Impedancia acústica

Oposición que presenta un sistema a una presión acústica

La impedancia acústica y la impedancia acústica específica son medidas de la oposición que presenta un sistema al flujo acústico resultante de una presión acústica aplicada al sistema. La unidad SI de impedancia acústica es el pascal-segundo por metro cúbico (símbolo Pa·s/m ³ ), o en el sistema MKS el rayl por metro cuadrado (Rayl/m ² ), mientras que la de impedancia acústica específica es el pascal-segundo por metro (Pa·s/m), o en el sistema MKS el rayl (Rayl). ^[1] Existe una estrecha analogía con la impedancia eléctrica , que mide la oposición que presenta un sistema a la corriente eléctrica resultante de un voltaje aplicado al sistema.

Definiciones matemáticas

Impedancia acústica

Para un sistema lineal invariante en el tiempo , la relación entre la presión acústica aplicada al sistema y el caudal volumétrico acústico resultante a través de una superficie perpendicular a la dirección de esa presión en su punto de aplicación viene dada por: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

o equivalentemente por

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

dónde

• p es la presión acústica;
• Q es el caudal volumétrico acústico;
• ${\displaystyle *}$es el operador de convolución ;
• R es la resistencia acústica en el dominio del tiempo ;
• G = R ⁻¹ es la conductancia acústica en el dominio del tiempo ( R ⁻¹ es la inversa de convolución de R ).

La impedancia acústica , denotada Z , es la transformada de Laplace , o la transformada de Fourier , o la representación analítica de la resistencia acústica en el dominio del tiempo : ^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

dónde

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es el operador de la transformada de Laplace;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el operador de la transformada de Fourier;
• el subíndice "a" es el operador de representación analítica;
• Q ⁻¹ es la convolución inversa de Q .

La resistencia acústica , denotada por R , y la reactancia acústica , denotada por X , son la parte real y la parte imaginaria de la impedancia acústica respectivamente: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

dónde

• i es la unidad imaginaria ;
• en Z ( s ), R ( s ) no es la transformada de Laplace de la resistencia acústica en el dominio del tiempo R ( t ), Z ( s ) es;
• en Z ( ω ), R ( ω ) no es la transformada de Fourier de la resistencia acústica en el dominio del tiempo R ( t ), Z ( ω ) es;
• en Z ( t ), R ( t ) es la resistencia acústica en el dominio del tiempo y X ( t ) es la transformada de Hilbert de la resistencia acústica en el dominio del tiempo R ( t ), según la definición de la representación analítica.

La reactancia acústica inductiva , denominada X _L , y la reactancia acústica capacitiva , denominada X _C , son la parte positiva y la parte negativa de la reactancia acústica respectivamente: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

La admitancia acústica , denotada Y , es la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representación analítica de la conductancia acústica en el dominio del tiempo : ^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

dónde

• Z ⁻¹ es la convolución inversa de Z ;
• p ⁻¹ es la convolución inversa de p .

La conductancia acústica , denotada G , y la susceptancia acústica , denotada B , son la parte real y la parte imaginaria de la admitancia acústica respectivamente: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

dónde

• en Y ( s ), G ( s ) no es la transformada de Laplace de la conductancia acústica del dominio del tiempo G ( t ), Y ( s ) es;
• en Y ( ω ), G ( ω ) no es la transformada de Fourier de la conductancia acústica del dominio del tiempo G ( t ), Y ( ω ) es;
• en Y ( t ), G ( t ) es la conductancia acústica en el dominio del tiempo y B ( t ) es la transformada de Hilbert de la conductancia acústica en el dominio del tiempo G ( t ), según la definición de la representación analítica.

