Geoide

Forma del océano sin vientos ni mareas

Mapa de la ondulación del geoide en metros (basado en el modelo de gravedad EGM96 y el elipsoide de referencia WGS84 ). ^[1]

El geoide ( /ˈdʒiː.ɔɪd/JEE-oyd ) es la forma que adoptaría la superficie del océano bajo la influencia de la gravedad de la Tierra , incluyendo la atracción gravitatoria y la rotación de la Tierra , si no existieran otras influencias como los vientos y las mareas. Esta superficie se extiende a través de los continentes ( tal como podría aproximarse con canales hipotéticos muy estrechos ). Según Gauss , quien lo describió por primera vez, es la « figura matemática de la Tierra », una superficie lisa pero irregular cuya forma resulta de la distribución desigual de la masa dentro y sobre la superficie de la Tierra. ^[2] Solo se puede conocer a través de extensas mediciones y cálculos gravitacionales. A pesar de ser un concepto importante durante casi 200 años en la historia de la geodesia y la geofísica , solo se ha definido con alta precisión desde los avances en la geodesia satelital a fines del siglo XX.

El geoide se expresa a menudo como una ondulación geoidal o altura geoidal por encima de un elipsoide de referencia dado , que es una esfera ligeramente aplanada cuyo abultamiento ecuatorial es causado por la rotación del planeta. Generalmente, la altura geoidal se eleva donde el material de la Tierra es localmente más denso y ejerce una mayor fuerza gravitacional que las áreas circundantes. El geoide, a su vez, sirve como superficie de coordenadas de referencia para varias coordenadas verticales , como alturas ortométricas , alturas geopotenciales y alturas dinámicas (consulte Geodesia#Alturas ).

Todos los puntos de la superficie de un geoide tienen el mismo geopotencial (la suma de la energía potencial gravitatoria y la energía potencial centrífuga ). En esta superficie, aparte de las fluctuaciones temporales de las mareas, la fuerza de la gravedad actúa en todas partes perpendicularmente al geoide, lo que significa que las líneas de plomada apuntan perpendicularmente y los niveles de burbuja son paralelos al geoide. Ser un equigeopotencial significa que el geoide corresponde a la superficie libre del agua en reposo (si solo actuaran la gravedad y la aceleración rotacional de la Tierra); esta es también una condición suficiente para que una pelota permanezca en reposo en lugar de rodar sobre el geoide. La aceleración de la gravedad de la Tierra (la derivada vertical del geopotencial) es, por lo tanto, no uniforme sobre el geoide. ^[3]

Ondulación geoidal en pseudocolor , relieve sombreado y exageración vertical (factor de escala vertical 10000).

Ondulación del geoide en pseudocolor, sin exageración vertical.

Descripción

La superficie del geoide es irregular, a diferencia del elipsoide de referencia (que es una representación matemática idealizada de la Tierra física como un elipsoide ), pero es considerablemente más suave que la superficie física de la Tierra. Aunque el "suelo" de la Tierra tiene excursiones del orden de +8.800 m ( Monte Everest ) y -11.000 m ( Fosa de las Marianas ), la desviación del geoide con respecto a un elipsoide varía de +85 m (Islandia) a -106 m (sur de la India), menos de 200 m en total. ^[4]

Si el océano tuviera una densidad constante y no se viera afectado por mareas, corrientes o condiciones meteorológicas, su superficie se parecería al geoide. La desviación permanente entre el geoide y el nivel medio del mar se denomina topografía de la superficie del océano . Si las masas continentales estuvieran atravesadas por una serie de túneles o canales, el nivel del mar en esos canales también coincidiría casi con el geoide. Los geodestas pueden obtener las alturas de los puntos continentales por encima del geoide mediante un nivel de burbuja .

Al ser una superficie equipotencial , el geoide es, por definición, una superficie sobre la que la fuerza de la gravedad es perpendicular en todas partes, salvo las fluctuaciones temporales de las mareas. Esto significa que cuando se viaja en barco, no se nota la ondulación del geoide; sin tener en cuenta las mareas, la vertical local (plomada) siempre es perpendicular al geoide y el horizonte local tangente a él. Del mismo modo, los niveles de burbuja siempre serán paralelos al geoide.

Ejemplo simplificado

1. Océano
2. Elipsoide
3. Plomada local
4. Continente
5. Geoide

El campo gravitatorio de la Tierra no es uniforme. Normalmente se utiliza un esferoide achatado como la Tierra idealizada, pero incluso si la Tierra fuera esférica y no rotara, la fuerza de la gravedad no sería la misma en todas partes porque la densidad varía en todo el planeta. Esto se debe a las distribuciones de magma, la densidad y el peso de las diferentes composiciones geológicas en la corteza terrestre , las cadenas montañosas, las fosas marinas profundas, la compactación de la corteza debido a los glaciares, etc.

