Anillo opuesto

Concepto matemático

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , el opuesto de un anillo es otro anillo con los mismos elementos y operación de adición, pero con la multiplicación realizada en orden inverso. Más explícitamente, el opuesto de un anillo ( R , +, ⋅ ) es el anillo ( R , +, ∗) cuya multiplicación ∗ está definida por a ∗ b = b ⋅ a para todo a , b en R. ^{[1] [2]} El anillo opuesto se puede utilizar para definir multimódulos , una generalización de los bimódulos . También ayudan a aclarar la relación entre los módulos izquierdo y derecho ( ver § Propiedades ).

Los monoides , grupos , anillos y álgebras pueden considerarse categorías con un único objeto . La construcción de la categoría opuesta generaliza el grupo opuesto , el anillo opuesto, etc.

Relación con automorfismos y antiautomorfismos

En esta sección se cambia el símbolo de multiplicación en el anillo opuesto de asterisco a diamante, para evitar confundirlo con algunas operaciones unarias.

Un anillo se denomina anillo autoopuesto si es isomorfo a su anillo opuesto, ^{[3] [4] [a]} cuyo nombre indica que es esencialmente el mismo que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$

Todos los anillos conmutativos son autoopuestos.

Definamos el antiisomorfismo

⁠ ⁠ ${\displaystyle \iota :(R,\diamond )\to (R,\cdot )}$ , donde para ⁠ ⁠ . ^[b] ${\displaystyle \iota (a)=a}$ ${\displaystyle a\in R}$

Se trata, en efecto, de un antiisomorfismo, ya que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)}$ . El antiisomorfismo se puede definir de forma general para semigrupos, monoides, grupos, anillos, rngs, álgebras. En el caso de los anillos (y rngs) obtenemos la equivalencia general. ${\displaystyle \iota }$

Un anillo ^[c] es autoopuesto si y sólo si tiene al menos un antiautomorfismo.

Demostración: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Rightarrow }$ : Sea autoopuesto. Si es un isomorfismo, entonces ⁠ ⁠ , al ser una composición de antiisomorfismo e isomorfismo, es un antiisomorfismo de a sí mismo, por lo tanto antiautomorfismo. ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle \iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \Leftarrow }$ : Si es un antiautomorfismo, entonces es un isomorfismo como composición de dos antiisomorfismos. Por lo tanto, es autoopuesto. ${\displaystyle g:(R,\cdot )\to (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (\iota ^{-1}\circ g):(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

y

Si es autoopuesto y el grupo de automorfismos es finito, entonces el número de antiautomorfismos es igual al número de automorfismos. ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$

Demostración: Por el supuesto y la equivalencia anterior existen antiautomorfismos. Si escogemos uno de ellos y lo denotamos por ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ , entonces la función ⁠ ⁠ ${\displaystyle h\mapsto q\circ h}$ , donde se extiende sobre ⁠ ⁠ , es claramente inyectiva pero también sobreyectiva, ya que cada antiautomorfismo para algún automorfismo ⁠ ⁠ . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$ ${\displaystyle g=q\circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h}$ ${\displaystyle h}$

Se puede demostrar de manera similar que, bajo los mismos supuestos, el número de isomorfismos de a es igual al número de antiautomorfismos de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

Si algún antiautomorfismo es también un automorfismo, entonces para cada ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a,b\in (R,\cdot )}$

${\displaystyle g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)}$

Como es biyectiva, para todos y ⁠ ⁠ , entonces el anillo es conmutativo y todos los antiautomorfismos son automorfismos. Por contraposición, si un anillo es no conmutativo (y autoopuesto), entonces ningún antiautomorfismo es un automorfismo. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Denotemos por el grupo de todos los automorfismos junto con todos los antiautomorfismos. Las observaciones anteriores implican que, si un anillo (o RNG) es no conmutativo y autoopuesto. Si es conmutativo o no autoopuesto, entonces ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \vert G\vert =2\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$ ${\displaystyle \vert G\vert =\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$

Ejemplos

El anillo no conmutativo más pequeño con unidad

El anillo más pequeño de este tipo tiene ocho elementos y es el único anillo no conmutativo entre 11 anillos con unidad de orden 8, salvo isomorfismo. ^[5] Tiene el grupo aditivo ⁠ ⁠ . ^{[3] : 76} Obviamente es antiisomorfo a ⁠ ⁠ , como siempre es el caso, pero también es isomorfo a ⁠ ⁠ . A continuación se muestran las tablas de adición y multiplicación en ⁠ ⁠ , ^[d] y la multiplicación en el anillo opuesto, que es una tabla transpuesta. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Para demostrar que los dos anillos son isomorfos, tomemos una función dada por la tabla ${\displaystyle f:R^{\text{op}}\to R}$

