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Número imaginario

Un número imaginario es el producto de un número real y la unidad imaginaria i , [nota 1] que se define por su propiedad i 2 = −1 . [1] [2] El cuadrado de un número imaginario bi es − b 2 . Por ejemplo, 5 i es un número imaginario y su cuadrado es −25 . El número cero se considera tanto real como imaginario. [3]

Acuñado originalmente en el siglo XVII por René Descartes [4] como término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó amplia aceptación tras los trabajos de Leonhard Euler (en el siglo XVIII) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss ( a principios del siglo XIX).

Un número imaginario bi se puede sumar a un número real a para formar un número complejo de la forma a + bi , donde los números reales a y b se denominan, respectivamente, parte real y parte imaginaria del número complejo. [5]

Historia

Una ilustración del plano complejo. Los números imaginarios están en el eje de coordenadas vertical.

Aunque el matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría es conocido como el primero en presentar un cálculo que involucra la raíz cuadrada de un número negativo, [6] [7] fue Rafael Bombelli quien estableció por primera vez las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572. El concepto había aparecido impreso anteriormente, como en la obra de Gerolamo Cardano . En ese momento, los números imaginarios y los números negativos no se entendían bien y algunos los consideraban ficticios o inútiles, como lo fue alguna vez el cero. Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de números imaginarios, incluido René Descartes , quien escribió sobre ellos en su La Géométrie en la que acuñó el término imaginario y pretendía que fuera despectivo. [8] [9] El uso de números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta el trabajo de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855). La importancia geométrica de los números complejos como puntos en un plano fue descrita por primera vez por Caspar Wessel (1745-1818). [10]

En 1843, William Rowan Hamilton amplió la idea de un eje de números imaginarios en el plano a un espacio de cuatro dimensiones de imaginarios de cuaterniones en el que tres de las dimensiones son análogas a los números imaginarios en el campo complejo.

Interpretación geométrica

Rotaciones de 90 grados en el plano complejo.

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano de números complejos , lo que permite presentarlos perpendiculares al eje real. Una forma de ver los números imaginarios es considerar una recta numérica estándar que aumenta positivamente en magnitud hacia la derecha y negativamente hacia la izquierda. En 0 en el eje x , se puede dibujar un eje y con una dirección "positiva" hacia arriba ; Los números imaginarios "positivos" aumentan entonces en magnitud hacia arriba, y los números imaginarios "negativos" aumentan en magnitud hacia abajo. Este eje vertical a menudo se denomina "eje imaginario" [11] y se denota como ℑ . [12]

En esta representación, la multiplicación por  i corresponde a una rotación en sentido antihorario de 90 grados alrededor del origen, que es un cuarto de círculo. La multiplicación por  − i corresponde a una rotación de 90 grados en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen. De manera similar, multiplicar por un número puramente imaginario bi , siendo b un número real, provoca una rotación en sentido antihorario alrededor del origen de 90 grados y escala la respuesta en un factor de b . Cuando b < 0 , esto puede describirse como una rotación de 90 grados en el sentido de las agujas del reloj y una escala de | segundo | . [13]

Raíces cuadradas de números negativos.

Se debe tener cuidado al trabajar con números imaginarios que se expresan como los valores principales de las raíces cuadradas de números negativos . [14] Por ejemplo, si x e y son números reales positivos, la siguiente cadena de igualdades parece razonable a primera vista:

Pero el resultado es claramente un disparate. El paso donde se partió la raíz cuadrada fue ilegítimo. (Ver Falacia matemática ).

Ver también

Notas

  1. ^ j se usa generalmente en contextos de ingeniería donde i tiene otros significados (como corriente eléctrica)

Referencias

  1. ^ Uno Ingard, K. (1988). "Capitulo 2". Fundamentos de Ondas y Oscilaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 38.ISBN​ 0-521-33957-X.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Número imaginario". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
  3. ^ Sinha, KC (2008). Un libro de texto de matemáticas clase XI (Segunda ed.). Publicaciones Rastogi. pag. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
  4. ^ Giaquinta, Mariano; Módica, Giuseppe (2004). Análisis matemático: aproximación y procesos discretos (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 121.ISBN​ 978-0-8176-4337-9.Extracto de la página 121
  5. ^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nación, Richard (2009). Álgebra universitaria: edición mejorada (6ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 66.ISBN​ 978-1-4390-4379-0.
  6. ^ Hargittai, István (1992). Simetría quíntuple (2 ed.). Científico mundial. pag. 153.ISBN​ 981-02-0600-3.
  7. ^ Roy, Stephen Campbell (2007). Números complejos: simulación reticular y aplicaciones de función zeta. Horwood. pag. 1.ISBN​ 978-1-904275-25-1.
  8. ↑ Descartes, René , Discours de la méthode (Leiden, (Países Bajos): Jan Maire, 1637), libro adjunto: La Géométrie , libro tres, p. 380. De la página 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu 'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3 – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplicate en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Además, tanto las raíces verdaderas como las [raíces] falsas no siempre son reales; sino a veces sólo [cantidades] imaginarias; es decir, siempre se pueden imaginar tantas de ellas en cada ecuación como dije; pero hay a veces no hay cantidad que corresponda a lo que se imagina, así como aunque se pueden imaginar tres de ellas en esta [ecuación], x 3 – 6xx + 13x – 10 = 0, sólo una de ellas sin embargo es real, que es 2, y con respecto las otras dos, aunque se las aumente, o las disminuya, o las multiplique de la manera que acabo de explicar, no se podrían hacer más que [cantidades] imaginarias).
  9. ^ Martínez, Albert A. (2006), Matemáticas negativas: cómo se pueden doblar positivamente las reglas matemáticas , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, analiza las ambigüedades de significado en expresiones imaginarias en un contexto histórico.
  10. ^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Capítulo 10". Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico . Saltador. pag. 382.ISBN​ 0-387-96458-4.
  11. ^ von Meier, Alexandra (2006). Sistemas de energía eléctrica: una introducción conceptual. John Wiley e hijos . págs. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Consultado el 13 de enero de 2022 .
  12. ^ Webb, Stephen (2018). "5. Marcas sin sentido en el papel". Choque de símbolos: un paseo por las riquezas de los glifos . Springer Ciencia + Medios comerciales . págs. 204-205. doi :10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.
  13. ^ Kuipers, JB (1999). Cuaterniones y secuencias de rotación: introducción con aplicaciones a órbitas, aeroespacial y realidad virtual. Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 10-11. ISBN 0-691-10298-8. Consultado el 13 de enero de 2022 .
  14. ^ Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: la historia de "i" [la raíz cuadrada de menos uno]. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 12.ISBN​ 978-1-4008-3029-9.Extracto de la página 12

Bibliografía

enlaces externos

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