Si esa esfera estuviera cubierta de agua, el agua no tendría la misma altura en todas partes, sino que el nivel del agua sería más alto o más bajo con respecto al centro de la Tierra, dependiendo de la integral de la fuerza de gravedad desde el centro de la Tierra hasta ese lugar. El nivel del geoide coincide con el lugar donde estaría el agua. Generalmente, el geoide se eleva donde el material de la Tierra es localmente más denso, ejerce mayor fuerza gravitatoria y atrae más agua del área circundante.

Formulación

Perfil meridional de la ondulación del geoide (rojo) relativo al elipsoide de referencia (negro), muy exagerado; véase también: Forma de pera de la Tierra .

La ondulación geoidal (también conocida como altura geoidal o anomalía geoidal ), N , es la altura del geoide en relación con un elipsoide de referencia determinado . La ondulación no está estandarizada, ya que los distintos países utilizan distintos niveles medios del mar como referencia, pero lo más común es que se refiera al geoide EGM96 . $${\displaystyle N=h-H}$$

En los mapas y en el uso común, la altura sobre el nivel medio del mar (como la altura ortométrica , H ) se utiliza para indicar la altura de las elevaciones, mientras que la altura elipsoidal , h , resulta del sistema GPS y GNSS similares : (Existe una relación análoga entre las alturas normales y el cuasigeoide , que no tiene en cuenta las variaciones de densidad local). En la práctica, muchos receptores GPS portátiles interpolan N en un mapa geoidal precalculado (una tabla de búsqueda ). ^[5] $${\displaystyle H=h-N}$$

Por lo tanto, un receptor GPS en un barco puede, durante el curso de un largo viaje, indicar variaciones de altura, aunque el barco siempre estará al nivel del mar (despreciando los efectos de las mareas). Esto se debe a que los satélites GPS , que orbitan alrededor del centro de gravedad de la Tierra, pueden medir alturas solo en relación con un elipsoide de referencia geocéntrico. Para obtener la altura ortométrica de uno , se debe corregir una lectura GPS bruta. Por el contrario, la altura determinada por nivelación de burbuja desde un mareógrafo , como en la topografía tradicional, es más cercana a la altura ortométrica. Los receptores GPS modernos tienen una cuadrícula implementada en su software mediante la cual obtienen, a partir de la posición actual, la altura del geoide (por ejemplo, el geoide EGM96) sobre el elipsoide del Sistema Geodésico Mundial (WGS). Luego pueden corregir la altura sobre el elipsoide WGS a la altura sobre el geoide EGM96. Cuando la altura no es cero en un barco, la discrepancia se debe a otros factores como las mareas oceánicas, la presión atmosférica (efectos meteorológicos), la topografía de la superficie del mar local y las incertidumbres de medición.

Perfil ecuatorial de la ondulación del geoide (rojo) relativo al elipsoide de referencia (negro), muy exagerado; véase también: Tierra triaxial .

Determinación

La ondulación del geoide N está estrechamente relacionada con el potencial perturbador T según la fórmula de Bruns (llamada así en honor a Heinrich Bruns ):

${\displaystyle N=T/\gamma \,,}$

donde es la fuerza de gravedad normal , calculada a partir del potencial de campo normal . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$

Otra forma de determinar N es utilizando valores de anomalía de gravedad , diferencias entre la gravedad de referencia real y normal, según ${\displaystyle \Delta g}$Fórmula de Stokes (ointegral de Stokes), publicada en 1849 porGeorge Gabriel Stokes:

${\displaystyle N={\frac {R}{4\pi \gamma _{0}}}\iint _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\,d\sigma .}$

El núcleo integral S , llamado función de Stokes , fue derivado por Stokes en forma analítica cerrada. ^[6] Nótese que determinar cualquier lugar en la Tierra por esta fórmula requiere que se conozcan todas las partes de la Tierra , incluidos océanos, áreas polares y desiertos. Para mediciones gravimétricas terrestres esto es casi imposible, a pesar de la estrecha cooperación internacional dentro de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), por ejemplo, a través de la Oficina Internacional de Gravedad (BGI, Bureau Gravimétrique International). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta g}$

Otro enfoque para la determinación del geoide es combinar múltiples fuentes de información: no sólo gravimetría terrestre, sino también datos geodésicos satelitales sobre la figura de la Tierra, a partir del análisis de perturbaciones orbitales satelitales y, últimamente, de misiones de gravedad satelital como GOCE y GRACE . En tales soluciones de combinación, la parte de baja resolución de la solución del geoide es proporcionada por los datos satelitales, mientras que una versión "ajustada" de la ecuación de Stokes anterior se utiliza para calcular la parte de alta resolución, a partir de datos gravimétricos terrestres de un vecindario del punto de evaluación únicamente.