La resistencia acústica representa la transferencia de energía de una onda acústica. La presión y el movimiento están en fase, por lo que el trabajo se realiza en el medio delante de la onda. La reactancia acústica representa la presión que está desfasada con el movimiento y no causa transferencia de energía promedio. ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, una bombilla cerrada conectada a un tubo de órgano tendrá aire entrando en ella y presión, pero están desfasados ​​por lo que no se transmite energía neta. Mientras la presión aumenta, el aire entra, y mientras cae, sale, pero la presión promedio cuando el aire entra es la misma que cuando sale, por lo que la energía fluye de ida y vuelta pero sin transferencia de energía promediada en el tiempo. ^{[ cita requerida ]} Otra analogía eléctrica es un condensador conectado a través de una línea eléctrica: la corriente fluye a través del condensador pero está desfasada con el voltaje, por lo que no se transmite energía neta a él.

Impedancia acústica específica

Para un sistema lineal invariante en el tiempo , la relación entre la presión acústica aplicada al sistema y la velocidad de la partícula resultante en la dirección de esa presión en su punto de aplicación está dada por

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

o equivalentemente por:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

dónde

• p es la presión acústica;
• v es la velocidad de la partícula;
• r es la resistencia acústica específica en el dominio del tiempo ;
• g = r ⁻¹ es la conductancia acústica específica en el dominio del tiempo ( r ⁻¹ es la inversa de convolución de r ). ^{[ cita requerida ]}

La impedancia acústica específica , denotada por z, es la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representación analítica de la resistencia acústica específica del dominio del tiempo : ^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

donde v ⁻¹ es la convolución inversa de v .

La resistencia acústica específica , denotada por r , y la reactancia acústica específica , denotada por x , son la parte real y la parte imaginaria de la impedancia acústica específica respectivamente: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

dónde

• en z ( s ), r ( s ) no es la transformada de Laplace de la resistencia acústica específica del dominio del tiempo r ( t ), z ( s ) es;
• en z ( ω ), r ( ω ) no es la transformada de Fourier de la resistencia acústica específica del dominio del tiempo r ( t ), z ( ω ) es;
• en z ( t ), r ( t ) es la resistencia acústica específica del dominio del tiempo y x ( t ) es la transformada de Hilbert de la resistencia acústica específica del dominio del tiempo r ( t ), según la definición de la representación analítica.

La reactancia acústica inductiva específica , denotada x _L , y la reactancia acústica capacitiva específica , denotada x _C , son la parte positiva y la parte negativa de la reactancia acústica específica respectivamente: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

La admitancia acústica específica , denotada por y , es la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representación analítica de la conductancia acústica específica del dominio del tiempo : ^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

dónde

• z ⁻¹ es la convolución inversa de z ;
• p ⁻¹ es la convolución inversa de p .

La conductancia acústica específica , denotada g , y la susceptancia acústica específica , denotada b , son la parte real y la parte imaginaria de la admitancia acústica específica respectivamente: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

dónde

• en y ( s ), g ( s ) no es la transformada de Laplace de la conductancia acústica del dominio del tiempo g ( t ), y ( s ) es;
• en y ( ω ), g ( ω ) no es la transformada de Fourier de la conductancia acústica del dominio del tiempo g ( t ), y ( ω ) es;
• en y ( t ), g ( t ) es la conductancia acústica en el dominio del tiempo y b ( t ) es la transformada de Hilbert de la conductancia acústica en el dominio del tiempo g ( t ), de acuerdo con la definición de la representación analítica.

La impedancia acústica específica z es una propiedad intensiva de un medio particular (por ejemplo, se puede especificar la z del aire o del agua); por otro lado, la impedancia acústica Z es una propiedad extensiva de un medio y una geometría particulares (por ejemplo, se puede especificar la Z de un conducto particular lleno de aire). ^{[ cita requerida ]}

Ohmio acústico

El ohmio acústico es una unidad de medida de impedancia acústica. La unidad de presión del SI es el pascal y la de caudal el metro cúbico por segundo, por lo que el ohmio acústico es igual a 1 Pa·s/m ³ .

El ohmio acústico se puede aplicar al flujo de fluidos fuera del ámbito de la acústica. Para tales aplicaciones se puede utilizar un ohmio hidráulico con una definición idéntica. Una medida de ohmio hidráulico sería la relación entre la presión hidráulica y el caudal volumétrico hidráulico.

