Plaza de la oposición

En lógica de términos (una rama de la lógica filosófica ), el cuadrado de oposición es un diagrama que representa las relaciones entre las cuatro proposiciones categóricas básicas . El origen del cuadrado se remonta al tratado de Aristóteles Sobre la interpretación y su distinción entre dos oposiciones: contradicción y contrariedad . Sin embargo, Aristóteles no trazó ningún diagrama; esto lo hicieron varios siglos después Apuleyo y Boecio .

Resumen

En lógica tradicional , una proposición (latín: propositio ) es una afirmación hablada ( oratio enunciativa ), no el significado de una afirmación, como en la filosofía moderna del lenguaje y la lógica . Una proposición categórica es una proposición simple que contiene dos términos, sujeto ( $S$ ) y predicado ( $P$ ), en la que el predicado es afirmado o negado por el sujeto.

Cada proposición categórica se puede reducir a una de cuatro formas lógicas , denominadas $A$ , $E$ , $I$ y $O$ basadas en el latín aff i rmo ( yo afirmo ), para las proposiciones afirmativas $A$ e $I$ , y n e g o (yo negar), para las proposiciones negativas $E$ y $O$ . Estos son:

La proposición $A , la afirmativa universal ($ universalis afirmativa ), cuya forma en latín es 'omne $S$ est $P$ ', suele traducirse como 'toda $S$ es una $P$ '.
La proposición $E$ , la negativa universal ( universalis negativa ), forma latina 'nullum $S$ est $P$ ', generalmente traducida como 'no $S$ son $P$ '.
La proposición $I , la afirmativa particular ($ particularis afirmativa ), latina 'quoddam $S$ est $P$ ', habitualmente traducida como 'algunas $S$ son $P$ '.
La proposición $O , la negativa particular ($ particularis negativa ), latina 'quoddam $S$ nōn est $P$ ', normalmente traducida como 'algunas $S$ no son $P$ '.

En forma tabular:

* La proposición $A$ puede expresarse como "Todo $S$ es $P$ ". Sin embargo, la Proposición $E$ cuando se expresa correspondientemente como "Todo $S$ no es $P$ ". es ambiguo ^[2] porque puede ser una proposición $E$ u $O$ , por lo que requiere un contexto para determinar la forma; la forma estándar "No $S$ es $P$ " no es ambigua, por lo que se prefiere. La proposición $O$ también toma la forma "A veces $S$ no es $P$ ". y "Cierta $S$ no es $P$ ". (literalmente el latín 'Quoddam $S$ nōn est $P.$ ')

** en las formas modernas significa que una declaración se aplica a un objeto . En muchos casos, puede interpretarse simplemente como " es ". también se puede escribir como . $Sx$ $S$ $x$ $x$ $S$ $Sx$ $S(x)$

Aristóteles afirma (en los capítulos seis y siete de Peri hermēneias (Περὶ Ἑρμηνείας, latín De Interpretatione , inglés 'Sobre la interpretación')), que existen ciertas relaciones lógicas entre estos cuatro tipos de proposiciones. Dice que a cada afirmación corresponde exactamente una negación, y que cada afirmación y su negación están "opuestas", de modo que siempre una de ellas debe ser verdadera y la otra falsa. El par de una afirmación afirmativa y su negación es lo que él llama una " contradicción " (en latín medieval, contradictio ). Ejemplos de contradictorios son "todos los hombres son blancos" y "no todos los hombres son blancos" (también leído como "algunos hombres no son blancos"), "ningún hombre es blanco" y "algún hombre es blanco".

Las siguientes relaciones, contrario, subcontrario, subalternación y superalternación, se mantienen según la suposición lógica tradicional de que existen cosas expresadas como $S$ (o cosas que satisfacen una declaración $S$ en la lógica moderna). Si se elimina este supuesto, entonces estas relaciones no se mantienen.

Las afirmaciones ' contrarias ' (medieval: contrariae ) son tales que ambas afirmaciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Ejemplos de estos son la afirmativa universal "todo hombre es blanco" y la negativa universal "ningún hombre es blanco". Estas no pueden ser ciertas al mismo tiempo. Sin embargo, estos no son contradictorios porque ambos pueden ser falsos. Por ejemplo, es falso que todo hombre sea blanco, ya que algunos hombres no son blancos. Sin embargo, también es falso que ningún hombre sea blanco, ya que hay algunos hombres blancos.