Calcular la ondulación es un desafío matemático. ^{[7] [8]} La solución precisa del geoide de Petr Vaníček y sus colaboradores mejoró el enfoque de Stokes para el cálculo del geoide. ^{[9] Su solución permite} una precisión de milímetros a centímetros en el cálculo del geoide , una mejora de un orden de magnitud con respecto a las soluciones clásicas anteriores. ^{[10] [11] [12] [13]}

Las ondulaciones geoidales presentan incertidumbres que pueden estimarse mediante varios métodos, por ejemplo, la colocación de mínimos cuadrados (LSC), la lógica difusa , las redes neuronales artificiales , las funciones de base radial (RBF) y las técnicas geoestadísticas . El enfoque geoestadístico se ha definido como la técnica más mejorada en la predicción de la ondulación geoidal. ^[14]

Relación con la densidad de masa

Anomalías de gravedad y geoide causadas por diversos cambios en el espesor de la corteza y la litosfera en relación con una configuración de referencia. Todos los ajustes se realizan con compensación isostática local .

Las variaciones en la altura de la superficie geoidal están relacionadas con distribuciones de densidad anómalas dentro de la Tierra. Las mediciones del geoide ayudan así a entender la estructura interna del planeta. Los cálculos sintéticos muestran que la firma geoidal de una corteza engrosada (por ejemplo, en cinturones orogénicos producidos por colisiones continentales ) es positiva, lo contrario de lo que debería esperarse si el engrosamiento afecta a toda la litosfera . La convección del manto también cambia la forma del geoide con el tiempo. ^[15]

Visualización tridimensional de anomalías gravitacionales en unidades de Gal. , utilizando pseudocolor y relieve sombreado .

La superficie del geoide es más alta que el elipsoide de referencia dondequiera que haya una anomalía gravitacional positiva o un potencial perturbador negativo (exceso de masa) y más baja que el elipsoide de referencia dondequiera que haya una anomalía gravitacional negativa o un potencial perturbador positivo (déficit de masa). ^[16]

Esta relación se puede entender recordando que el potencial gravitatorio se define de modo que tenga valores negativos y sea inversamente proporcional a la distancia al cuerpo. Por lo tanto, si bien un exceso de masa reforzará la aceleración de la gravedad, disminuirá el potencial gravitatorio. Como consecuencia, la superficie equipotencial que define al geoide se encontrará desplazada en dirección opuesta al exceso de masa. Análogamente, un déficit de masa debilitará la atracción gravitatoria pero aumentará el geopotencial a una distancia dada, haciendo que el geoide se mueva hacia el déficit de masa.

La presencia de una inclusión localizada en el medio de fondo rotará los vectores de aceleración de la gravedad ligeramente hacia o desde un cuerpo más denso o más ligero, respectivamente, lo que provocará una protuberancia o un hoyuelo en la superficie equipotencial. ^[17]

La mayor desviación absoluta se puede encontrar en el Geoide Bajo del Océano Índico , 106 metros por debajo del nivel medio del mar. ^[18] Otra característica importante es el Geoide Alto del Atlántico Norte (o Oleaje Geoide del Atlántico Norte), causado en parte por el peso de la capa de hielo sobre América del Norte y el norte de Europa en la Edad de Hielo del Cenozoico Tardío . ^[19]

Cambio temporal

Misiones satelitales recientes, como el Explorador de Campo de Gravedad y Circulación Oceánica en Estado Estacionario (GOCE) y GRACE , han permitido el estudio de señales geoidales variables en el tiempo. Los primeros productos basados ​​en datos satelitales de GOCE estuvieron disponibles en línea en junio de 2010, a través de la Agencia Espacial Europea. ^{[20] [21]} La ESA lanzó el satélite en marzo de 2009 en una misión para mapear la gravedad de la Tierra con una precisión y resolución espacial sin precedentes. El 31 de marzo de 2011, se dio a conocer un nuevo modelo geoidal en el Cuarto Taller Internacional de Usuarios de GOCE organizado en la Universidad Técnica de Múnich , Alemania. ^[22] Los estudios que utilizan el geoide variable en el tiempo calculado a partir de datos de GRACE han proporcionado información sobre ciclos hidrológicos globales, ^[23] balances de masa de capas de hielo , ^[24] y rebote postglacial . ^[25] A partir de mediciones de rebote postglacial, los datos de GRACE variables en el tiempo se pueden utilizar para deducir la viscosidad del manto de la Tierra . ^[26]

