La dualidad de Verdier

En matemáticas , la dualidad de Verdier es una dualidad cohomológica en topología algebraica que generaliza la dualidad de Poincaré para variedades . La dualidad de Verdier fue introducida en 1965 por Jean-Louis Verdier  (1965) como un análogo para espacios topológicos localmente compactos de la teoría de la dualidad de Poincaré de Alexander Grothendieck en cohomología étale para esquemas en geometría algebraica . Es por lo tanto (junto con la mencionada teoría étale y por ejemplo la dualidad coherente de Grothendieck ) un ejemplo del formalismo de seis operaciones de Grothendieck.

La dualidad de Verdier generaliza la dualidad clásica de Poincaré de variedades en dos direcciones: se aplica a aplicaciones continuas de un espacio a otro (reduciendo al caso clásico de la aplicación única de una variedad a un espacio de un punto), y se aplica a espacios que no son variedades debido a la presencia de singularidades. Se encuentra comúnmente al estudiar haces construibles o perversos .

La dualidad de Verdier

La dualidad de Verdier establece que (sujeto a las condiciones de finitud adecuadas que se analizan a continuación) ciertos funtores de imagen derivados para haces son en realidad funtores adjuntos . Existen dos versiones.

La dualidad global de Verdier establece que para una función continua de espacios de Hausdorff localmente compactos, el funtor derivado de la imagen directa con soportes compactos (o propios) tiene un adjunto derecho en la categoría derivada de haces , en otras palabras, para (complejos de) haces (de grupos abelianos) y así sucesivamente tenemos ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$ ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).}$

La dualidad local de Verdier establece que

${\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})}$

en la categoría derivada de haces en Y . Es importante notar que la distinción entre las versiones global y local es que la primera relaciona morfismos entre complejos de haces en las categorías derivadas, mientras que la última relaciona complejos internos de Hom y por lo tanto puede evaluarse localmente. Tomar secciones globales de ambos lados en el enunciado local da la dualidad global de Verdier.

Estos resultados se cumplen si el funtor de imagen directa con soporte compacto tiene una dimensión cohomológica finita. Este es el caso si existe un límite tal que la cohomología con soporte compacto se anula para todas las fibras (donde ) y . Esto se cumple si todas las fibras son variedades de dimensión máxima o, más generalmente, complejos CW de dimensión máxima . ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle d\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle r>d}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

La discusión anterior trata sobre categorías derivadas de haces de grupos abelianos. En cambio, es posible considerar un anillo y (categorías derivadas de) haces de -módulos; el caso anterior corresponde a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbf {Z} }$

El complejo dualizante se define como ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),}$

donde p es la función de a un punto. Parte de lo que hace que la dualidad de Verdier sea interesante en el contexto singular es que cuando no es una variedad (un grafo o una variedad algebraica singular, por ejemplo), entonces el complejo dualizante no es cuasi-isomorfo a un haz concentrado en un solo grado. Desde esta perspectiva, la categoría derivada es necesaria en el estudio de espacios singulares. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio localmente compacto de dimensión finita, y la categoría derivada acotada de haces de grupos abelianos sobre , entonces el dual de Verdier es un funtor contravariante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).}$

Tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle D^{2}({\mathcal {F}})\cong {\mathcal {F}}}$para haces con cohomología construible.
• (Entrelazamiento de funtores y ). Si es una función continua de a , entonces existe un isomorfismo ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

  ${\displaystyle D(Rf_{!}({\mathcal {F}}))\cong Rf_{\ast }D({\mathcal {F}})}$.

Relación con la dualidad clásica de Poincaré

La dualidad de Poincaré puede derivarse como un caso especial de la dualidad de Verdier. Aquí se calcula explícitamente la cohomología de un espacio utilizando la maquinaria de la cohomología de haces .

Supóngase que X es una variedad n -dimensional orientable y compacta, k es un cuerpo y es el haz constante en X con coeficientes en k . Sea la función constante en un punto. La dualidad global de Verdier establece entonces ${\displaystyle k_{X}}$ ${\displaystyle f=p}$

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}$

Para entender cómo se obtiene la dualidad de Poincaré a partir de esta afirmación, tal vez sea más fácil entender ambos lados pieza por pieza.

${\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )}$

sea ​​una resolución inyectiva del haz constante. Entonces, por hechos estándar sobre funtores derivados a la derecha

${\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })}$

es un complejo cuya cohomología es la cohomología de soporte compacto de X . Dado que los morfismos entre complejos de haces (o espacios vectoriales) forman ellos mismos un complejo, encontramos que

${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0}$

donde el último término distinto de cero está en grado 0 y los de la izquierda están en grado negativo. Los morfismos en la categoría derivada se obtienen a partir de la categoría de homotopía de complejos de cadenas de haces tomando la cohomología cero del complejo, es decir

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}$

Para el otro lado de la afirmación de dualidad de Verdier anterior, tenemos que dar por sentado el hecho de que cuando X es una variedad n -dimensional compacta y orientable

${\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}$

que es el complejo dualizante para una variedad. Ahora podemos reexpresar el lado derecho como

${\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}$

Finalmente hemos obtenido la declaración de que

${\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}$

Repitiendo este argumento con el haz k _X reemplazado por el mismo haz colocado en el grado i obtenemos la dualidad clásica de Poincaré

${\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}$

Véase también

• Dualidad de Poincaré
• Seis operaciones
• Dualidad coherente
• Categoría derivada

Referencias

• Borel, Armand (1984), Cohomología de intersección , Progress in Mathematics, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3274-8
• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Álgebra homológica , Berlín: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
• Grothendieck, Alexandre (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 589, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+484, ISBN 978-3-540-08248-4, Exposés I y II contienen la teoría correspondiente en la situación étale
• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, Sr.  0842190
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002), Gavillas sobre colectores , Berlín: Springer , ISBN 3540518614
• Verdier, Jean-Louis (1965), "Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts", Séminaire Bourbaki, vol. 9, París: Société Mathématique de France , págs. Exp. Núm. 300, 337–349, ISBN 978-2-85629-042-2, Sr.  1610971