Dado que todo enunciado tiene su opuesto contradictorio (su negación), y dado que un enunciado contradictorio es verdadero cuando su opuesto es falso, se sigue que los opuestos de los contrarios (que los medievales llamaban subcontrarios , subcontrariae ) pueden ser ambos verdaderos, pero no pueden ser ambos. ser falso. Dado que los subcontrarios son negaciones de enunciados universales, los lógicos medievales los llamaron enunciados "particulares".

Otra relación lógica implícita en esto, aunque no mencionada explícitamente por Aristóteles, es la "alternancia" ( alternativa ), que consiste en " subalternación " y " superalternación ". La subalternación es una relación entre el enunciado particular y el enunciado universal de la misma cualidad (afirmativa o negativa) de modo que lo particular está implícito en lo universal, mientras que la superalternación es una relación entre ellos de modo que la falsedad de lo universal (equivalentemente la negación de lo universal) está implícito en la falsedad de lo particular (equivalentemente la negación de lo particular). ^[3] (La superalternación es la contrapositiva de la subalternación.) En estas relaciones, lo particular es el subalterno de lo universal, que es el superalterno de lo particular. Por ejemplo, si "todos los hombres son blancos" es verdadero, lo contrario "ningún hombre es blanco" es falso. Por tanto, el contradictorio "algún hombre es blanco" es cierto. De manera similar, el universal "ningún hombre es blanco" implica el particular "no todos los hombres son blancos". ^[4]^[5]

En resumen:

Las afirmaciones universales son contrarias: "todo hombre es justo" y "ningún hombre es justo" no pueden ser verdaderos juntos, aunque uno puede ser verdadero y el otro falso, y también ambos pueden ser falsos (si al menos un hombre es justo, y al menos al menos un hombre no es justo).
Las declaraciones particulares son subcontrarias. "Algún hombre es justo" y "algún hombre no es justo" no pueden ser falsos juntos.
El enunciado particular de una cualidad es el subalterno del enunciado universal de esa misma cualidad, que es el superalterno del enunciado particular porque en la semántica aristotélica 'todo $A$ es $B$ ' implica 'algún $A$ es $B$ ' y 'ningún $A$ es $B$ ' implica 'algo de $A$ no es $B$ '. Tenga en cuenta que las interpretaciones formales modernas de oraciones en inglés interpretan 'cada $A$ es $B$ ' como 'para cualquier $x$ , una afirmación de que $x$ es $A$ implica una afirmación de que $x$ es $B$ ', lo que no implica 'algún $x$ es $A'$ . Sin embargo, se trata de una cuestión de interpretación semántica y no significa, como a veces se afirma, que la lógica aristotélica sea "equivocada".
La afirmativa universal ( $A$ ) y la negativa particular ( $O$ ) son contradictorias. Si algún $A$ no es $B$ , entonces no todo $A$ es $B.$ Por el contrario, aunque este no es el caso en la semántica moderna, se pensaba que si todo $A$ no es $B$ , algún $A$ no es $B.$ Esta interpretación ha causado dificultades (ver más abajo). Mientras que el griego de Aristóteles no representa la negación particular como 'algún $A$ no es $B$ , sino como 'no todo $A$ es $B$ ', alguien en su comentario sobre las Peri hermaneias traduce la negación particular como 'quoddam A nōn est $B$ ', literalmente 'un cierto $A$ no es un $B$ ', y en todos los escritos medievales sobre lógica es costumbre representar la proposición particular de esta manera.

Estas relaciones se convirtieron en la base de un diagrama que se originó con Boecio y fue utilizado por los lógicos medievales para clasificar las relaciones lógicas. Las proposiciones se colocan en las cuatro esquinas de un cuadrado y las relaciones se representan como líneas trazadas entre ellas, de ahí el nombre "El cuadrado de la oposición". Por tanto, se pueden plantear los siguientes casos: ^[6]

Si $A$ es verdadera, entonces $E$ es falsa, $I$ es verdadera, $O$ es falsa;
Si $E$ es verdadera, entonces $A$ es falsa, $I$ es falsa, $O$ es verdadera;
Si $I$ es verdadera, entonces $E$ es falsa, $A$ y $O$ son indeterminadas;
Si $O$ es verdadero, entonces $A$ es falso, $E$ y $I$ son indeterminados;
Si $A$ es falso, entonces $O$ es verdadero, $E$ y $I$ son indeterminados;
Si $E$ es falsa, entonces $I$ es verdadera, $A$ y $O$ son indeterminadas;
Si $I$ es falso, entonces $A$ es falso, $E$ es verdadero, $O$ es verdadero;
Si $O$ es falso, entonces $A$ es verdadero, $E$ es falso, $I$ es verdadero.