Representación de armónicos esféricos

Los armónicos esféricos se utilizan a menudo para aproximar la forma del geoide. El mejor conjunto actual de coeficientes armónicos esféricos es el EGM2020 (Earth Gravitational Model 2020), determinado en un proyecto colaborativo internacional dirigido por la National Imagery and Mapping Agency (actualmente la National Geospatial-Intelligence Agency o NGA). La descripción matemática de la parte no rotatoria de la función potencial en este modelo es: ^[27]

$${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right),}$$

donde y son latitud y longitud geocéntricas (esféricas) respectivamente, son los polinomios de Legendre asociados completamente normalizados de grado y orden , y y son los coeficientes numéricos del modelo basado en datos medidos. La ecuación anterior describe el potencial gravitacional de la Tierra , no el geoide en sí, en la ubicación donde la coordenada es el radio geocéntrico , es decir, la distancia desde el centro de la Tierra. El geoide es una superficie equipotencial particular, ^[27] y es algo complicado de calcular. El gradiente de este potencial también proporciona un modelo de la aceleración gravitacional. El EGM96 más comúnmente utilizado contiene un conjunto completo de coeficientes de grado y orden 360 (es decir, ), que describen detalles en el geoide global tan pequeños como 55 km (o 110 km, dependiendo de la definición de resolución). El número de coeficientes, y , se puede determinar observando primero en la ecuación para que para un valor específico de hay dos coeficientes para cada valor de excepto para . Solo hay un coeficiente cuando ya que . Por lo tanto, existen coeficientes para cada valor de . Utilizando estos hechos y la fórmula, , se deduce que el número total de coeficientes está dado por ${\displaystyle \phi \ }$ ${\displaystyle \lambda \ }$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$ ${\displaystyle n\ }$ ${\displaystyle m\ }$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi ,\;\lambda ,\;r,\ }$ ${\displaystyle r\ }$ ${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle \sin(0\lambda )=0}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum _{I=1}^{L}I={\frac {1}{2}}L(L+1)}$

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}(2n+1)=n_{\text{max}}(n_{\text{max}}+1)+n_{\text{max}}-3=130317}$$utilizando el valor EGM96 de . ${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$

Para muchas aplicaciones, la serie completa es innecesariamente compleja y se trunca después de unos pocos términos (quizás varias docenas).

Sin embargo, se han desarrollado modelos de resolución aún mayor. Muchos de los autores de EGM96 han publicado EGM2008. Incorpora gran parte de los nuevos datos de gravedad satelital (por ejemplo, el Experimento de recuperación de gravedad y clima ) y admite hasta el grado y orden 2160 (1/6 de grado, lo que requiere más de 4 millones de coeficientes), ^[28] con coeficientes adicionales que se extienden hasta el grado 2190 y el orden 2159. ^[29] EGM2020 es la continuación internacional que se programó originalmente para 2020 (aún no se lanzó en 2024), que contiene la misma cantidad de armónicos generados con mejores datos. ^[30]

Véase también

• Desviación de la vertical
• Datum geodésico
• Geopotencial
• Marco de Referencia Terrestre Internacional
• Geodesia física
• Geoide planetario
  • Areoide (geoide de Marte)
  • Selenoide (geoide de la Luna)