El mapa intercambia elementos en solo dos pares: y ⁠ ⁠ . Cambie el nombre de los elementos en la tabla de multiplicación en consecuencia para (argumentos y valores). A continuación, reordene las filas y columnas para que los argumentos vuelvan al orden ascendente. La tabla se convierte exactamente en la tabla de multiplicación de ⁠ ⁠ . Cambios similares en la tabla del grupo aditivo dan como resultado la misma tabla, por lo que es un automorfismo de este grupo y, dado que , es de hecho un isomorfismo de anillo. ${\displaystyle 3\leftrightarrow 4}$ ${\displaystyle 5\leftrightarrow 7}$ ${\displaystyle \diamond }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=1}$

El mapa es involutivo, es decir , por ${\displaystyle f\circ f={\text{id}}}$ lo que = y es un isomorfismo de a igualmente bien. ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$

Entonces, la permutación puede reinterpretarse para definir el isomorfismo y luego es un antiautomorfismo de dado por la misma permutación . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )}$ ${\displaystyle q=\iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle q=(3,4)(5,7)}$

El anillo tiene exactamente dos automorfismos: identidad y , es decir . Por lo tanto, su grupo completo tiene cuatro elementos con dos de ellos antiautomorfismos. Uno es y el segundo, denotado por , se puede calcular ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{R}}$ ${\displaystyle p=(3,5)(4,7)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)}$

${\displaystyle G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}}$

No existe ningún elemento de orden 4, por lo que el grupo no es cíclico y debe ser el grupo (el grupo de Klein ⁠ ⁠ ), lo que se puede confirmar mediante cálculo. El "grupo de simetría" de este anillo es isomorfo al grupo de simetría del rectángulo. ${\displaystyle \mathrm {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {K} _{4}}$

Anillo no conmutativo con 27 elementos

El anillo de las matrices triangulares superiores 2 × 2 sobre el cuerpo con 3 elementos tiene 27 elementos y es un anillo no conmutativo. Es único hasta el isomorfismo, es decir, todos los anillos no conmutativos con unidad y 27 elementos son isomorfos a él. ^{[5] [6]} El anillo no conmutativo más grande listado en el "Libro de los Anillos" tiene 27 elementos, y también es isomorfo. En esta sección se utiliza la notación de "El Libro" para los elementos de . Se deben tener en cuenta dos cosas: que el elemento denotado por es la unidad de y que no es la unidad. ^{[4] : 369} El grupo aditivo de es ⁠ ⁠ . ^{[4] : 330} El grupo de todos los automorfismos tiene 6 elementos: ${\displaystyle {\text{F}}_{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (S)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}}$

Como es autoopuesto, también tiene 6 antiautomorfismos. Un isomorfismo es ⁠ ⁠ , lo que se puede verificar utilizando las tablas de operaciones en "El Libro" como en el primer ejemplo renombrando y reordenando. Esta vez los cambios deben realizarse en las tablas de operaciones originales de . El resultado es la tabla de multiplicación de y la tabla de adición permanece sin cambios. Por lo tanto, un antiautomorfismo ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )}$ ${\displaystyle f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$ ${\displaystyle S=(S,\cdot )}$ ${\displaystyle S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )}$

${\displaystyle q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$

se obtiene con la misma permutación. Las otras cinco se pueden calcular (en la notación multiplicativa se puede omitir el símbolo de composición): ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}$

${\displaystyle G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.}$
El grupo tiene 7 elementos de orden 2 (3 automorfismos y 4 antiautomorfismos) y puede identificarse como el grupo diedro ^[e] (ver Lista de grupos pequeños ). En analogía geométrica, el anillo tiene el "grupo de simetría" isomorfo al grupo de simetría del 3-antiprisma , ^[f] que es el grupo puntual en la notación de Schoenflies o en forma abreviada en la notación de Hermann-Mauguin para el espacio tridimensional. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{6}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathrm {3d} }}$ ${\displaystyle {\overline {3}}m}$

Los anillos más pequeños no opuestos con unidad.

Todos los anillos con unidad de órdenes que van desde 9 hasta 15 son conmutativos, ^[5] por lo que son autoopuestos. Los anillos que no son autoopuestos aparecen por primera vez entre los anillos de orden 16. Hay 4 anillos diferentes no autoopuestos del total de 50 anillos con unidad ^[7] que tienen 16 elementos (37 ^[8] conmutativos y 13 ^[5] no conmutativos). ^[6] Pueden estar acoplados en dos pares de anillos opuestos entre sí en un par, y necesariamente con el mismo grupo aditivo, ya que un antiisomorfismo de anillos es un isomorfismo de sus grupos aditivos.

Un par de anillos ^{[3] : 330} y tiene el grupo aditivo ^{[3] : 262} y el otro par ^{[3] : 535} y ⁠ ⁠ , ^{[3] : 541} el grupo ⁠ ⁠ . ^{[3] : 433} Sus tablas de operaciones no se presentan en este artículo, ya que se pueden encontrar en la fuente citada, y se puede verificar que , son opuestos, pero no isomorfos. Lo mismo es cierto para el par y ⁠ ⁠ , sin embargo, el anillo ^{[3] : 335} enumerado en "El libro de los anillos" no es igual sino solo isomorfo a ⁠ ⁠ . Los 13 − 4 = 9 anillos no conmutativos restantes son autoopuestos. ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}=R_{1}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}=R_{3}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}}$ ${\displaystyle R_{3}^{\text{op}}=R_{4}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

Álgebra libre con dos generadores

El álgebra libre sobre un cuerpo con generadores tiene multiplicación a partir de la multiplicación de palabras. Por ejemplo, ${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}}$

Entonces el álgebra opuesta tiene multiplicación dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}}$

que no son elementos iguales.

