pueden fabricar directamente mediante fabricación aditiva ; por lo tanto, la optimización topológica es una parte clave del diseño para la fabricación aditiva .

Planteamiento del problema

Un problema de optimización de topología se puede escribir en la forma general de un problema de optimización como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimize} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {subject\;to} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ with }}j=1,...,m\end{aligned}}}$

El enunciado del problema incluye lo siguiente:

• Una función objetivo . Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es la flexibilidad, donde minimizar la flexibilidad conduce a maximizar la rigidez de una estructura. ${\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}$
• La distribución del material como variable del problema. Se describe mediante la densidad del material en cada ubicación . El material está presente, indicado por un 1, o ausente, indicado por un 0. es un campo de estado que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal según . ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}$ ${\displaystyle \rho }$
• El espacio de diseño . Indica el volumen permitido dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de ensamblaje y empaquetado, la accesibilidad humana y de herramientas son algunos de los factores que deben tenerse en cuenta para identificar este espacio. Con la definición del espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no se pueden modificar durante el curso de la optimización se consideran regiones que no pertenecen al diseño. ${\displaystyle (\Omega )}$
• ${\displaystyle \scriptstyle m}$ Restricciones : característica que debe satisfacer la solución. Algunos ejemplos son la cantidad máxima de material que se debe distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de tensión. ${\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}$

La evaluación a menudo incluye la solución de una ecuación diferencial. Esto se hace más comúnmente mediante el método de elementos finitos, ya que estas ecuaciones no tienen una solución analítica conocida. ${\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }$

Metodologías de implementación

Existen varias metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de optimización de topología.

Resolver con variables discretas/binarias

La resolución de problemas de optimización topológica en un sentido discreto se realiza discretizando el dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan entonces como las variables del problema. En este caso, la densidad de material de uno indica la presencia de material, mientras que cero indica la ausencia de material. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un gran número. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, la resolución del sistema FEM se vuelve más cara. En segundo lugar, no están disponibles algoritmos que puedan manejar una gran cantidad (varios miles de elementos no es raro) de variables discretas con múltiples restricciones. Además, son poco sensibles a las variaciones de parámetros. ^[1] En la literatura se han reportado problemas con hasta 30000 variables. ^[2]

Resolver el problema con variables continuas

Las complejidades mencionadas anteriormente con la resolución de problemas de optimización topológica utilizando variables binarias han hecho que la comunidad busque otras opciones. Una es el modelado de las densidades con variables continuas. Las densidades de los materiales ahora también pueden alcanzar valores entre cero y uno. Hay algoritmos basados ​​en gradientes que manejan grandes cantidades de variables continuas y múltiples restricciones. Pero las propiedades del material deben modelarse en un entorno continuo. Esto se hace a través de la interpolación. Una de las metodologías de interpolación más implementadas es el método de Material Sólido Isotrópico con Penalización (SIMP). ^{[3] [4]} Esta interpolación es esencialmente una ley de potencia . Interpola el módulo de Young del material al campo de selección escalar. El valor del parámetro de penalización generalmente se toma entre . Se ha demostrado que esto confirma la microestructura de los materiales. ^[5] En el método SIMP se agrega un límite inferior al módulo de Young, , para asegurarse de que las derivadas de la función objetivo no sean cero cuando la densidad se vuelve cero. Cuanto mayor sea el factor de penalización, más penaliza SIMP al algoritmo en el uso de densidades no binarias. Desafortunadamente, el parámetro de penalización también introduce no convexidades. ^[6] ${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\,3]}$ ${\displaystyle E_{0}}$

Software comercial

Existen varios programas comerciales de optimización topológica en el mercado. La mayoría de ellos utilizan la optimización topológica como una pista de cómo debería ser el diseño óptimo, y se requiere una reconstrucción manual de la geometría. Existen algunas soluciones que producen diseños óptimos listos para la fabricación aditiva.

Ejemplos

En este resultado se muestran patrones de tablero de ajedrez.

