En matemáticas , una superficie incompresible es una superficie correctamente incrustada en una 3-variedad , que, en términos intuitivos, es una superficie "no trivial" que no se puede simplificar. En términos no matemáticos, la superficie de una maleta es compresible, porque podríamos cortar el asa y encogerla dentro de la superficie. Pero una esfera de Conway (una esfera con cuatro agujeros) es incompresible, porque hay partes esenciales de un nudo o enlace tanto dentro como fuera, por lo que no hay forma de mover todo el nudo o enlace hacia un lado de la esfera perforada. La definición matemática es la siguiente. Hay dos casos a considerar. Una esfera es incompresible si tanto dentro como fuera de la esfera hay algunas obstrucciones que impiden que la esfera se encoja hasta un punto y también impiden que la esfera se expanda para abarcar todo el espacio. Una superficie que no sea una esfera es incompresible si cualquier disco con su límite en la superficie abarca un disco en la superficie. [1]
Las superficies incompresibles se utilizan para la descomposición de variedades de Haken , en la teoría de superficies normales y en el estudio de los grupos fundamentales de 3-variedades.
Sea S una superficie compacta debidamente incrustada en una variedad 3- PL o lisa M . Un disco de compresión D es un disco incrustado en M tal que
y la intersección es transversal . Si la curva ∂ D no limita un disco dentro de S , entonces D se llama un disco de compresión no trivial . Si S tiene un disco de compresión no trivial, entonces llamamos a S una superficie compresible en M .
Si S no es ni la 2-esfera ni una superficie compresible, entonces llamamos a la superficie ( geométricamente ) incompresible .
Nótese que las 2-esferas están excluidas ya que no tienen discos de compresión no triviales por el teorema de Jordan-Schoenflies , y las 3-variedades tienen abundantes 2-esferas incrustadas. A veces se altera la definición de modo que una esfera incompresible sea una 2-esfera incrustada en una 3-variedad que no limita una 3-bola incrustada . Tales esferas surgen exactamente cuando una 3-variedad no es irreducible . Dado que esta noción de incompresibilidad para una esfera es bastante diferente de la definición anterior para superficies, a menudo una esfera incompresible se denomina en cambio esfera esencial o esfera reductora .
Dada una superficie compresible S con un disco de compresión D que podemos suponer que se encuentra en el interior de M e interseca a S transversalmente, se puede realizar una 1- cirugía embebida en S para obtener una superficie que se obtiene comprimiendo S a lo largo de D. Existe un entorno tubular de D cuyo cierre es una incrustación de D × [-1,1] con D × 0 identificado con D y con
Entonces
es una nueva superficie correctamente incrustada que se obtiene al comprimir S a lo largo de D.
Una medida de complejidad no negativa en superficies compactas sin componentes de 2 esferas es b 0 ( S ) − χ ( S ) , donde b 0 ( S ) es el número de Betti cero (el número de componentes conectados) y χ ( S ) es la característica de Euler de S . Al comprimir una superficie compresible a lo largo de un disco de compresión no trivial, la característica de Euler aumenta en dos, mientras que b 0 puede permanecer igual o aumentar en 1. Por lo tanto, cada superficie compacta correctamente incrustada sin componentes de 2 esferas está relacionada con una superficie incompresible a través de una secuencia de compresiones.
A veces dejamos de lado la condición de que S sea compresible. Si D delimitara un disco dentro de S (lo que siempre es el caso si S es incompresible, por ejemplo), entonces comprimir S a lo largo de D daría como resultado una unión disjunta de una esfera y una superficie homeomorfa a S. La superficie resultante con la esfera eliminada podría o no ser isotópica a S , y lo será si S es incompresible y M es irreducible.
También existe una versión algebraica de la incompresibilidad. Supongamos que hay una incrustación apropiada de una superficie compacta en una variedad 3. Entonces S es π 1 -inyectiva (o algebraicamente incompresible ) si la función inducida
sobre los grupos fundamentales es inyectiva .
En general, toda superficie π 1 -inyectiva es incompresible, pero la implicación inversa no siempre es cierta. Por ejemplo, el espacio Lens L (4,1) contiene una botella de Klein incompresible que no es π 1 -inyectiva.
Sin embargo, si S es bilateral , el teorema del bucle implica el lema de Kneser, que si S es incompresible, entonces es π 1 -inyectivo.
Una superficie de Seifert S para un enlace orientado L es una superficie orientada cuyo límite es L con la misma orientación inducida. Si S no es π 1 -inyectiva en S 3 − N ( L ) , donde N ( L ) es un entorno tubular de L , entonces el teorema de bucles proporciona un disco de compresión que se puede utilizar para comprimir S a lo largo, proporcionando otra superficie de Seifert de complejidad reducida. Por lo tanto, hay superficies de Seifert incompresibles.
Cada superficie de Seifert de un enlace está relacionada con otra a través de compresiones en el sentido de que la relación de equivalencia generada por la compresión tiene una clase de equivalencia. La inversa de una compresión a veces se denomina cirugía de arco incrustada (una cirugía 0 incrustada).
El género de un enlace es el género mínimo de todas las superficies de Seifert de un enlace. Una superficie de Seifert de género mínimo es incompresible. Sin embargo, no es en general el caso de que una superficie de Seifert incompresible sea de género mínimo, por lo que π 1 por sí solo no puede certificar el género de un enlace. David Gabai demostró en particular que una superficie de Seifert que minimiza el género es una hoja de alguna foliación tensa y orientada transversalmente del complemento de nudos, que puede certificarse con una jerarquía de variedades suturadas tensas.
Dada una superficie Seifert incompresible S ' para un nudo K , entonces el grupo fundamental de S 3 − N ( K ) se divide como una extensión HNN sobre π 1 ( S ) , que es un grupo libre . Las dos funciones de π 1 ( S ) en π 1 ( S 3 − N ( S )) dadas al empujar bucles fuera de la superficie hacia el lado positivo o negativo de N ( S ) son ambas inyecciones.
![{\displaystyle (D\times [-1,1])\cap S=\partial D\times [-1,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291fc6861b87d960c549e448ef699a3c8c59f679)
