Seis operaciones

Formalismo en el álgebra homológica

En matemáticas , las seis operaciones de Grothendieck , llamadas así por Alexander Grothendieck , son un formalismo en álgebra homológica , también conocido como formalismo de seis funtores . ^[1] Originalmente surgió de las relaciones en cohomología étale que surgen de un morfismo de esquemas f  : X → Y . La idea básica era que muchos de los hechos elementales que relacionaban la cohomología en X e Y eran consecuencias formales de un pequeño número de axiomas. Estos axiomas se cumplen en muchos casos completamente sin relación con el contexto original y, por lo tanto, las consecuencias formales también se cumplen. Desde entonces, se ha demostrado que el formalismo de las seis operaciones se aplica a contextos como los D -módulos en variedades algebraicas , los haces en espacios topológicos localmente compactos y los motivos .

Las operaciones

Las operaciones son seis funtores . Por lo general, se trata de funtores entre categorías derivadas y, por lo tanto, son funtores derivados izquierdo y derecho .

• La imagen directa ${\displaystyle f_{*}}$
• La imagen inversa ${\displaystyle f^{*}}$
• La imagen directa apropiada (o extraordinaria) ${\displaystyle f_{!}}$
• La imagen inversa propia (o extraordinaria) ${\displaystyle f^{!}}$
• producto tensorial interno
• Hogar interno

Los funtores y forman un par de funtores adjuntos , como lo hacen y . ^[2] De manera similar, el producto tensorial interno es adjunto por izquierda al Hom interno. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f^{!}}$

Seis operaciones en cohomología étale.

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas. El morfismo f induce varios funtores. En concreto, da funtores adjuntos y entre las categorías de haces en X e Y , y da el funtor de imagen directa con soporte propio. En la categoría derivada , Rf _! admite un adjunto derecho . Por último, cuando se trabaja con haces abelianos, hay un funtor producto tensorial ⊗ y un funtor interno Hom , y estos son adjuntos. Las seis operaciones son los funtores correspondientes en la categoría derivada: Lf ^* , Rf _* , Rf _! , f ^! , ⊗ ^L , y RHom . ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f^{!}}$

Supongamos que nos limitamos a una categoría de haces de torsión -ádicos, donde es coprimo con la característica de X y de Y . En SGA 4 III, Grothendieck y Artin demostraron que si f es suave de dimensión relativa d , entonces es isomorfo a f ^! (− d )[−2 d ] , donde (− d ) denota el d ésimo giro de Tate inverso y [−2 d ] denota un desplazamiento de grado por −2 d . Además, supongamos que f está separada y es de tipo finito. Si g  : Y ′ → Y es otro morfismo de esquemas, si X ′ denota el cambio de base de X por g , y si f ′ y g ′ denotan los cambios de base de f y g por g y f , respectivamente, entonces existen isomorfismos naturales: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle Lf^{*}}$

${\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},}$

${\displaystyle Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.}$

Suponiendo nuevamente que f está separada y es de tipo finito, para cualesquiera objetos M en la categoría derivada de X y N en la categoría derivada de Y , existen isomorfismos naturales:

${\displaystyle (Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),}$

${\displaystyle \operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),}$

${\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}$

Si i es una inmersión cerrada de Z en S con inmersión abierta complementaria j , entonces hay un triángulo distinguido en la categoría derivada:

${\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],}$

donde las dos primeras aplicaciones son la counidad y la unidad, respectivamente, de las adjunciones. Si Z y S son regulares, entonces hay un isomorfismo:

${\displaystyle 1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},}$

donde 1 _Z y 1 _S son las unidades de las operaciones del producto tensorial (que varían dependiendo de qué categoría de poleas de torsión -ádicas se esté considerando). ${\displaystyle \ell }$

Si S es regular y g  : X → S , y si K es un objeto invertible en la categoría derivada en S con respecto a ⊗ ^L , entonces definamos D _X como el funtor RHom(—, g ^! K ) . Entonces, para los objetos M y M ′ en la categoría derivada en X , las funciones canónicas:

${\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}$

son isomorfismos. Finalmente, si f  : X → Y es un morfismo de S -esquemas, y si M y N son objetos en las categorías derivadas de X e Y , entonces hay isomorfismos naturales:

${\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}$

Véase también

• Dualidad coherente
• Dualidad local de Grothendieck
• Funciones de imagen para haces
• La dualidad de Verdier
• Cambio de anillos

Referencias

1. Gallauer, Martin (2021). "Una introducción al formalismo de seis funtores" (PDF) .
2. Fausk, H.; P. Hu; JP May (2003). "Isomorfismos entre adjuntos izquierdos y derechos" (PDF) . Theory Appl. Categ. : 107–131. arXiv : math/0206079 . Bibcode :2002math......6079F . Consultado el 6 de junio de 2013 .

• Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2005). "Las seis operaciones para haces en pilas de Artin I: Coeficientes finitos". arXiv : math/0512097 .
• Ayoub, José. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des Cycles évanescents dans le monde motivique (PDF) (Tesis).
• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019). Categorías trianguladas de motivos mixtos . Springer Monographs in Mathematics. arXiv : 0912.2110 . doi :10.1007/978-3-030-33242-6. ISBN . 978-3-030-33241-9.S2CID115163824  .​
• Mebkhout, Zoghman (1989). El formalismo de las seis operaciones de Grothendieck para los módulos D _X coherentes . Trabajos en curso. vol. 35. París: Hermann. ISBN 2-7056-6049-6.

Enlaces externos

• seis operaciones en el laboratorio n
• ¿Qué es lo que (si es que hay algo) unifica la teoría de la homotopía estable y el formalismo de los seis functores de Grothendieck?