En matemáticas , las propiedades que se cumplen para ejemplos "típicos" se denominan propiedades genéricas . Por ejemplo, una propiedad genérica de una clase de funciones es una que es verdadera para "casi todas" esas funciones, como en las afirmaciones "Un polinomio genérico no tiene una raíz en cero" o "Una matriz cuadrada genérica es invertible ". Como otro ejemplo, una propiedad genérica de un espacio es una propiedad que se cumple en "casi todos" los puntos del espacio, como en la afirmación "Si f : M → N es una función suave entre variedades suaves , entonces un punto genérico de N no es un valor crítico de f ". (Esto se debe al teorema de Sard ).
Existen muchas nociones diferentes de "genérico" (lo que se entiende por "casi todo") en matemáticas, con nociones duales correspondientes de "casi ninguno" ( conjunto insignificante ); las dos clases principales son:
Hay varios ejemplos naturales en los que esas nociones no son iguales. [1] Por ejemplo, el conjunto de números de Liouville es genérico en el sentido topológico, pero tiene medida de Lebesgue cero. [2]
En teoría de la medida , una propiedad genérica es aquella que se cumple casi en todas partes . El concepto dual es un conjunto nulo , es decir, un conjunto de medida cero.
En probabilidad, una propiedad genérica es un evento que ocurre casi con seguridad , es decir, que ocurre con una probabilidad de 1. Por ejemplo, la ley de los grandes números establece que la media de la muestra converge casi con seguridad a la media de la población. Esta es la definición en el caso de la teoría de la medida especializada en un espacio de probabilidad.
En matemáticas discretas , se utiliza el término casi todos para significar cofinito (todos excepto un número finito), cocontable (todos excepto un número contable), para números suficientemente grandes o, a veces, asintóticamente casi con seguridad . El concepto es particularmente importante en el estudio de grafos aleatorios .
En topología y geometría algebraica , una propiedad genérica es aquella que se cumple en un conjunto abierto denso , o más generalmente en un conjunto residual (una intersección contable de conjuntos abiertos densos), siendo el concepto dual un conjunto denso cerrado en ninguna parte , o más generalmente un conjunto magro (una unión contable de conjuntos cerrados densos en ninguna parte).
Sin embargo, la densidad por sí sola no es suficiente para caracterizar una propiedad genérica. Esto se puede ver incluso en los números reales , donde tanto los números racionales como su complemento, los números irracionales, son densos. Dado que no tiene sentido decir que tanto un conjunto como su complemento exhiben un comportamiento típico, tanto los racionales como los irracionales no pueden ser ejemplos de conjuntos lo suficientemente grandes como para ser típicos. En consecuencia, nos basamos en la definición más fuerte anterior que implica que los irracionales son típicos y los racionales no.
Para las aplicaciones, si una propiedad se cumple en un conjunto residual , puede que no se cumpla para cada punto, pero perturbarla levemente generalmente dejará a uno dentro del conjunto residual (por ninguna densidad de los componentes del magro conjunto), y estos son, por lo tanto, los casos más importantes a abordar en teoremas y algoritmos.
Una propiedad es genérica en C r si el conjunto que contiene esta propiedad contiene un subconjunto residual en la topología C r . Aquí C r es el espacio de funciones cuyos miembros son funciones continuas con r derivadas continuas desde una variedad M hasta una variedad N .
El espacio C r ( M , N ), de las aplicaciones de C r entre M y N , es un espacio de Baire , por lo tanto cualquier conjunto residual es denso . Esta propiedad del espacio de funciones es lo que hace que las propiedades genéricas sean típicas .
Se dice que una propiedad de una variedad algebraica irreducible X es verdadera genéricamente si se cumple excepto en un subconjunto Zariski-cerrado propio de X , en otras palabras, si se cumple en un subconjunto Zariski-abierto no vacío. Esta definición concuerda con la topológica anterior, porque para las variedades algebraicas irreducibles cualquier conjunto abierto no vacío es denso.
Por ejemplo, según el criterio jacobiano de regularidad, un punto genérico de una variedad sobre un cuerpo de característica cero es suave. (Esta afirmación se conoce como suavidad genérica ). Esto es cierto porque el criterio jacobiano se puede utilizar para encontrar ecuaciones para los puntos que no son suaves: son exactamente los puntos donde la matriz jacobiana de un punto de X no tiene rango completo. En la característica cero, estas ecuaciones no son triviales, por lo que no pueden ser verdaderas para cada punto de la variedad. En consecuencia, el conjunto de todos los puntos no regulares de X es un subconjunto propio de X cerrado por Zariski .
He aquí otro ejemplo. Sea f : X → Y una función regular entre dos variedades algebraicas. Para cada punto y de Y , considérese la dimensión de la fibra de f sobre y , es decir, dim f −1 ( y ). Genéricamente, este número es constante. No es necesariamente constante en todas partes. Si, por ejemplo, X es la ampliación de Y en un punto y f es la proyección natural, entonces la dimensión relativa de f es cero excepto en el punto que se amplía, donde es dim Y - 1.
Se dice que algunas propiedades se cumplen de manera muy genérica . Con frecuencia, esto significa que el cuerpo fundamental es incontable y que la propiedad es verdadera excepto en una unión contable de subconjuntos Zariski-cerrados apropiados (es decir, la propiedad se cumple en un conjunto G δ denso ). Por ejemplo, esta noción de muy genérico aparece cuando se considera la conectividad racional . Sin embargo, otras definiciones de muy genérico pueden aparecer y aparecen en otros contextos.
En geometría algebraica , un punto genérico de una variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas no satisfacen ninguna otra relación algebraica que las satisfechas por cada punto de la variedad. Por ejemplo, un punto genérico de un espacio afín sobre un cuerpo k es un punto cuyas coordenadas son algebraicamente independientes sobre k .
En la teoría de esquemas , donde los puntos son las subvariedades, un punto genérico de una variedad es un punto cuyo cierre para la topología de Zariski es la variedad completa.
Una propiedad genérica es una propiedad del punto genérico. Para cualquier propiedad razonable, resulta que la propiedad es verdadera genéricamente en la subvariedad (en el sentido de ser verdadera en un subconjunto denso abierto) si y solo si la propiedad es verdadera en el punto genérico. Tales resultados se prueban frecuentemente utilizando los métodos de límites de esquemas afines desarrollados en EGA IV 8.
Un concepto relacionado en la geometría algebraica es el de posición general , cuyo significado preciso depende del contexto. Por ejemplo, en el plano euclidiano, tres puntos en posición general no son colineales . Esto se debe a que la propiedad de no ser colineales es una propiedad genérica del espacio de configuración de tres puntos en R 2 .
En computabilidad y aleatoriedad algorítmica , una cadena infinita de números naturales se denomina 1-genérica si, para cada conjunto ce , tiene un segmento inicial en , o tiene un segmento inicial tal que cada extensión no está en W. Los 1-genéricos son importantes en computabilidad, ya que muchas construcciones se pueden simplificar considerando un 1-genérico apropiado. [3] Algunas propiedades clave son:
La 1-genericidad está relacionada con la noción topológica de "genérico", como sigue. El espacio de Baire tiene una topología con conjuntos abiertos básicos para cada cadena finita de números naturales . Entonces, un elemento es 1-genérico si y solo si no está en el límite de ningún conjunto abierto. En particular, se requiere que los 1-genéricos cumplan con cada conjunto abierto denso (aunque esta es una propiedad estrictamente más débil, llamada débilmente 1-genérico ).
![{\displaystyle [\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cde123c685bae9ad3c2d4dde21f6aa2205e81e)