Para memorizarlos, los medievales inventaron la siguiente rima latina: ^[7]

$A$ adfirmat, negat $E$ , sed universaliter ambae;
$I$ firmat, negat $O$ , sed particulariter ambae.

Afirma que $A$ y $E$ no son ambos verdaderos ni ambos falsos en cada uno de los casos anteriores. Lo mismo se aplica a $I$ y $O.$ Mientras que las dos primeras son afirmaciones universales, la pareja $I$ / $O$ se refiere a afirmaciones particulares.

El Cuadrado de Oposiciones se utilizó para las inferencias categóricas descritas por el filósofo griego Aristóteles: conversión , obversión y contraposición . Cada uno de esos tres tipos de inferencia categórica se aplicó a las cuatro formas lógicas boethianas: $A$ , $E$ , $I$ y $O.$

El problema de la importación existencial

Los subcontrarios ( $I$ y $O$ ), que los lógicos medievales representaban en la forma 'quoddam $A$ est $B$ ' (algún $A$ particular es $B$ ) y 'quoddam $A$ non est $B$ ' (algún $A$ particular no es $B$ ) no pueden ser ambos falsos, ya que sus Las afirmaciones contradictorias universales (ningún $A$ es $B$ / cada $A$ es $B$ ) no pueden ser ambas verdaderas. Esto lleva a una dificultad identificada por primera vez por Pedro Abelardo (1079 – 21 de abril de 1142). 'Algún $A$ es $B$ ' parece implicar 'algo es $A$ '; en otras palabras, existe algo que es $A.$ Por ejemplo, "algún hombre es blanco" parece implicar que al menos una cosa que existe es un hombre, es decir, el hombre que tiene que ser blanco, si "algún hombre es blanco" es cierto. Pero "algún hombre no es blanco" también implica que algo como hombre existe, es decir, el hombre que no es blanco, si la afirmación "algún hombre no es blanco" es verdadera. Pero la lógica aristotélica requiere que, necesariamente, una de estas afirmaciones (más generalmente 'algún $A$ particular es $B$ ' y 'algún $A$ particular no es $B$ ') sea verdadera, es decir, no pueden ser ambas falsas. Por lo tanto, como ambas afirmaciones implican la presencia de al menos una cosa que es un hombre, se sigue la presencia de un hombre o de hombres. Pero, como señala Abelardo en Dialectica , ¿seguramente los hombres podrían no existir? ^[8]

Porque al no existir absolutamente ningún hombre, ni la proposición "todo hombre es un hombre" es verdadera ni "algún hombre no es un hombre". ^[9]

Abelardo también señala que los subcontratos que contienen términos sujetos que no denotan nada, como "un hombre que es una piedra", son ambos falsos.

Si "todo hombre de piedra es una piedra" es cierto, también lo es su conversión per accidens ("algunas piedras son hombres de piedra"). Pero ninguna piedra es un hombre de piedra, porque ni este hombre ni aquel hombre, etc., son una piedra. Pero también esto de que "un hombre de piedra no es una piedra" es necesariamente falso, ya que es imposible suponerlo verdadero. ^[10]

Terence Parsons (nacido en 1939) sostiene que los filósofos antiguos no experimentaron el problema de la importancia existencial ya que sólo las formas A (afirmativa universal) e I (afirmativa particular) tenían importancia existencial. (Si una declaración incluye un término tal que la declaración es falsa si el término no tiene instancias, es decir, no existe nada asociado con el término, entonces se dice que la declaración tiene importancia existencial con respecto a ese término.)