Relación

Para una onda unidimensional que pasa a través de una abertura con área A , el caudal volumétrico acústico Q es el volumen del medio que pasa por segundo a través de la abertura; si el flujo acústico se mueve una distancia d x = v d t , entonces el volumen del medio que pasa es d V = A d x , por lo que: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

Si la onda es unidimensional, produce

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

Impedancia acústica característica

Impedancia acústica específica característica

La ley constitutiva de la acústica lineal no dispersiva en una dimensión da una relación entre el estrés y la deformación: ^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

dónde

• p es la presión acústica en el medio;
• ρ es la densidad de masa volumétrica del medio;
• c es la velocidad de las ondas sonoras que viajan en el medio;
• δ es el desplazamiento de la partícula ;
• x es la variable espacial a lo largo de la dirección de propagación de las ondas sonoras.

Esta ecuación es válida tanto para fluidos como para sólidos.

• fluidos , ρc ² = K ( K representa el módulo volumétrico );
• sólidos , ρc ² = K + 4/3 G ( G representa el módulo de corte ) para ondas longitudinales y ρc ² = G para ondas transversales . ^{[ cita requerida ]}

La segunda ley de Newton aplicada localmente en el medio da: ^[2]

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

Combinando esta ecuación con la anterior se obtiene la ecuación de onda unidimensional :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

El avión ondea

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

que son soluciones de esta ecuación de onda están compuestas por la suma de dos ondas planas progresivas que viajan a lo largo de x con la misma velocidad y en direcciones opuestas : ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

de donde se puede derivar

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Para ondas planas progresivas : ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

o

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

Finalmente, la impedancia acústica específica z es

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^{[ cita requerida ]}

El valor absoluto de esta impedancia acústica específica a menudo se denomina impedancia acústica específica característica y se denota z ₀ : ^[1]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Las ecuaciones también muestran que

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

Efecto de la temperatura

La temperatura actúa sobre la velocidad del sonido y la densidad de masa y, por tanto, sobre la impedancia acústica específica. ^{[ cita requerida ]}

Impedancia acústica característica

Para una onda unidimensional que pasa a través de una abertura con área A , Z = z / A , por lo que si la onda es una onda plana progresiva, entonces: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

El valor absoluto de esta impedancia acústica a menudo se denomina impedancia acústica característica y se denota Z ₀ : ^[1]

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

y la impedancia acústica específica característica es

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

Si la abertura con área A es el comienzo de un tubo y se envía una onda plana a través del tubo, la onda que pasa a través de la abertura es una onda plana progresiva en ausencia de reflexiones, y las reflexiones habituales del otro extremo del tubo, ya sea abierto o cerrado, son la suma de las ondas que viajan de un extremo al otro. ^[3] (Es posible que no haya reflexiones cuando el tubo es muy largo, debido al largo tiempo que tardan las ondas reflejadas en regresar y su atenuación a través de pérdidas en la pared del tubo. ^[3] ) Tales reflexiones y las ondas estacionarias resultantes son muy importantes en el diseño y funcionamiento de los instrumentos musicales de viento. ^[4]

Véase también

• Atenuación acústica
• Bomba de terremoto
• Analogía de impedancia
• Impedancia mecánica

Referencias

1. Kinsler L, Frey A, Coppens A, Sanders J (2000). Fundamentos de acústica . Hoboken: Wiley. ISBN 0-471-84789-5.
2. Attenborough K, Postema M (2008). Una introducción de bolsillo a la acústica. Kingston upon Hull: Universidad de Hull. doi :10.5281/zenodo.7504060. ISBN 978-90-812588-2-1.
3. Rossing TD, Fletcher NH (2004). Principios de vibración y sonido (2.ª ed.). Heidelberg: Springer. ISBN 978-1-4757-3822-3.OCLC 851835364  .
4. Fletcher NH, Rossing TD (1998). La física de los instrumentos musicales (2.ª ed.). Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-21603-4.OCLC 883383570  .

Enlaces externos

• La ecuación de onda del sonido
• ¿Qué es la impedancia acústica y por qué es importante?