sistema no holonómico

Un sistema no holonómico en física y matemáticas es un sistema físico cuyo estado depende del camino seguido para lograrlo. Un sistema de este tipo se describe mediante un conjunto de parámetros sujetos a restricciones diferenciales y restricciones no lineales, de modo que cuando el sistema evoluciona a lo largo de una trayectoria en su espacio de parámetros (los parámetros varían continuamente en valores) pero finalmente regresa al conjunto original de parámetros valores al inicio de la ruta, es posible que el sistema en sí no haya regresado a su estado original. La mecánica no holonómica es una división autónoma de la mecánica newtoniana . ^[1]

Detalles

Más precisamente, un sistema no holonómico, también llamado sistema anholonómico , es aquel en el que existe un circuito cerrado continuo de parámetros gobernantes, mediante el cual el sistema puede transformarse de cualquier estado dado a cualquier otro estado. ^[2] Debido a que el estado final del sistema depende de los valores intermedios de su trayectoria a través del espacio de parámetros, el sistema no puede representarse mediante una función potencial conservadora como puede hacerlo, por ejemplo, la ley del cuadrado inverso de la fuerza gravitacional. Este último es un ejemplo de sistema holonómico: las integrales de trayectoria en el sistema dependen sólo de los estados inicial y final del sistema (posiciones en el potencial), completamente independientes de la trayectoria de transición entre esos estados. Por lo tanto, se dice que el sistema es integrable , mientras que se dice que el sistema no holonómico es no integrable . Cuando se calcula una integral de trayectoria en un sistema no holonómico, el valor representa una desviación dentro de algún rango de valores admisibles y se dice que esta desviación es una anholonomía producida por la trayectoria específica bajo consideración. Este término fue introducido por Heinrich Hertz en 1894. ^[3]

El carácter general de los sistemas anholonómicos es el de parámetros implícitamente dependientes. Si la dependencia implícita puede eliminarse, por ejemplo elevando la dimensión del espacio, agregando así al menos un parámetro adicional, el sistema no es verdaderamente no holonómico, sino que simplemente está modelado de manera incompleta por el espacio de dimensiones inferiores. Por el contrario, si el sistema intrínsecamente no puede representarse mediante coordenadas independientes (parámetros), entonces es verdaderamente un sistema anholonómico. Algunos autores ^{[ cita necesaria ]} dan mucha importancia a esto al crear una distinción entre los llamados estados internos y externos del sistema, pero en verdad, todos los parámetros son necesarios para caracterizar el sistema, ya sean representativos de "internos" o "externos". procesos, por lo que la distinción es de hecho artificial. Sin embargo, existe una diferencia muy real e irreconciliable entre los sistemas físicos que obedecen a los principios de conservación y los que no. En el caso del transporte paralelo sobre una esfera, la distinción es clara: una variedad de Riemann tiene una métrica fundamentalmente distinta de la de un espacio euclidiano . Para el transporte paralelo sobre una esfera, la dependencia implícita es intrínseca a la métrica no euclidiana. La superficie de una esfera es un espacio bidimensional. Al elevar la dimensión, podemos ver más claramente ^{[ se necesita aclaración ]} la naturaleza de la métrica, pero sigue siendo fundamentalmente un espacio bidimensional con parámetros irremediablemente entrelazados en dependencia por la métrica de Riemann .

Por el contrario, se puede considerar un trazador XY como un ejemplo de un sistema holonómico donde el estado de los componentes mecánicos del sistema tendrá una configuración fija única para cualquier posición dada de la pluma del trazador. Si la pluma se reubica entre las posiciones 0,0 y 3,3, los engranajes del mecanismo tendrán las mismas posiciones finales independientemente de si la reubicación ocurre cuando el mecanismo incrementa primero 3 unidades en el eje x y luego 3 unidades en el eje y. , incrementando primero la posición del eje Y u operando cualquier otra secuencia de cambios de posición que resulte en una posición final de 3,3. Dado que el estado final de la máquina es el mismo independientemente del camino tomado por el lápiz trazador para llegar a su nueva posición, se puede decir que el resultado final no depende del camino . Si sustituimos un plotter de tortuga , el proceso de mover el bolígrafo de 0,0 a 3,3 puede dar como resultado que los engranajes del mecanismo del robot acaben en diferentes posiciones dependiendo del camino seguido para moverse entre ambas posiciones. Vea este ejemplo de grúa pórtico muy similar para obtener una explicación matemática de por qué dicho sistema es holonómico.

