Método matemático para optimizar la disposición de materiales en determinadas condiciones
La optimización topológica es un método matemático que optimiza la disposición de los materiales dentro de un espacio de diseño determinado, para un conjunto determinado de cargas , condiciones de contorno y restricciones , con el objetivo de maximizar el rendimiento del sistema. La optimización topológica es diferente de la optimización de la forma y la optimización del tamaño en el sentido de que el diseño puede alcanzar cualquier forma dentro del espacio de diseño, en lugar de tener que lidiar con configuraciones predefinidas.
La optimización topológica tiene una amplia gama de aplicaciones en la ingeniería aeroespacial, mecánica, bioquímica y civil. Actualmente, los ingenieros utilizan principalmente la optimización topológica a nivel de concepto de un proceso de diseño . Debido a las formas libres que se producen de forma natural, el resultado suele ser difícil de fabricar. Por ese motivo, el resultado que surge de la optimización topológica suele estar ajustado para su fabricación. Añadir restricciones a la formulación con el fin de aumentar la capacidad de fabricación es un campo de investigación activo. En algunos casos, los resultados de la optimización topológica se pueden fabricar directamente mediante fabricación aditiva ; por lo tanto, la optimización topológica es una parte clave del diseño para la fabricación aditiva .
Planteamiento del problema
Un problema de optimización de topología se puede escribir en la forma general de un problema de optimización como:
El enunciado del problema incluye lo siguiente:
Una función objetivo . Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es la flexibilidad, donde minimizar la flexibilidad conduce a maximizar la rigidez de una estructura.
La distribución del material como variable del problema. Se describe mediante la densidad del material en cada ubicación . El material está presente, indicado por un 1, o ausente, indicado por un 0. es un campo de estado que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal según .
El espacio de diseño . Indica el volumen permitido dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de ensamblaje y empaquetado, la accesibilidad humana y de herramientas son algunos de los factores que deben tenerse en cuenta para identificar este espacio. Con la definición del espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no se pueden modificar durante el curso de la optimización se consideran regiones que no pertenecen al diseño.
Restricciones : característica que debe satisfacer la solución. Algunos ejemplos son la cantidad máxima de material que se debe distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de tensión.
La evaluación a menudo incluye la solución de una ecuación diferencial. Esto se hace más comúnmente mediante el método de elementos finitos, ya que estas ecuaciones no tienen una solución analítica conocida.
Metodologías de implementación
Existen varias metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de optimización de topología.
Resolver con variables discretas/binarias
La resolución de problemas de optimización topológica en un sentido discreto se realiza discretizando el dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan entonces como las variables del problema. En este caso, la densidad de material de uno indica la presencia de material, mientras que cero indica la ausencia de material. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un gran número. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, la resolución del sistema FEM se vuelve más cara. En segundo lugar, no están disponibles algoritmos que puedan manejar una gran cantidad (varios miles de elementos no es raro) de variables discretas con múltiples restricciones. Además, son poco sensibles a las variaciones de parámetros. [1] En la literatura se han reportado problemas con hasta 30000 variables. [2]
Resolver el problema con variables continuas
Las complejidades mencionadas anteriormente con la resolución de problemas de optimización topológica utilizando variables binarias han hecho que la comunidad busque otras opciones. Una es el modelado de las densidades con variables continuas. Las densidades de los materiales ahora también pueden alcanzar valores entre cero y uno. Hay algoritmos basados en gradientes que manejan grandes cantidades de variables continuas y múltiples restricciones. Pero las propiedades del material deben modelarse en un entorno continuo. Esto se hace a través de la interpolación. Una de las metodologías de interpolación más implementadas es el método de Material Sólido Isotrópico con Penalización (SIMP). [3] [4] Esta interpolación es esencialmente una ley de potencia . Interpola el módulo de Young del material al campo de selección escalar. El valor del parámetro de penalización generalmente se toma entre . Se ha demostrado que esto confirma la microestructura de los materiales. [5] En el método SIMP se agrega un límite inferior al módulo de Young, , para asegurarse de que las derivadas de la función objetivo no sean cero cuando la densidad se vuelve cero. Cuanto mayor sea el factor de penalización, más penaliza SIMP al algoritmo en el uso de densidades no binarias. Desafortunadamente, el parámetro de penalización también introduce no convexidades. [6]
Software comercial
Existen varios programas comerciales de optimización topológica en el mercado. La mayoría de ellos utilizan la optimización topológica como una pista de cómo debería ser el diseño óptimo, y se requiere una reconstrucción manual de la geometría. Existen algunas soluciones que producen diseños óptimos listos para la fabricación aditiva.
