En la teoría cuántica de campos , un modelo σ no lineal describe un campo escalar Σ que toma valores en una variedad no lineal llamada variedad objetivo T. El modelo σ no lineal fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960, sección 6), quienes lo nombraron en honor a un campo correspondiente a un mesón sin espín llamado σ en su modelo. [1] Este artículo trata principalmente de la cuantificación del modelo sigma no lineal; consulte el artículo base sobre el modelo sigma para obtener definiciones generales y formulaciones y resultados clásicos (no cuánticos).
La variedad objetivo T está equipada con una métrica de Riemann g . Σ es una función diferenciable del espacio de Minkowski M (o algún otro espacio) a T .
La densidad lagrangiana en forma quiral contemporánea [2] está dada por
donde hemos utilizado una firma métrica + − − − y la derivada parcial ∂Σ viene dada por una sección del haz jet de T × M y V es el potencial.
En la notación de coordenadas, con las coordenadas Σ a , a = 1, ..., n donde n es la dimensión de T ,
En más de dos dimensiones, los modelos σ no lineales contienen una constante de acoplamiento dimensional y, por lo tanto, no son renormalizables de forma perturbativa. Sin embargo, presentan un punto fijo ultravioleta no trivial del grupo de renormalización tanto en la formulación reticular [3] [4] como en la doble expansión propuesta originalmente por Kenneth G. Wilson . [5]
En ambos enfoques, el punto fijo del grupo de renormalización no trivial encontrado para el modelo O(n) -simétrico se ve que simplemente describe, en dimensiones mayores que dos, el punto crítico que separa la fase ordenada de la desordenada. Además, las predicciones mejoradas de la teoría de la red o de la teoría cuántica de campos se pueden comparar con experimentos de laboratorio sobre fenómenos críticos , ya que el modelo O(n) describe ferroimanes físicos de Heisenberg y sistemas relacionados. Los resultados anteriores apuntan, por lo tanto, a un fracaso de la teoría de perturbaciones ingenua en la descripción correcta del comportamiento físico del modelo O(n) -simétrico por encima de dos dimensiones, y a la necesidad de métodos no perturbativos más sofisticados, como la formulación de red.
Esto significa que sólo pueden surgir como teorías de campo efectivas . Se necesita nueva física en torno a la escala de distancia donde la función de correlación conectada entre dos puntos es del mismo orden que la curvatura de la variedad objetivo. Esto se llama la completitud UV de la teoría. Hay una clase especial de modelos σ no lineales con el grupo de simetría interna G *. Si G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie , entonces el espacio cociente G / H es una variedad (sujeto a ciertas restricciones técnicas como que H es un subconjunto cerrado) y también es un espacio homogéneo de G o, en otras palabras, una realización no lineal de G. En muchos casos, G / H puede estar equipado con una métrica de Riemann que es G -invariante. Este es siempre el caso, por ejemplo, si G es compacto . Un modelo σ no lineal con G/H como variedad objetivo con una métrica de Riemann invariante G y un potencial cero se llama modelo σ no lineal de espacio cociente (o espacio de coconjunto) .
Al calcular integrales de trayectoria , la medida funcional debe "ponderarse" por la raíz cuadrada del determinante de g ,
Este modelo resultó ser relevante en la teoría de cuerdas, donde la variedad bidimensional se denomina hoja del mundo . Daniel Friedan apreció su renormalizabilidad generalizada . [6] Demostró que la teoría admite una ecuación de grupo de renormalización, en el orden principal de la teoría de perturbaciones, en la forma
Siendo R ab el tensor de Ricci de la variedad objetivo.
Esto representa un flujo de Ricci , que obedece las ecuaciones de campo de Einstein para la variedad objetivo como un punto fijo. La existencia de dicho punto fijo es relevante, ya que garantiza, en este orden de teoría de perturbación, que la invariancia conforme no se pierde debido a las correcciones cuánticas, de modo que la teoría cuántica de campos de este modelo es sensible (renormalizable).
Además, la adición de interacciones no lineales que representan anomalías quirales de sabor da como resultado el modelo Wess-Zumino-Witten , [7] que aumenta la geometría del flujo para incluir torsión , preservando la capacidad de renormalización y conduciendo también a un punto fijo infrarrojo , debido al teleparalelismo ("geometrostasis"). [8]
Un ejemplo célebre, de particular interés debido a sus propiedades topológicas, es el modelo σ no lineal O(3) en 1 + 1 dimensiones, con la densidad lagrangiana
donde n̂ =( n 1 , n 2 , n 3 ) con la restricción n̂ ⋅ n̂ =1 y μ =1,2.
Este modelo permite soluciones topológicas de acción finita, ya que en el espacio-tiempo infinito la densidad lagrangiana debe anularse, lo que significa que n̂ = constante en el infinito. Por lo tanto, en la clase de soluciones de acción finita, se pueden identificar los puntos en el infinito como un único punto, es decir, que el espacio-tiempo se puede identificar con una esfera de Riemann .
Dado que el campo n̂ también vive en una esfera, se evidencia la aplicación S 2 → S 2 , cuyas soluciones se clasifican por el segundo grupo de homotopía de una 2-esfera: Estas soluciones se denominan Instantones O(3) .
Este modelo también se puede considerar en 1+2 dimensiones, donde la topología ahora proviene solo de las porciones espaciales. Estas se modelan como R^2 con un punto en el infinito y, por lo tanto, tienen la misma topología que los instantones O(3) en 1+1 dimensiones. Se denominan bultos del modelo sigma.