Historia

NM Ferrers sugirió por primera vez ampliar las ecuaciones de movimiento con restricciones no holonómicas en 1871. ^[4] Introdujo las expresiones para las velocidades cartesianas en términos de velocidades generalizadas. En 1877, E. Routh escribió las ecuaciones con los multiplicadores de Lagrange. En la tercera edición de su libro ^[5] para restricciones lineales no holonómicas de cuerpos rígidos, introdujo la forma con multiplicadores, que ahora se denomina ecuaciones de Lagrange de segundo tipo con multiplicadores. Los términos sistemas holonómicos y no holonómicos fueron introducidos por Heinrich Hertz en 1894. ^[6] En 1897, SA Chaplygin sugirió por primera vez formar las ecuaciones de movimiento sin multiplicadores de Lagrange. ^[7] Bajo ciertas restricciones lineales, introdujo en el lado izquierdo de las ecuaciones de movimiento un grupo de términos adicionales del tipo operador de Lagrange. Los términos adicionales restantes caracterizan la no holonomicidad del sistema y se vuelven cero cuando las restricciones dadas son integrables. En 1901, PVVoronets generalizó el trabajo de Chaplygin a los casos de coordenadas holonómicas no cíclicas y de restricciones no estacionarias. ^[8]

Restricciones

Considere un sistema de partículas con posiciones con respecto a un sistema de referencia dado. En la mecánica clásica, cualquier restricción que no sea expresable como $N$ $\mathbf {r} _ {i}$ $i\in \{1,\ldots ,N\}$

f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3},\ldots ,t)=0,

es una restricción no holonómica . En otras palabras, una restricción no holonómica no es integrable ^[9]^{: 261} y en forma pfaffiana :

\sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\,dq_{i}+a_{s,t}\,dt=0~~~~(s=1,2, \ldots ,k)

$n$ es el número de coordenadas.
$k$ es el número de ecuaciones de restricción.
$q_{i}$ son coordenadas.
$a_{s,i}$ son coeficientes.

Para que la forma anterior no sea holonómica, también se requiere que el lado izquierdo no sea un diferencial total ni pueda convertirse en uno, tal vez mediante un factor integrante . ^[10]^{: 2-3}

Sólo para desplazamientos virtuales , la forma diferencial de la restricción es ^[9]^{: 282}

\sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,\ldots,k).

No es necesario que todas las restricciones no holonómicas adopten esta forma; de hecho, puede implicar derivadas o desigualdades superiores. ^[11] Un ejemplo clásico de una restricción de desigualdad es el de una partícula colocada en la superficie de una esfera, pero a la que se le permite caer:

r^{2}-a^{2}\geq 0.

$r$ es la distancia de la partícula al centro de la esfera.
$a$ es el radio de la esfera.

Ejemplos

rueda rodante

Una rueda (a veces visualizada como un monociclo o una moneda rodante) es un sistema no holonómico.

La explicación del profano

Consideremos la rueda de una bicicleta que está estacionada en un lugar determinado (en el suelo). Inicialmente, la válvula de inflado está en una determinada posición de la rueda. Si se circula la bicicleta y luego se estaciona exactamente en el mismo lugar, es casi seguro que la válvula no estará en la misma posición que antes. Su nueva posición depende del camino tomado. Si la rueda fuera holonómica, entonces el vástago de la válvula siempre terminaría en la misma posición siempre que la rueda siempre regresara al mismo lugar en la Tierra. Sin embargo, es evidente que este no es el caso, por lo que el sistema no es holonómico.