Ejemplos
Cumplimiento estructural
Una estructura rígida es aquella que tiene el menor desplazamiento posible cuando se dan ciertas condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada flexibilidad ) de la estructura bajo las condiciones de contorno prescritas. Cuanto menor sea la energía de deformación, mayor será la rigidez de la estructura. Por lo tanto, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.
En un nivel amplio, se puede visualizar que cuanto más material, menor será la deflexión, ya que habrá más material para resistir las cargas. Por lo tanto, la optimización requiere una restricción opuesta, la restricción de volumen. Esto es en realidad un factor de costo, ya que no querríamos gastar mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado, se puede realizar una integración del campo de selección sobre el volumen.
Finalmente, se introducen las ecuaciones diferenciales que rigen la elasticidad para obtener el enunciado final del problema.
sujeto a:
Sin embargo, una implementación sencilla en el marco de elementos finitos de un problema de este tipo aún no es factible debido a cuestiones como:
Dependencia de la malla: la dependencia de la malla significa que el diseño obtenido en una malla no es el que se obtendrá en otra. Las características del diseño se vuelven más complejas a medida que se perfecciona la malla. [7]
Inestabilidades numéricas: La selección de la región en forma de tablero de ajedrez. [8]
En la actualidad, se están utilizando algunas técnicas, como el filtrado basado en el procesamiento de imágenes [9] , para aliviar algunos de estos problemas. Aunque durante mucho tiempo pareció que se trataba de un enfoque puramente heurístico, se han realizado conexiones teóricas con la elasticidad no local para respaldar el sentido físico de estos métodos. [10]
Problemas multifísicos
Interacción fluido-estructura
La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado y concierne a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Muchas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetos a la interacción fluido-estructura y, por lo tanto, tener en cuenta dichos efectos es fundamental en el diseño de muchas aplicaciones de ingeniería. La optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura se ha estudiado en, por ejemplo, las referencias [11] [12] [13] y [14] . A continuación, se muestran las soluciones de diseño resueltas para diferentes números de Reynolds. Las soluciones de diseño dependen del flujo de fluido, lo que indica que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.
Soluciones de diseño para diferentes números de Reynolds para una pared insertada en un canal con un fluido en movimiento.
Conversión de energía termoeléctrica
La termoelectricidad es un problema multifísico que concierne a la interacción y acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica puede describirse mediante dos efectos identificados por separado: el efecto Seebeck y el efecto Peltier. El efecto Seebeck concierne a la conversión de energía térmica en energía eléctrica y el efecto Peltier concierne a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. [15] Al distribuir espacialmente dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional con una metodología de optimización topológica, [16] es posible superar el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para refrigeradores termoeléctricos y generadores termoeléctricos . [17]
Impresión 3D: la forma sigue la fuerza
La proliferación actual de la tecnología de impresoras 3D ha permitido a los diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización topológica al diseñar nuevos productos. La optimización topológica combinada con la impresión 3D puede dar como resultado un menor peso, un mejor rendimiento estructural y un ciclo de diseño a fabricación más corto. Los diseños, aunque eficientes, podrían no ser factibles con técnicas de fabricación más tradicionales. [ cita requerida ]
Contacto interno
El contacto interno se puede incluir en la optimización topológica aplicando el método de contacto del tercer medio . [18] [19] [20] El método de contacto del tercer medio (TMC) es una formulación de contacto implícita que es continua y diferenciable. Esto hace que el TMC sea adecuado para su uso con enfoques basados en gradientes para la optimización topológica.
Referencias
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^ [1], una monografía del tema.
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Lectura adicional
Pedersen, Claus BW; Allinger, Peter (2006). "Implementación industrial y aplicaciones de la optimización topológica y necesidades futuras". Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol. 137. Springer. págs. 229–238. doi :10.1007/1-4020-4752-5_23. ISBN 978-1-4020-4729-9.
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