Operador Hilbert-Schmidt

Nuclear operator of order 2; a bounded operator A on a Hilbert space H such that tr(A*A) is finite

En matemáticas , un operador de Hilbert-Schmidt , llamado así en honor a David Hilbert y Erhard Schmidt , es un operador acotado que actúa en un espacio de Hilbert y tiene una norma de Hilbert-Schmidt finita. ${\displaystyle A\colon H\to H}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},}$$

donde es una base ortonormal . ^{[1] [2]} No es necesario que el conjunto de índices sea contable. Sin embargo, la suma de la derecha debe contener como máximo muchos términos distintos de cero para que tenga significado. ^[3] Esta definición es independiente de la elección de la base ortonormal. En el espacio euclidiano de dimensión finita , la norma de Hilbert-Schmidt es idéntica a la norma de Frobenius . ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

||·|| HS está bien definido

La norma de Hilbert-Schmidt no depende de la elección de la base ortonormal. De hecho, si y son tales bases, entonces ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}}$

$${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.}$$

${\displaystyle e_{i}=f_{i},}$ ${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$ ${\displaystyle A=A^{**}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$

Ejemplos

Los operadores integrales de Hilbert-Schmidt proporcionan una clase importante de ejemplos . Todo operador acotado con un rango de dimensión finita (se denominan operadores de rango finito) es un operador de Hilbert-Schmidt. El operador de identidad en un espacio de Hilbert es un operador de Hilbert-Schmidt si y sólo si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Dado any y en , defina por , que es un operador lineal continuo de rango 1 y, por tanto, un operador de Hilbert-Schmidt; además, para cualquier operador lineal acotado en (y dentro de ), . ^[4] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$

Si es un operador compacto acotado con valores propios de , donde cada valor propio se repite con tanta frecuencia como su multiplicidad, entonces es Hilbert-Schmidt si y sólo si , en cuyo caso la norma de Hilbert-Schmidt es . ^[5] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\dots }$ ${\displaystyle |T|={\sqrt {T^{*}T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$

Si , donde es un espacio de medidas, entonces el operador integral con núcleo es un operador de Hilbert-Schmidt y . ^[5] ${\displaystyle k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)}$ ${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$ ${\displaystyle K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$

Espacio de operadores Hilbert-Schmidt

El producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt tiene una norma de clase de traza finita ; por lo tanto, si A y B son dos operadores de Hilbert-Schmidt, el producto interno de Hilbert-Schmidt se puede definir como

$${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$$

Los operadores de Hilbert-Schmidt forman un ideal * de dos lados en el álgebra de Banach de operadores acotados en H. También forman un espacio de Hilbert, denotado por B _HS ( H ) o B ₂ ( H ) , que se puede demostrar que es naturalmente isométrico isomorfo al producto tensorial de los espacios de Hilbert.

$${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$$

donde H ^∗ es el espacio dual de H . La norma inducida por este producto interno es la norma de Hilbert-Schmidt bajo la cual el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt es completo (convirtiéndolo así en un espacio de Hilbert). ^[4] El espacio de todos los operadores lineales acotados de rango finito (es decir, que tienen un rango de dimensión finita) es un subconjunto denso del espacio de los operadores de Hilbert-Schmidt (con la norma de Hilbert-Schmidt). ^[4]

El conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt es cerrado en la topología normal si, y sólo si, H es de dimensión finita.

Propiedades

• Todo operador de Hilbert-Schmidt T  : H → H es un operador compacto . ^[5]
• Un operador lineal acotado T  : H → H es Hilbert-Schmidt si y sólo si lo mismo ocurre con el operador , en cuyo caso las normas de Hilbert-Schmidt de T y | T | son iguales. ^[5] ${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$
• Los operadores Hilbert-Schmidt son operadores nucleares de orden 2 y, por tanto, son operadores compactos . ^[5]
• Si y son operadores de Hilbert-Schmidt entre espacios de Hilbert, entonces la composición es un operador nuclear . ^[3] ${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$ ${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$
• Si T  : H → H es un operador lineal acotado entonces tenemos . ^[5] ${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$
• T es un operador de Hilbert-Schmidt si y sólo si la traza del operador autoadjunto no negativoes finita, en cuyo caso. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$ ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle \|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {Tr} (T^{*}T)}$
• Si T  : H → H es un operador lineal acotado en H y S  : H → H es un operador de Hilbert-Schmidt en H , entonces , y . ^[5] En particular, la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt es nuevamente Hilbert-Schmidt (e incluso un operador de clase de traza ). ^[5] ${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$ ${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$ ${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$
• El espacio de operadores de Hilbert-Schmidt en H es un ideal del espacio de operadores acotados que contiene operadores de rango finito. ^[5] ${\displaystyle B\left(H\right)}$
• Si A es un operador de Hilbert-Schmidt en H entonces
  $${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$$
  donde es una base ortonormal de H y es la norma de Schatten para p = 2 . En el espacio euclidiano , también se llama norma de Frobenius . ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \|A\|_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

Ver también

• Producto interno de Frobenius  : operación binaria, toma dos matrices y devuelve un escalar
• teorema de sazonov
• Clase de seguimiento  : operador compacto para el que se puede definir un seguimiento finito

Referencias

1. Moslehian, MS "Operador Hilbert-Schmidt (de MathWorld)".
2. Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Operador Hilbert-Schmidt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
3. Schaefer 1999, pág. 177.
4. Conway 1990, pag. 268.
5. Conway 1990, pag. 267.

• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 3. Nueva York, Nueva York: Springer New York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.