Referencias

1. "WGS 84, N=M=180 Earth Gravitational Model". NGA: Oficina de Geomática . Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial. Archivado desde el original el 8 de agosto de 2020. Consultado el 17 de diciembre de 2016 .
2. Gauss, CF (1828). Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector (en alemán). Vandenhoeck y Ruprecht. pag. 73 . Consultado el 6 de julio de 2021 .
3. Geodesia: los conceptos. Petr Vanicek y EJ Krakiwsky. Ámsterdam: Elsevier. 1982 (primera ed.): ISBN 0-444-86149-1 , ISBN 978-0-444-86149-8 . 1986 (tercera ed.): ISBN 0-444-87777-0 , ISBN 978-0-444-87777-2 . ASIN  0444877770.    
4. "Definición de gravedad de la Tierra". GRACE – Experimento sobre recuperación de la gravedad y clima . Centro de Investigación Espacial ( Universidad de Texas en Austin ) / Consorcio de Becas Espaciales de Texas. 11 de febrero de 2004. Consultado el 22 de enero de 2018 .
5. Wormley, Sam. «Altura ortométrica GPS». edu-observatory.org . Archivado desde el original el 20 de junio de 2016. Consultado el 15 de junio de 2016 .
6. Wang, Yan Ming (2016). "Problemas de valores de contorno geodésicos". Enciclopedia de geodesia . Cham: Springer International Publishing. págs. 1–8. doi :10.1007/978-3-319-02370-0_42-1. ISBN . 978-3-319-02370-0.
7. Sideris, Michael G. (2011). "Determinación de geoides, teoría y principios". Enciclopedia de geofísica de la Tierra sólida . Serie Enciclopedia de ciencias de la Tierra. págs. 356–362. doi :10.1007/978-90-481-8702-7_154. ISBN 978-90-481-8701-0.S2CID241396148  .​
8. Sideris, Michael G. (2011). "Geoide, método computacional". Enciclopedia de geofísica de la Tierra sólida . Serie de la Enciclopedia de Ciencias de la Tierra. págs. 366–371. doi :10.1007/978-90-481-8702-7_225. ISBN 978-90-481-8701-0.
9. "Paquete de determinación geoide precisa de la UNB" . Consultado el 2 de octubre de 2007 .
10. Vaníček, P.; Kleusberg, A. (1987). "El enfoque geoide-stokesiano canadiense". Manuscrito Geodaetica . 12 (2): 86–98.
11. Vaníček, P.; Martinec, Z. (1994). «Recopilación de un geoide regional preciso» (PDF) . Manuscrito Geodaetica . 19 : 119-128.
12. Vaníček, P.; Kleusberg, A.; Martinec, Z.; Sol, W.; Ong, P.; Najafi, M.; Vajda, P.; Harrie, L.; Tomasek, P.; ter Horst, B. Compilación de un geoide regional preciso (PDF) (Reporte). Departamento de Geodesia e Ingeniería Geomática, Universidad de New Brunswick. 184 . Consultado el 22 de diciembre de 2016 .
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15. Richards, MA; Hager, BH (1984). "Anomalías geoides en una Tierra dinámica". Revista de investigación geofísica . 89 (B7): 5987–6002. Código Bibliográfico :1984JGR....89.5987R. doi :10.1029/JB089iB07p05987.
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20. "ESA makes first GOCE dataset available" (La ESA publica el primer conjunto de datos de GOCE). GOCE . Agencia Espacial Europea . 9 de junio de 2010 . Consultado el 22 de diciembre de 2016 .
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22. "La gravedad de la Tierra revelada con un detalle sin precedentes". GOCE . Agencia Espacial Europea. 31 de marzo de 2011 . Consultado el 22 de diciembre de 2016 .
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27. Smith, Dru A. (1998). "No existe tal cosa como 'El' geoide EGM96: puntos sutiles sobre el uso de un modelo geopotencial global". Boletín IGeS No. 8. Milán, Italia: International Geoid Service. pp. 17–28 . Consultado el 16 de diciembre de 2016 .
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30. Barnes, D.; Factor, J. K.; Holmes, SA; Ingalls, S.; Presicci, MR; Beale, J.; Fecher, T. (2015). "Modelo gravitacional de la Tierra 2020". Resúmenes de la reunión de otoño de la AGU . 2015 : G34A–03. Código Bibliográfico :2015AGUFM.G34A..03B.

Lectura adicional

• Li, Xiong; Götze, Hans-Jürgen (noviembre de 2001). "Elipsoide, geoide, gravedad, geodesia y geofísica" (PDF) . Geofísica . 66 (6): 1660–1668. Bibcode :2001Geop...66.1660L. doi :10.1190/1.1487109.
• Moritz, H. (marzo de 2011). "Una perspectiva contemporánea de la estructura del geoide". Journal of Geodetic Science . 1 (1): 82–87. Bibcode :2011JGeoS...1...82M. doi : 10.2478/v10156-010-0010-7 .
• "Geodesia física". Geodesia para el profano . NOAA. 1984.

Enlaces externos

• Página web de la NGA sobre los modelos gravitacionales de la Tierra
• Página web de la NASA sobre el EGM96
• Página web de la NOAA sobre modelos geoides
• Centro Internacional de Modelos Globales de la Tierra (ICGEM)
• Servicio Internacional para el Geoide (ISG)