Explicación matemática

Es posible modelar la rueda matemáticamente con un sistema de ecuaciones restrictivas y luego demostrar que ese sistema no es holonómico.

Primero, definimos el espacio de configuración. La rueda puede cambiar su estado de tres maneras: teniendo una rotación diferente alrededor de su eje, teniendo un ángulo de dirección diferente y estando en una ubicación diferente. Podemos decir que es la rotación alrededor del eje, es el ángulo de dirección con respecto al eje y define la posición espacial. Por tanto, el espacio de configuración es: $\phi$ $\theta$ $x$ $x$ $y$

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }

Ahora debemos relacionar estas variables entre sí. Notamos que a medida que la rueda cambia de rotación, cambia de posición. El cambio en la rotación y la posición que implica velocidades debe estar presente. Intentamos relacionar la velocidad angular y el ángulo de dirección con velocidades lineales tomando derivadas temporales simples de los términos apropiados:

{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r{\dot {\phi }}\cos \ theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}

la forma pfaffiana

x

y

{\begin{pmatrix}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\ pecado \theta \end{pmatrix}}=\mathbf {0}

Luego, separemos las variables de sus coeficientes (lado izquierdo de la ecuación, derivado de arriba). También nos damos cuenta de que podemos multiplicar todos los términos por, por lo que terminamos solo con los diferenciales (lado derecho de la ecuación): ${\text{d}}t$

{\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ={\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{pmatrix}}

forma pfaffiana

\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2

Ahora utilizamos la prueba universal para restricciones holonómicas . Si este sistema fuera holonómico, quizá tendríamos que hacer hasta ocho pruebas. Sin embargo, podemos usar la intuición matemática para hacer nuestro mejor esfuerzo para demostrar que el sistema no es holonómico en la primera prueba. Considerando la ecuación de prueba es:

A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0

podemos ver que si alguno de los términos , o fuera cero, esa parte de la ecuación de prueba sería trivial de resolver y sería igual a cero. Por lo tanto, a menudo es una buena práctica que la primera ecuación de prueba tenga tantos términos distintos de cero como sea posible para maximizar la posibilidad de que la suma de ellos no sea igual a cero. Por tanto, elegimos: $A_{\alpha }$ $A_{\beta }$ $A_{\gamma }$

A_{\alpha }=1

A_{\beta }=0

A_{\gamma }=-r\cos \theta

u_{\alpha }=dx

u_{\beta }=d\theta

u_{\gamma }=d\phi

Sustituimos en nuestra ecuación de prueba:

-r\cos \theta \left({\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)\right)+0\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta )\right)+1\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0)\right)=0

y simplificar:

r\sin \theta =0

Podemos ver fácilmente que este sistema, tal como se describe, no es holonómico, porque no siempre es igual a cero. $\sin \theta$

Conclusiones adicionales

Hemos completado nuestra prueba de que el sistema no es holonómico, pero nuestra ecuación de prueba nos dio algunas ideas sobre si el sistema, si se restringiera aún más, podría ser holonómico. Muchas veces las ecuaciones de prueba arrojarán un resultado que implica que el sistema nunca podría limitarse a ser holonómico sin alterar radicalmente el sistema, pero en nuestro resultado podemos ver que puede ser igual a cero, de dos maneras diferentes: $-1=0$ $r\sin \theta$

$r$ , el radio de la rueda, puede ser cero. Esto no es útil ya que en la práctica el sistema perdería todos sus grados de libertad.
$\sin \theta$ puede ser cero igualándolo a cero. Esto implica que si a la rueda no se le permitiera girar y tuviera que moverse sólo en línea recta en todo momento, sería un sistema holonómico. $\theta$