Resultado de optimización de topología cuando se utiliza filtrado

Optimización topológica de un problema de cumplimiento

Cumplimiento estructural

Una estructura rígida es aquella que tiene el menor desplazamiento posible cuando se dan ciertas condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada flexibilidad ) de la estructura bajo las condiciones de contorno prescritas. Cuanto menor sea la energía de deformación, mayor será la rigidez de la estructura. Por lo tanto, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.

En un nivel amplio, se puede visualizar que cuanto más material, menor será la deflexión, ya que habrá más material para resistir las cargas. Por lo tanto, la optimización requiere una restricción opuesta, la restricción de volumen. Esto es en realidad un factor de costo, ya que no querríamos gastar mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado, se puede realizar una integración del campo de selección sobre el volumen.

Finalmente, se introducen las ecuaciones diferenciales que rigen la elasticidad para obtener el enunciado final del problema.

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega }$

sujeto a:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

Sin embargo, una implementación sencilla en el marco de elementos finitos de un problema de este tipo aún no es factible debido a cuestiones como:

1. Dependencia de la malla: la dependencia de la malla significa que el diseño obtenido en una malla no es el que se obtendrá en otra. Las características del diseño se vuelven más complejas a medida que se perfecciona la malla. ^[7]
2. Inestabilidades numéricas: La selección de la región en forma de tablero de ajedrez. ^[8]

En la actualidad, se están utilizando algunas técnicas, como el filtrado basado en el procesamiento de imágenes ^[9] , para aliviar algunos de estos problemas. Aunque durante mucho tiempo pareció que se trataba de un enfoque puramente heurístico, se han realizado conexiones teóricas con la elasticidad no local para respaldar el sentido físico de estos métodos. ^[10]

Problemas multifísicos

Interacción fluido-estructura

La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado y concierne a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Muchas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetos a la interacción fluido-estructura y, por lo tanto, tener en cuenta dichos efectos es fundamental en el diseño de muchas aplicaciones de ingeniería. La optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura se ha estudiado en, por ejemplo, las referencias ^{[11] [12] [13]} y ^[14] . A continuación, se muestran las soluciones de diseño resueltas para diferentes números de Reynolds. Las soluciones de diseño dependen del flujo de fluido, lo que indica que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.

Soluciones de diseño para diferentes números de Reynolds para una pared insertada en un canal con un fluido en movimiento.

Esquema del conocido problema del muro. El objetivo del problema de diseño es minimizar la flexibilidad estructural.

^{Evolución del diseño para un problema de interacción fluido-estructura a partir de la referencia [14]} . El objetivo del problema de diseño es minimizar la flexibilidad estructural. El problema de interacción fluido-estructura se modela con las ecuaciones de Navier-Cauchy y Navier-Stokes.

Conversión de energía termoeléctrica

Un esbozo del problema de diseño. El objetivo del problema de diseño es distribuir espacialmente dos materiales, el material A y el material B, para maximizar una medida de rendimiento, como la potencia de refrigeración o la potencia eléctrica de salida.

Evolución del diseño de un generador termoeléctrico fuera de la diagonal. Solución de diseño de un problema de optimización resuelto para la salida de potencia eléctrica. El rendimiento del dispositivo se ha optimizado distribuyendo skutterudita (amarillo) y telururo de bismuto (azul) con una metodología de optimización topológica basada en la densidad. El objetivo del problema de optimización es maximizar la salida de potencia eléctrica del generador termoeléctrico.

Evolución del diseño de un refrigerador termoeléctrico. El objetivo del problema de diseño es maximizar la potencia de refrigeración del refrigerador termoeléctrico.