Las afirmaciones tienen importancia existencial y las negativas no. Por tanto, los antiguos no vieron la incoherencia del cuadrado formulada por Aristóteles porque no había ninguna incoherencia que ver. ^[11]

Continúa citando al filósofo medieval Guillermo de Moerbeke (1215–35 – c. 1286 ),

En las proposiciones afirmativas siempre se afirma que un término supone algo. Así, si no supone nada, la proposición es falsa. Sin embargo, en las proposiciones negativas la afirmación es que el término no supone algo o que supone algo cuyo predicado está verdaderamente negado. Así, una proposición negativa tiene dos causas de verdad. ^[12]

Y señala que la traducción de Boecio de la obra de Aristóteles dio lugar a la noción errónea de que la forma $O$ tiene importancia existencial.

Pero cuando Boecio (477 – 524 d. C.) comenta este texto, ilustra la doctrina de Aristóteles con el ahora famoso diagrama y utiliza la expresión "Algún hombre no es justo". Así que esto debió parecerle un equivalente natural en latín. Nos parece extraño en inglés, pero a él no le molestó. ^[13]

Plazas modernas de oposición.

El cuadrado de oposición de Frege
El siguiente *conträr* es una errata:
debería decir *subconträr* .

En el siglo XIX, George Boole (noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) defendió que se requería importancia existencial en ambos términos de afirmaciones particulares ( $I$ y $O$ ), pero se permitía que todos los términos de afirmaciones universales ( $A$ y $E$ ) carecieran de importancia existencial. Esta decisión hizo que los diagramas de Venn fueran particularmente fáciles de usar para la lógica de términos. El cuadrado de oposición, según este conjunto booleano de supuestos, a menudo se denomina cuadrado de oposición moderno . En el cuadro de oposición moderno, las afirmaciones $A$ y $O$ son contradictorias, como lo son $E$ e $I$ , pero todas las demás formas de oposición dejan de ser válidas; no hay contrarios, subcontrarios, subalternaciones y superalternaciones. Así, desde un punto de vista moderno, a menudo tiene sentido hablar de "la" oposición de una afirmación, en lugar de insistir, como hacían los lógicos más antiguos, en que una afirmación tiene varios opuestos diferentes, que se encuentran en diferentes tipos de oposición con la otra. afirmar.

Begriffsschrift de Gottlob Frege (8 de noviembre de 1848 - 26 de julio de 1925) también presenta un cuadrado de oposiciones, organizado de manera casi idéntica al cuadrado clásico, mostrando los contradictorios, subalternos y contrarios entre cuatro fórmulas construidas a partir de la cuantificación, la negación y la implicación universales. .

El cuadrado semiótico de Algirdas Julien Greimas (9 de marzo de 1917 - 27 de febrero de 1992) se derivó de la obra de Aristóteles.

El tradicional cuadrado de oposición ahora se compara a menudo con cuadrados basados en la negación interna y externa. ^[14]

Hexágonos lógicos y otros bi-símplex

El cuadrado de oposición se ha ampliado a un hexágono lógico que incluye las relaciones de seis enunciados. Fue descubierto de forma independiente tanto por Augustin Sesmat (7 de abril de 1885 - 12 de diciembre de 1957) como por Robert Blanché (1898-1975). ^[15] Se ha comprobado que tanto el cuadrado como el hexágono, seguido de un " cubo lógico ", pertenecen a una serie regular de objetos n-dimensionales llamados "bi-simplex lógicos de dimensión $n$ ". El patrón va incluso más allá. ^[dieciséis]

Cuadrado de oposición (o cuadrado lógico) y lógica modal

El cuadrado lógico, también llamado cuadrado de oposición o cuadrado de Apuleyo , tiene su origen en las cuatro frases marcadas que se emplean en el razonamiento silogístico: "Todo hombre es malo", la afirmativa universal - La negación de la afirmativa universal "No todo hombre es malo" (o "Algunos hombres no son malos") - "Algunos hombres son malos", la afirmativa particular - y, finalmente, la negación de la afirmativa particular "Ningún hombre es malo". Robert Blanché publicó con Vrin sus Structures intellectuelles en 1966 y desde entonces muchos estudiosos piensan que el cuadrado lógico o cuadrado de oposición que representa cuatro valores debería ser reemplazado por el hexágono lógico que al representar seis valores es una figura más potente porque tiene el poder de Explica más cosas sobre lógica y lenguaje natural.

Interpretación teórica de conjuntos de enunciados categóricos.

