Esquema noetheriano

Concepto en geometría algebraica

En geometría algebraica , un esquema noetheriano es un esquema que admite una cobertura finita por subconjuntos afines abiertos , donde cada uno es un anillo noetheriano . De manera más general, un esquema es localmente noetheriano si está cubierto por espectros de anillos noetherianos. Por lo tanto, un esquema es noetheriano si y solo si es localmente noetheriano y compacto . Al igual que con los anillos noetherianos, el concepto recibe su nombre de Emmy Noether . ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Se puede demostrar que, en un esquema localmente noetheriano, si  es un subconjunto afín abierto, entonces A es un anillo noetheriano; en particular, es un esquema noetheriano si y solo si A es un anillo noetheriano. Para un esquema localmente noetheriano X, los anillos locales también son anillos noetherianos. ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Un esquema noetheriano es un espacio topológico noetheriano . Pero la inversa es falsa en general; considérese, por ejemplo, el espectro de un anillo de valoración no noetheriano .

Las definiciones se extienden a los esquemas formales .

Propiedades e hipótesis noetherianas

Tener una hipótesis noetheriana (localmente) para una afirmación sobre esquemas generalmente hace que muchos problemas sean más accesibles porque rigidizan suficientemente muchas de sus propiedades.

Desvissage (deshacer)

Uno de los teoremas de estructura más importantes sobre anillos y esquemas noetherianos es el teorema de desvío . Este permite descomponer argumentos sobre haces coherentes en argumentos inductivos. Dada una secuencia corta y exacta de haces coherentes

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$

Probar que uno de los haces tiene alguna propiedad es equivalente a probar que los otros dos tienen la propiedad. En particular, dado un haz coherente fijo y un haz subcoherente , demostrar que tiene alguna propiedad se puede reducir a observar y . Dado que este proceso solo se puede aplicar de manera no trivial un número finito de veces, esto hace posibles muchos argumentos de inducción. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'}$

Número de componentes irreducibles

Todo esquema noetheriano sólo puede tener un número finito de componentes. ^[1]

Los morfismos de los esquemas noetherianos son cuasi compactos

Todo morfismo de un esquema noetheriano es cuasi-compacto . ^[2] ${\displaystyle X\to S}$

Propiedades homológicas

Hay muchas propiedades homológicas interesantes de los esquemas noetherianos. ^[3]

Cohomología de Čech y de haz

La cohomología de Čech y la cohomología de haces coinciden en una cobertura abierta afín. Esto permite calcular la cohomología de haces utilizando la cohomología de Čech para la cobertura abierta estándar. ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$

Compatibilidad de los colimites con la cohomología

Dado un sistema directo de haces de grupos abelianos en un esquema noetheriano, existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })}$

es decir los funtores

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}}$

preservar los límites directos y coproductos.

Imagen directa derivada

Dado un morfismo de tipo localmente finito para un esquema noetheriano y un complejo de haces con cohomología coherente acotada tal que los haces tienen soporte adecuado sobre , entonces el empuje hacia delante derivado tiene cohomología coherente acotada sobre , lo que significa que es un objeto en . ^[4] ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$

Ejemplos

La mayoría de los esquemas de interés son esquemas noetherianos.

Localmente de tipo finito sobre una base noetheriana

Otra clase de ejemplos de esquemas noetherianos ^[5] son ​​familias de esquemas donde la base es noetheriana y es de tipo finito sobre . Esto incluye muchos ejemplos, como los componentes conexos de un esquema de Hilbert , es decir, con un polinomio de Hilbert fijo. Esto es importante porque implica que muchos espacios de módulos encontrados en la naturaleza son noetherianos, como los módulos de curvas algebraicas y los módulos de fibrados vectoriales estables. Además, esta propiedad se puede utilizar para mostrar que muchos esquemas considerados en geometría algebraica son de hecho noetherianos. ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Variedades cuasi-proyectivas

En particular, las variedades cuasi-proyectivas son los esquemas noetherianos. Esta clase incluye curvas algebraicas , curvas elípticas , variedades abelianas , esquemas de Calabi-Yau , variedades de Shimura , superficies K3 y superficies cúbicas . Básicamente, todos los objetos de la geometría algebraica clásica encajan en esta clase de ejemplos.

Deformaciones infinitesimales de esquemas noetherianos

En particular, las deformaciones infinitesimales de los esquemas noetherianos son nuevamente noetherianas. Por ejemplo, dada una curva , cualquier deformación es también un esquema noetheriano. Una torre de tales deformaciones puede utilizarse para construir esquemas noetherianos formales. ${\displaystyle C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))}$

No-ejemplos

Esquemas sobre bases adélicas

Uno de los anillos naturales que no son noetherianos es el anillo de Adeles para un cuerpo de números algebraicos . Para tratar con tales anillos, se considera una topología, dando como resultado anillos topológicos . Existe una noción de geometría algebraica sobre tales anillos desarrollada por Weil y Alexander Grothendieck . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle K}$

Anillos de números enteros sobre extensiones infinitas

Dada una extensión infinita del cuerpo de Galois , tal como (al unir todas las raíces de la unidad), el anillo de números enteros es un anillo no noetheriano que tiene una dimensión . Esto rompe la intuición de que los esquemas de dimensión finita son necesariamente noetherianos. Además, este ejemplo proporciona una motivación para explicar por qué estudiar esquemas sobre una base no noetheriana; es decir, esquemas , puede ser un tema interesante y fructífero. ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})}$

Un caso especial ^{[7] pág. 93} de tal extensión es tomar la extensión no ramificada máxima y considerar el anillo de números enteros . El morfismo inducido ${\displaystyle K^{ur}/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K^{ur}}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

forma la cubierta universal de . ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

Anillo polinomial con infinitos generadores

Otro ejemplo de un esquema de dimensión finita no noetheriano (de hecho, de dimensión cero) lo da el siguiente cociente de un anillo polinomial con infinitos generadores.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}}$

Véase también

• Excelente anillo , ligeramente más rígido que los anillos noetherianos, pero con mejores propiedades.
• Teorema de Chevalley sobre conjuntos construibles
• Teorema principal de Zariski
• Complejo dualizante
• Teorema de compactificación de Nagata

Referencias

1. "Lema 28.5.7 (0BA8)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
2. "Lema 28.5.8 (01P0)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
3. "Cohomología de haces" (PDF) .
4. "Lema 36.10.3 (08E2)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
5. "Lema 29.15.6 (01T6)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
6. Conrad, Brian. "Aproximaciones de Weil y Grothendieck a los puntos Adelic" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 21 de julio de 2018.
7. Neukirch, Jürgen (1999). "1.13". Teoría algebraica de números. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0.OCLC 851391469  .

• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 52. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90244-9.MR  0463157.Zbl 0367.14001  .​
• Harder, Günter . «Cohomología de grupos aritméticos» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de julio de 2020.
• Danilov, VI (2001) [1994], "Esquema noetheriano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press