La termoelectricidad es un problema multifísico que concierne a la interacción y acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica puede describirse mediante dos efectos identificados por separado: el efecto Seebeck y el efecto Peltier. El efecto Seebeck concierne a la conversión de energía térmica en energía eléctrica y el efecto Peltier concierne a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. ^[15] Al distribuir espacialmente dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional con una metodología de optimización topológica, ^[16] es posible superar el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para refrigeradores termoeléctricos y generadores termoeléctricos . ^[17]

Impresión 3D: la forma sigue la fuerza

La proliferación actual de la tecnología de impresoras 3D ha permitido a los diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización topológica al diseñar nuevos productos. La optimización topológica combinada con la impresión 3D puede dar como resultado un menor peso, un mejor rendimiento estructural y un ciclo de diseño a fabricación más corto. Los diseños, aunque eficientes, podrían no ser factibles con técnicas de fabricación más tradicionales. ^{[ cita requerida ]}

Contacto interno

El contacto interno se puede incluir en la optimización topológica aplicando el método de contacto del tercer medio . ^{[18] [19] [20]} El método de contacto del tercer medio (TMC) es una formulación de contacto implícita que es continua y diferenciable. Esto hace que el TMC sea adecuado para su uso con enfoques basados ​​en gradientes para la optimización topológica.

Desarrollo del diseño y deformación de ganchos autoenganchantes resultantes de la optimización topológica de un problema de contacto utilizando el método TMC ^[18] .

Referencias

1. Sigmund, Ole; Maute, Kurt (2013). "Enfoques de optimización topológica". Optimización estructural y multidisciplinaria . 48 (6): 1031–1055. doi :10.1007/s00158-013-0978-6. S2CID  124426387.
2. Beckers, M. (1999). "Optimización topológica utilizando un método dual con variables discretas" (PDF) . Optimización estructural . 17 : 14–24. doi :10.1007/BF01197709. S2CID  122845784.
3. Bendsøe, MP (1989). "Diseño de forma óptima como un problema de distribución de materiales". Optimización estructural . 1 (4): 193–202. doi :10.1007/BF01650949. S2CID  18253872.
4. [1], una monografía del tema.
5. Bendsøe, MP; Sigmund, O. (1999). "Esquemas de interpolación de materiales en la optimización topológica" (PDF) . Archivo de Mecánica Aplicada . 69 (9–10): 635–654. Código Bibliográfico :1999AAM....69..635B. doi :10.1007/s004190050248. S2CID  11368603.
6. van Dijk, NP. Langelaar, M. van Keulen, F. Estudio crítico de la parametrización del diseño en la optimización topológica; La influencia de la parametrización del diseño en los mínimos locales. . 2.ª Conferencia internacional sobre optimización de ingeniería, 2010
7. Allaire, Gregoire; Henrot, Antoine (mayo de 2001). "Sobre algunos avances recientes en la optimización de la forma". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . Serie IIB - Mecánica. 329 (5). Elsevier: 383–396. Código Bib : 2001CRASB.329..383A. doi :10.1016/S1620-7742(01)01349-6. ISSN  1620-7742 . Consultado el 12 de septiembre de 2021 .
8. Shukla, Avinash; Misra, Anadi; Kumar, Sunil (septiembre de 2013). "Problema de tablero de ajedrez en optimización topológica basada en elementos finitos". Revista internacional de avances en ingeniería y tecnología . 6 (4). CiteSeer: 1769–1774. CiteSeerX 10.1.1.670.6771 . ISSN  2231-1963 . Consultado el 14 de febrero de 2022 . 
9. Bourdin, Blaise (30 de marzo de 2001). "Filtros en optimización topológica". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 50 (9). Wiley: 2143–2158. Código bibliográfico :2001IJNME..50.2143B. doi :10.1002/nme.116. ISSN  1097-0207. S2CID  38860291 . Consultado el 2 de agosto de 2020 .
10. Sigmund, Ole; Maute, Kurt (octubre de 2012). "Filtrado de sensibilidad desde una perspectiva de mecánica de medios continuos". Optimización estructural y multidisciplinaria . 46 (4). Springer: 471–475. doi :10.1007/s00158-012-0814-4. ISSN  1615-1488. S2CID  253680268 . Consultado el 17 de junio de 2021 .