Sin embargo, hay una cosa que aún no hemos considerado: para encontrar todas esas modificaciones para un sistema, se deben realizar las ocho ecuaciones de prueba (cuatro de cada ecuación de restricción) y recopilar todas las fallas para reunir todos los requisitos para hacer que el sistema sea holonómico. , si es posible. En este sistema, de las siete ecuaciones de prueba adicionales, se presenta un caso adicional:

-r\cos \theta =0

r

\sin \theta -\cos \theta =0

\tan \theta =1

que tiene la solución (de ). ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} \;}$ $\theta =\arctan(1)$

Consulte la explicación del profano anterior donde se dice: "La nueva posición [del vástago de la válvula] depende del camino tomado. Si la rueda fuera holonómica, entonces el vástago de la válvula siempre terminaría en la misma posición siempre que la rueda estuviera "Siempre retrocede al mismo lugar de la Tierra. Sin embargo, está claro que este no es el caso, por lo que el sistema no es holonómico". Sin embargo, es fácil visualizar que si a la rueda sólo se le permitiera girar en línea recta y hacia atrás, ¡el vástago de la válvula terminaría en la misma posición! De hecho, moverse paralelo al ángulo dado no es realmente necesario en el mundo real ya que la orientación del sistema de coordenadas en sí es arbitraria. El sistema puede volverse holonómico si la rueda se mueve sólo en línea recta en cualquier ángulo fijo con respecto a una referencia determinada. Por lo tanto, no sólo hemos demostrado que el sistema original no es holonómico, sino que también pudimos encontrar una restricción que se puede agregar al sistema para hacerlo holonómico. $\pi /4$

Sin embargo, hay algo matemáticamente especial en la restricción de que el sistema sea holonómico, como en una cuadrícula cartesiana. Combinando las dos ecuaciones y eliminando , efectivamente vemos eso y, por lo tanto, una de esas dos coordenadas es completamente redundante. Ya sabemos que el ángulo de dirección es constante, lo que significa que el sistema holonómico aquí solo necesita tener un espacio de configuración de . Como se analiza aquí , un sistema modelable mediante una restricción de Pfaff debe ser holonómico si el espacio de configuración consta de dos o menos variables. Modificando nuestro sistema original para restringirlo a dos grados de libertad y, por lo tanto, requerir que se describan sólo dos variables, y asumiendo que se puede describir en forma pfaffiana (que en este ejemplo ya sabemos que es cierta), tenemos la seguridad de que es holonómico. $\theta =\arctan(1)$ $\theta =\arctan(y/x)$ $\theta$ $y=x$ $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

esfera rodante

Este ejemplo es una extensión del problema de la "rueda rodante" considerado anteriormente.

Considere un marco de coordenadas cartesianas ortogonales tridimensionales, por ejemplo, una mesa nivelada con un punto marcado para el origen y los ejes xey trazados con líneas de lápiz. Tome una esfera de radio unitario, por ejemplo, una pelota de ping-pong, y marque un punto B en azul. A este punto corresponde un diámetro de la esfera, y el plano ortogonal a este diámetro colocado en el centro C de la esfera define un círculo máximo llamado ecuador asociado con el punto B. En este ecuador, seleccione otro punto R y márquelo en rojo. Coloque la esfera en el plano z = 0 de modo que el punto B coincida con el origen, C esté ubicado en x = 0, y = 0, z = 1, y R esté ubicado en x = 1, y = 0, y z = 1, es decir, R se extiende en la dirección del eje x positivo . Esta es la orientación inicial o de referencia de la esfera.

La esfera ahora puede rodar a lo largo de cualquier trayectoria cerrada continua en el plano z = 0, no necesariamente una trayectoria simplemente conexa, de tal manera que no se deslice ni gire, de modo que C regrese a x = 0, y = 0, z = 1. En general, el punto B ya no coincide con el origen y el punto R ya no se extiende a lo largo del eje x positivo . De hecho, mediante la selección de una trayectoria adecuada, la esfera puede reorientarse desde la orientación inicial a cualquier orientación posible de la esfera con C ubicado en x = 0, y = 0, z = 1. ^[12] El sistema es por lo tanto no holonómico. La anholonomía puede estar representada por el cuaternión doblemente único ( q y − q ) que, cuando se aplica a los puntos que representan la esfera, lleva los puntos B y R a sus nuevas posiciones.

