Operador de Volterra

En matemáticas , en el área de análisis funcional y teoría de operadores , el operador de Volterra , llamado así en honor a Vito Volterra , es un operador lineal acotado en el espacio L ² [0,1] de funciones complejas integrables al cuadrado en el intervalo [0,1]. En el subespacio C [0,1] de funciones continuas representa la integración indefinida . Es el operador correspondiente a las ecuaciones integrales de Volterra .

Definición

El operador Volterra, V , puede definirse para una función f  ∈  L ² [0,1] y un valor t  ∈ [0,1], como ^[1]

${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$

Propiedades

• V es un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert , con adjunto hermítico $${\displaystyle V^{*}(f)(t)=\int _{t}^{1}f(s)\,ds.}$$
• V es un operador de Hilbert-Schmidt , por lo tanto, en particular, es compacto . ^[2]
• V no tiene valores propios y por lo tanto, por la teoría espectral de operadores compactos , su espectro σ ( V ) = {0}. ^{[2] [3]}
• V es un operador cuasinilpotente (es decir, el radio espectral , ρ ( V ), es cero), pero no es un operador nilpotente .
• La norma del operador de V es exactamente || V || = ² ⁄ _π . ^[2]

Véase también

• Producto integral

Referencias

1. Rynne, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008). "Ecuaciones integrales y diferenciales 8.2. Ecuaciones integrales de Volterra". Análisis funcional lineal . Springer. pág. 245.
2. "Espectro de operadores integrales indefinidos". Stack Exchange . 30 de mayo de 2012.
3. "El operador Volterra es compacto pero no tiene valor propio". Stack Exchange .

Lectura adicional

• Gohberg, Israel; Krein, MG (1970). Teoría y aplicaciones de los operadores de Volterra en el espacio de Hilbert . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3627-7.