En la lógica matemática moderna , los enunciados que contienen las palabras "todos", "algunos" y "no" pueden expresarse en términos de teoría de conjuntos si asumimos un dominio de discurso similar a un conjunto. Si el conjunto de todos los $A$ está etiquetado como y el conjunto de todos $los B$ como , entonces: $s(A)$ $s(B)$

"Todo $A$ es $B$ " (AaB) equivale a " es un subconjunto de ", o . $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\subseteq s(B)$
"Ningún $A$ es $B$ " (AeB) equivale a "La intersección de y está vacía ", o . $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\cap s(B)=\emptyset$
"Algo de $A$ es $B$ " (AiB) equivale a "La intersección de y no está vacía", o . $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\cap s(B)\neq \emptyset$
"Algo de $A$ no es $B$ " (AoB) equivale a " no es un subconjunto de ", o . $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\nsubseteq s(B)$

Por definición, el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos. De este hecho se deduce que, según esta convención matemática, si no hay $A$ , entonces las afirmaciones "Todo $A$ es $B$ " y "Ningún $A$ es $B$ " son siempre verdaderas, mientras que las afirmaciones "Algún $A$ es $B$ " y "Algunas $A$ no son $B$ " siempre son falsas. Esto también implica que AaB no implica AiB, y algunos de los silogismos mencionados anteriormente no son válidos cuando no hay $A$ ( ). ${\displaystyle\emptyset}$ $s(A)=\emptyset$

Ver también

Referencias

^ Según La tradicional plaza de oposición: 1.1 La revisión moderna de la plaza en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
^ Kelley, David (2014). El arte de razonar: una introducción a la lógica y el pensamiento crítico (4 ed.). Nueva York, Nueva York: WW Norton & Company, Inc. p. 150.ISBN 978-0-393-93078-8.
^ "Introducción a la lógica - 7.2.1 Terminación del cuadrado e inferencias inmediatas". 2021-08-10.
^ Parry & Hacker, Lógica aristotélica (SUNY Press, 1990), p. 158.
^ Cohen y Nagel, Introducción a la lógica, segunda edición (Hackett Publishing, 1993), p. 55.
^ Reale, Giovanni ; Antiseri, Darío (1983). Il pensiero occidentale dalle origini a oggi . vol. 1. Brescia: Editrice La Scuola. pag. 356.ISBN 88-350-7271-9. OCLC 971192154.
^ Massaro, Domenico (2005). Questioni di verità: logica di base per capire e farsi capire. Guión (en italiano). vol. 2. Arces: Liguori Editore Srl. pag. 58.ISBN 9788820738921. LCCN 2006350806. OCLC 263451944.
↑ En su Dialectica , y en su comentario a las Perihermaneias
^ Re enim hominis prorsus non existente neque ea vera est quae ait: omnis homo est homo, nec ea quae proponit: quidam homo non est homo
^ Si enim vera est: Omnis homo qui lapis est, est lapis, et eius conversa per accidens vera est: Quidam lapis est homo qui est lapis. Sed nullus lapis est homo qui est lapis, quia neque hic neque ille etc. Sed et illam: Quidam homo qui est lapis, non est lapis, falsam esse necesse est, cum impossibile ponat
^ en La tradicional plaza de oposición en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
^ (SL I.72) Loux 1974, 206
^ La tradicional plaza de la oposición
^ Westerståhl, 'Cuadrados de oposición clásicos versus modernos y más allá', en Beziau y Payette (eds.), The Square of Opposition: A General Framework for Cognition, Peter Lang, Berna, 195-229.
^ Hexágono lógico de la teoría de la oposición N
^ Moretti, Pellissier

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la Plaza de la oposición .

Parsons, Terence. "La Tradicional Plaza de la Oposición". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
Congreso Internacional en la Plaza de la Oposición
Número especial de Logica Universalis vol. 2 N. 1 (2008) sobre la Plaza de la Oposición
Catlogic: un script informático de código abierto escrito en Ruby para construir, investigar y calcular proposiciones categóricas y silogismos.
Periermenias Aristotelis con enlaces al video y al manuscrito digitalizado LJS 101 de la traducción latina de Boecio de De interprete de Aristóteles , que contiene copias de los siglos IX y XI (algunas a color) del cuadrado de oposición de Aristóteles en las hojas 36r y 36v.