Péndulo de Foucault

Un ejemplo adicional de un sistema no holonómico es el péndulo de Foucault . En el marco de coordenadas local, el péndulo oscila en un plano vertical con una orientación particular con respecto al norte geográfico al comienzo del camino. La trayectoria implícita del sistema es la línea de latitud de la Tierra donde se encuentra el péndulo. Aunque el péndulo está estacionario en el marco de la Tierra, se mueve en un marco referido al Sol y gira en sincronía con la velocidad de revolución de la Tierra, de modo que el único movimiento aparente del plano del péndulo es el causado por la rotación del Tierra. Este último marco se considera un marco de referencia inercial, aunque también es no inercial en aspectos más sutiles. Es bien sabido que la estructura de la Tierra no es inercial, un hecho que se hace perceptible por la aparente presencia de fuerzas centrífugas y fuerzas de Coriolis .

El movimiento a lo largo de la línea de latitud está parametrizado por el paso del tiempo, y el plano de oscilación del péndulo de Foucault parece girar alrededor del eje vertical local a medida que pasa el tiempo. El ángulo de rotación de este plano en un tiempo t con respecto a la orientación inicial es la anholonomía del sistema. La anholonomía inducida por un circuito completo de latitud es proporcional al ángulo sólido subtendido por ese círculo de latitud. No es necesario que el camino se limite a círculos de latitud. Por ejemplo, el péndulo podría montarse en un avión. La anholonomía sigue siendo proporcional al ángulo sólido subtendido por el camino, que ahora puede ser bastante irregular. El péndulo de Foucault es un ejemplo físico de transporte paralelo .

Luz polarizada lineal en una fibra óptica.

Tome un trozo de fibra óptica, digamos de tres metros, y colóquelo en una línea absolutamente recta. Cuando se introduce un haz polarizado verticalmente por un extremo, éste emerge por el otro extremo, todavía polarizado en dirección vertical. Marque la parte superior de la fibra con una raya, correspondiente a la orientación de la polarización vertical.

Ahora, enrolle la fibra firmemente alrededor de un cilindro de diez centímetros de diámetro. La trayectoria de la fibra describe ahora una hélice que, como el círculo, tiene una curvatura constante . La hélice también tiene la interesante propiedad de tener una torsión constante . Como tal, el resultado es una rotación gradual de la fibra alrededor del eje de la fibra a medida que la línea central de la fibra avanza a lo largo de la hélice. De manera correspondiente, la franja también gira alrededor del eje de la hélice.

Cuando se vuelve a introducir luz polarizada linealmente en un extremo, con la orientación de la polarización alineada con la franja, en general, emergerá como luz polarizada lineal alineada no con la franja, sino en algún ángulo fijo con respecto a la franja, dependiendo de la longitud de la fibra y el paso y radio de la hélice. Este sistema tampoco es holonómico, ya que podemos enrollar fácilmente la fibra en una segunda hélice y alinear los extremos, devolviendo la luz a su punto de origen. La anholonomía está, por tanto, representada por la desviación del ángulo de polarización en cada circuito de la fibra. Mediante un ajuste adecuado de los parámetros queda claro que se puede generar cualquier estado angular posible.

Robótica

En robótica , la no holonomía se ha estudiado particularmente en el ámbito de la planificación del movimiento y la linealización de la retroalimentación para robots móviles . ^[13]

Ver también

Referencias

^ Soltakhanov Yushkov Zegzhda, Sh.Kh Mikhail S. (mayo de 2009). Mecánica de sistemas no holonómicos Una nueva clase de sistemas de control. vol. 43. Springer Berlín Heidelberg. págs. XXIII. ISBN 9783540858478.
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