En matemáticas , la conjetura n ! es la conjetura de que la dimensión de un cierto módulo bigradado de armónicos diagonales es n !. Fue formulada por AM Garsia y M. Haiman y luego demostrada por M. Haiman . Implica la conjetura de positividad de Macdonald sobre los polinomios de Macdonald .
Los polinomios de Macdonald son una familia de dos parámetros de polinomios ortogonales indexados por un peso positivo λ de un sistema de raíces , introducidos por Ian G. Macdonald (1987). Generalizan varias otras familias de polinomios ortogonales, como los polinomios de Jack y los polinomios de Hall-Littlewood . Se sabe que tienen profundas relaciones con las álgebras afines de Hecke y los esquemas de Hilbert , que se utilizaron para probar varias conjeturas hechas por Macdonald sobre ellos.
Macdonald (1988) introdujo una nueva base para el espacio de funciones simétricas , que se especializa en muchas de las bases bien conocidas para las funciones simétricas, mediante sustituciones adecuadas para los parámetros q y t .
De hecho, podemos obtener de esta manera las funciones de Schur , las funciones simétricas de Hall-Littlewood, las funciones simétricas de Jack, las funciones simétricas zonales, las funciones esféricas zonales y las funciones simétricas elementales y monomiales.
Los denominados polinomios de Kostka q , t son los coeficientes de una matriz de transición resultante . Macdonald conjeturó que son polinomios en q y t , con coeficientes enteros no negativos .
Fue idea de Adriano Garsia construir un módulo apropiado para demostrar la positividad (como se hizo en su trabajo conjunto previo con Procesi sobre la positividad de Schur de los polinomios de Kostka-Foulkes ).
En un intento de probar la conjetura de Macdonald, Garsia y Haiman (1993) introdujeron el módulo bigradado de armónicos diagonales y conjeturaron que los polinomios de Macdonald (modificados) son la imagen de Frobenius de la función generadora de caracteres de H μ , bajo la acción diagonal del grupo simétrico .
La prueba de la conjetura de Macdonald se redujo entonces a la conjetura n !; es decir, demostrar que la dimensión de H μ es n !. En 2001, Haiman demostró que la dimensión es efectivamente n ! (véase [4]).
Este avance condujo al descubrimiento de muchas conexiones ocultas y nuevos aspectos de la teoría de representación de grupos simétricos , así como objetos combinatorios (por ejemplo, tablas de inserción, números de inversión de Haglund y el papel de las funciones de estacionamiento en la teoría de la representación ).