11. Yoon, Gil Ho (2010). "Optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura estacionarios utilizando una nueva formulación monolítica". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 82 (5): 591–616. Bibcode :2010IJNME..82..591Y. doi :10.1002/nme.2777. S2CID  122993997.
12. Picelli, R.; Vicente, WM; Pavanello, R. (2017). "Optimización topológica evolutiva para la minimización de la flexibilidad estructural considerando cargas FSI dependientes del diseño". Elementos finitos en análisis y diseño . 135 : 44–55. doi :10.1016/j.finel.2017.07.005.
13. Jenkins, Nicholas; Maute, Kurt (2016). "Un enfoque de límites inmersos para la optimización de la forma y la topología de problemas de interacción fluido-estructura estacionarios". Optimización estructural y multidisciplinaria . 54 (5): 1191–1208. doi :10.1007/s00158-016-1467-5. S2CID  124632210.
14. Lundgaard, Christian; Alexandersen, Joe; Zhou, Mingdong; Andreasen, Casper Schousboe; Sigmund, Ole (2018). "Revisitando la optimización topológica basada en densidad para problemas de interacción fluido-estructura" (PDF) . Optimización estructural y multidisciplinaria . 58 (3): 969–995. doi :10.1007/s00158-018-1940-4. S2CID  125798826.
15. Rowe, David Michael. Manual de termoelectricidad: de lo macro a lo nanométrico. CRC Press, 2005.
16. Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole (2018). "Una metodología de optimización topológica basada en densidad para problemas de conversión de energía termoeléctrica" ​​(PDF) . Optimización estructural y multidisciplinaria . 57 (4): 1427–1442. doi :10.1007/s00158-018-1919-1. S2CID  126031362.
17. Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole; Bjørk, Rasmus (2018). "Optimización topológica de generadores termoeléctricos segmentados". Revista de materiales electrónicos . 47 (12): 6959–6971. Código Bibliográfico :2018JEMat..47.6959L. doi :10.1007/s11664-018-6606-x. S2CID  105113187.
18. Frederiksen, Andreas Henrik; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (7 de octubre de 2023). "Optimización topológica de estructuras en contacto propio". Mecánica computacional . 73 (4): 967–981. arXiv : 2305.06750 . Código Bibliográfico :2023CompM..73..967F. doi :10.1007/s00466-023-02396-7. ISSN  1432-0924.
19. Bluhm, Gore Lukas; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (4 de marzo de 2021). "Modelado de contacto interno para optimización de topología de deformación finita". Mecánica computacional . 67 (4): 1099–1114. arXiv : 2010.14277 . Código Bibliográfico :2021CompM..67.1099B. doi :10.1007/s00466-021-01974-x. ISSN  0178-7675. S2CID  225076340.
20. Wriggers, P.; Schröder, J.; Schwarz, A. (30 de marzo de 2013). "Un método de elementos finitos para el contacto utilizando un tercer medio". Mecánica computacional . 52 (4): 837–847. Bibcode :2013CompM..52..837W. doi :10.1007/s00466-013-0848-5. ISSN  0178-7675. S2CID  254032357.

Lectura adicional

• Pedersen, Claus BW; Allinger, Peter (2006). "Implementación industrial y aplicaciones de la optimización topológica y necesidades futuras". Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol. 137. Springer. págs. 229–238. doi :10.1007/1-4020-4752-5_23. ISBN 978-1-4020-4729-9.
• Schramm, Uwe; Zhou, Ming (2006). "Desarrollos recientes en la implementación comercial de la optimización topológica". Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol. 137. Springer. págs. 239–248. doi :10.1007/1-4020-4752-5_24. ISBN . 978-1-4020-4729-9.
• Mahdavi, A.; Balaji, R.; Frecker, M.; Mockensturm, EM (2006). "Optimización topológica de continuos 2D para cumplimiento mínimo utilizando computación paralela". Optimización estructural y multidisciplinaria . 32 (2): 121–132. doi :10.1007/s00158-006-0006-1. S2CID  61564700.
• Leiva, Juan; Watson, Brian; Kosaka, Iku (1999). "Modern structure optimalization concepts applied to topology optimality". 40th Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi :10.2514/6.1999-1388.

Enlaces externos

• Animaciones de optimización de topología