Álgebra de cuaterniones

El álgebra de cuaterniones ^[9] sobre un cuerpo con es un álgebra de división definida por tres generadores con las relaciones ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b\in F^{\times }}$ ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji}$

Todos los elementos son de la forma ${\displaystyle x\in H(a,b)}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}$, dónde ${\displaystyle x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F}$

Por ejemplo, si , entonces es el álgebra de cuaterniones habitual. ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H(-1,-1)}$

Si la multiplicación de se denota , tiene la tabla de multiplicar ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle \cdot }$

Entonces el álgebra opuesta con multiplicación denotada tiene la tabla ${\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}$ ${\displaystyle *}$

Anillo conmutativo

Un anillo conmutativo es isomorfo a su anillo opuesto ya que para todos y en ⁠ ⁠ . Incluso son iguales ⁠ ⁠ , ya que sus operaciones son iguales, es decir ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )}$ ${\displaystyle *=\cdot }$

Propiedades

• Dos anillos R ₁ y R ₂ son isomorfos si y solo si sus anillos opuestos correspondientes son isomorfos.
• El opuesto del opuesto de un anillo R es idéntico a R , es decir ( R ^op ) ^op = R .
• Un anillo y su anillo opuesto son antiisomorfos .
• Un anillo es conmutativo si y sólo si su operación coincide con su operación opuesta. ^[2]
• Los ideales izquierdos de un anillo son los ideales derechos de su opuesto. ^[10]
• El anillo opuesto de un anillo de división es un anillo de división. ^[11]
• Un módulo izquierdo sobre un anillo es un módulo derecho sobre su opuesto, y viceversa. ^[12]

Notas

1. Los anillos opuestos en "El libro de los anillos" están etiquetados como "autoconversos", que es un nombre diferente, pero el significado es claro.
2. Aunque ι es la función identidad en el conjunto R , no es la identidad como morfismo, ya que ( R , ⋅) y ( R , ⋄) son dos objetos diferentes (si R es no conmutativo) y el morfismo identidad solo puede ser de un objeto hacia sí mismo. Por lo tanto, ι no puede denotarse como id _R , cuando R se entiende como una abreviatura de ( R , ⋄) . Si ( R , ⋅) es conmutativo, entonces ( R , ⋄) = ( R , ⋅) e ι = id _{( R ,⋅)} = id _{( R ,⋄)} = id _R .
3. En esta equivalencia (y en la siguiente igualdad) el anillo puede ser bastante general, es decir, con o sin unidad, no conmutativo o conmutativo, finito o infinito.
4. Las tablas de operaciones difieren de las de la fuente. Se modificaron de la siguiente manera. La unidad 4 se renombró como 1 y 1 como 4 en la tabla de suma y multiplicación, y las filas y columnas se reorganizaron para colocar la unidad 1 junto a 0 para mayor claridad. Por lo tanto, los dos anillos son isomorfos.
5. El símbolo D _n pretende abreviar Dih _n , el grupo diedro con 2 n elementos, es decir, se utiliza la convención geométrica.
6. El nombre 3-antiprisma se entiende aquí como el antiprisma trigonal recto que no es uniforme, es decir, sus caras laterales no son triángulos equiláteros. Si fueran equiláteros, el antiprisma sería el octaedro regular cuyo grupo de simetría es mayor que D _3d .

Citas

1. Berrick y Keating (2000), pág. 19
2. Bourbaki 1989, pág. 101.
3. Nöbauer, Christof (23 de octubre de 2000). "El libro de los anillos".
4. Nöbauer, Christof (26 de octubre de 2000). «El libro de los anillos, parte II». Archivado desde el original el 24 de agosto de 2007.
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A127708 (Número de anillos no conmutativos con 1)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
6. Nöbauer, Christof (5 de abril de 2002). "Números de anillos en grupos de orden de potencia primo". Archivado desde el original el 2 de octubre de 2006.
7. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A037291 (Número de anillos con 1)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
8. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A127707 (Número de anillos conmutativos con 1)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
9. Milne. Teoría de campos de clases . pág. 120.
10. Bourbaki 1989, pág. 103.
11. Bourbaki 1989, pág. 114.
12. Bourbaki 1989, pág. 192.

Referencias

• Berrick, AJ; Keating, ME (2000). Introducción a los anillos y módulos desde la perspectiva de la teoría K. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 65. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63274-4.
• Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra I. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5.OCLC 18588156  .

Véase también

• Grupo opuesto
• Categoría opuesta