Topologías de Whitney

Topologías definidas en el conjunto de mapeos suaves entre variedades

En matemáticas, y especialmente en topología diferencial , análisis funcional y teoría de singularidades , las topologías de Whitney son una familia infinitamente numerable de topologías definidas sobre el conjunto de aplicaciones suaves entre dos variedades suaves . Su nombre se debe al matemático estadounidense Hassler Whitney .

Construcción

Sean M y N dos variedades reales y suaves. Además, sea C ∞ ( M , N ) el espacio de aplicaciones suaves entre M y N . La notación C ^∞ significa que las aplicaciones son infinitamente diferenciables, es decir, existen derivadas parciales de todos los órdenes y son continuas . ^[1]

Whitney Ca-topología

Para algún entero k ≥ 0 , sea J ^k ( M , N ) el espacio de jets k de las aplicaciones entre M y N . El espacio de jets puede estar dotado de una estructura suave (es decir, una estructura como una variedad C ^∞ ) que lo convierte en un espacio topológico. Esta topología se utiliza para definir una topología en C ^∞ ( M , N ).

Para un entero fijo k ≥ 0 considérese un subconjunto abierto U ⊂ J ^k ( M , N ), y denotemos por S ^k ( U ) lo siguiente:

${\displaystyle S^{k}(U)=\{f\in C^{\infty }(M,N):(J^{k}f)(M)\subseteq U\}.}$

Los conjuntos S ^k ( U ) forman una base para la topología C ^k de Whitney en C ^∞ ( M , N ). ^[2]

Whitney C∞-topología

Para cada elección de k ≥ 0 , la topología C ^{k de Whitney da una topología para C ∞} ( M , N ); en otras palabras, la topología C ^k de Whitney nos dice qué subconjuntos de C ^∞ ( M , N ) son conjuntos abiertos. Denotemos por W ^k el conjunto de subconjuntos abiertos de C ^∞ ( M , N ) con respecto a la topología C ^k de Whitney . Entonces, la topología C ^∞ de Whitney se define como la topología cuya base está dada por W , donde: ^[2]

${\displaystyle W=\bigcup _{k=0}^{\infty }W^{k}.}$

Dimensionalidad

Nótese que C ^∞ ( M , N ) tiene dimensión infinita, mientras que J ^k ( M , N ) tiene dimensión finita. De hecho, J ^k ( M , N ) es una variedad real de dimensión finita. Para ver esto, sea ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] el espacio de polinomios , con coeficientes reales, en m variables de orden k como máximo y con cero como término constante. Este es un espacio vectorial real con dimensión

${\displaystyle \dim \left\{\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}]\right\}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(m+i-1)!}{(m-1)!\cdot i!}}=\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

Escribiendo a = dim{ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] } entonces, según la teoría estándar de espacios vectoriales ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] ≅ ℝ ^a , y por lo tanto es una variedad real de dimensión finita. A continuación, definamos:

${\displaystyle B_{m,n}^{k}=\bigoplus _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}],\implies \dim \left\{B_{m,n}^{k}\right\}=n\dim \left\{A_{m}^{k}\right\}=n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

Usando b para denotar la dimensión B ^k _{m , n} , vemos que B ^k _{m , n} ≅ ℝ ^b , y por lo tanto es una variedad real de dimensión finita.

De hecho, si M y N tienen dimensión m y n respectivamente entonces: ^[3]

${\displaystyle \dim \!\left\{J^{k}(M,N)\right\}=m+n+\dim \!\left\{B_{n,m}^{k}\right\}=m+n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}\right).}$

Topología

Dada la topología C ^∞ de Whitney , el espacio C ^∞ ( M , N ) es un espacio de Baire , es decir, todo conjunto residual es denso . ^[4]

Referencias

1. Golubitsky, M .; Guillemin, V. (1974), Aplicaciones estables y sus singularidades , Springer, pág. 1, ISBN 0-387-90072-1
2. Golubitsky y Guillemin (1974), pág. 42.
3. Golubitsky y Guillemin (1974), pág. 40.
4. Golubitsky y Guillemin (1974), pág. 44.